Chiral properties of dynamical Wilson fermions [Elektronische Ressource] / von Roland Hoffmann

Roland Hoffmann

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 8
• Langue: English
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Extrait

Chiral properties of dynamical Wilson fermions
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Physik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat I
der Humboldt-Universitat zu Berlin
von
Herr Dipl.-Phys. Roland Ho mann
geboren am 06.06.1977 in Munchen
Prasident der Humboldt-Universitat zu Berlin:
Prof. Dr. Jurgen Mlynek
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat I:
Prof. Thomas Buckhout, PhD
Gutachter:
1. Prof. Dr. Ulrich Wol
2. Dr. Rainer Sommer
3. Prof. Dr. Sinya Aoki
eingereicht am: 18. Mai 2005
Tag der mundlichen Prufung: 12. August 2005Abstract
Quantum Chromodynamics with two light quark avors is considered in the lat-
tice regularization with improved Wilson fermions. In this formulation chiral
symmetry is explicitly broken by cuto e ects linear in the lattice spacing a. As
a consequence the isovector axial currents require improvement (in the Symanzik
sense) as well as a nite renormalization if they are to satisfy the continuum
Ward–Takahashi identities associated with the isovector chiral symmetries up to
2small lattice corrections of O(a ).
In exploratory numerical simulations of the lattice theory algorithmic dicul-
ties were encountered at coarse lattice spacings. There the hybrid Monte Carlo
algorithmusedsu ersfromadistortedDiracspectrumintheformofunphysically
small eigenvalues. This is shown to be a cuto e ect, which disappears rapidly as
the lattice spacing is decreased. An alternative algorithm, the polynomial hybrid
Monte Carlo algorithm, is found to perform signicantly better in the presence
of exceptionally small eigenvalues.
Extending previously used methods both the improvement and the renor-
malization of the axial current are implemented non–perturbatively in terms of
correlation functions formulated in the framework of the Schrodinger functional.
In both cases this is achieved by enforcing continuum Ward identities at nite
latticespacing. Together,thisrestorestheisovectorchiralsymmetrytoquadratic
order in the lattice spacing. With little additional e ort the normalization factor
of the local vector current is also obtained.
The methods developed and implemented here can easily be applied to other
actions formulated in the Schrodinger functional framework. This includes im-
proved gauge actions as well as theories with more than two dynamical quark
avors.
Keywords:
Lattice QCD, chiral symmetry, renormalization, improvementZusammenfassung
Quantenchromodynamik mit zwei leichten Quarks wird in der Gitterregularisie-
rungmitverbessertenWilsonFermionenbetrachtet.DiechiraleSymmetrieindie-
ser Formulierung wird von Gitterartefakten, die linear im Gitterabstand a sind,
explizit gebrochen. Daher erfordern die axialen Isospin Strome Verbesserung (im
SymanzikSinn),sowieeineendlicheRenormierung,wennsiedieWard–Takahashi
2Identitaten des Kontinuums bis auf kleine Gitterkorrekturen proportional zu a
erfullen sollen.
AlgorithmischeProblemebeigroenGitterabstandenmachendienumerischen
Simulationen der Gittertheorie schwierig. Der Hybrid Monte Carlo Algorithmus
leidet unter einem verformten Dirac Spektrum in Form unphysikalisch kleiner
Eigenwerte. Es wird gezeigt, da dies ein Gitterartefakt ist, welches schnell ver-
schwindet,wennderGitterabstandverringertwird.EinalternativerAlgorithmus,
der polynomische Hybrid Monte Carlo Algorithmus, zeigt erheblich bessere Ei-
genschaften im Umgang mit den auergewohnlich kleinen Eigenwerten.
Durch Erweiterung und Verbesserung vorher verwendeter Methoden wird die
nicht–perturbative Verbesserung und Renormierung des Axialstroms durch Kor-
relationsfunktionen im Schrodinger Funktional implementiert. In beiden Fallen
wird dies erzielt, indem man Ward Identitaten des Kontinuums bei endlichem
Gitterabstand erzwingt. Zusammen stellt dies die chirale Symmetrie bis zur qua-
dratischen Ordnung im Gitterabstand wieder her. Mit wenig zusatzlichem Auf-
wand wird auch der Normierungsfaktor des lokalen Vektorstroms berechnet.
Die Methoden, die hier entwickelt und implementiert wurden, konnen leicht
auchfurandereWirkungenverwendetwerden,dieimSchrodingerFunktionalfor-
muliert werden konnen. Dies umfat verbesserte Eichwirkungen sowie Theorien
mit mehr als zwei dynamischen Quarks.
Schlagworter:
Gitter QCD, Chirale Symmetrie, Renormierung, VerbesserungContents
1 Introduction 1
2 Continuum QCD 6
2.1 History and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Euclidean path integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Current algebra and continuum Ward identities . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Variation of the action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Ward identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.3 Anomalous symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Gauge theories on the lattice 15
3.1 Monte Carlo integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Continuum limit and renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Symanzik improvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Lattice QCD 21
4.1 Chiral symmetry on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.1 Vector currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2 Axial currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.3 Improvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Current renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 The Schrodinger functional 31
5.1 Lattice SF with Wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Fermionic correlation functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Algorithmic issues 36
6.1 Hybrid Monte Carlo algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Inverting the Dirac operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3 Data analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.4 Sampling problems on coarse lattices . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.5 Instabilities in the molecular dynamics integration . . . . . . . . . 43
6.6 MC estimates of fermionic observables . . . . . . . . . . . . . . . 46
iv6.6.1 The PHMC algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.6.2 HMC vs. PHMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.7 Comparison to the quenched case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.8 Finer lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.9 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Axial current improvement 58
7.1 Strategy and techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.1 Constant physics condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.2 Improvement conditions for the axial current . . . . . . . . 60
7.1.3 Wave functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2 Numerical computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2.1 Results for the improvement coe cient . . . . . . . . . . . 64
7.2.2 Systematic uncertainties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8 Axial current renormalization 71
8.1 Continuum Ward identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.1.1 VWI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.1.2 AWI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.1.3 Euclidean proof of the Goldstone theorem . . . . . . . . . 73
8.2 Normalization conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.2.1 The vector current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.2.2 The axial current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.3 Numerical computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3.1 Implementation notes and quenched example . . . . . . . . 81
8.3.2 Results for the normalization factors . . . . . . . . . . . . 83
8.3.3 Systematic uncertainties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.3.4 Comparison with alternative normalization conditions . . . 88
8.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9 Conclusions 94
A Improved action for the Schrodinger functional 105
B Correlation functions 107
B.1 Summed two-point correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B.1.1 2–point functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B.1.2 3–point functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B.1.3 4–point functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
B.2 Simplifying the correlation functions . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.2.1 Explicit form of the correlation functions . . . . . . . . . . 118
B.2.2 Sources for the inversion of the Dirac operator . . . . . . . 124
B.2.3 Counting inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
vC Transforming the integrated Ward identity 127
D List of simulation parameters and results 130
viChapter 1
Introduction
Compared to the electroweak sector of the standard model of particle physics,
quantum chromodynamics (QCD) with its few parameters and extensive symme-
triesseemstobearathersimpletheory. Still, itisexpectedtodescribethewhole
spec