Classical and quantum dynamics of driven elliptical billiards [Elektronische Ressource] / put forward by Florian Lenz

Sujets

• Physik

Informations

• Publié par: ruprecht-karls-universitat_heidelberg
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 18 Mo

Extrait

Dissertation
SUBMITTED TO THE
Combined Faculties of the Natural Sciences and Mathematics
of the Ruperto-Carola-University of Heidelberg, Germany
FOR THE DEGREE OF
Doctor of Natural Sciences
Put forward by
Florian Lenz
born in: Nuremberg, Germany
Oral examination: December 9th, 2009Classical and quantum dynamics of driven
elliptical billiards
Referees:
Prof. Dr. Peter Schmelcher
Prof. Dr. Fotis K. DiakonosZusammenfassung
Klassische und quantenmechanische Dynamik von getriebenen
elliptischen Billiards
Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung der klassichen Dynamik von getriebenen
ellipitschenBilliards, sowiedieEntwicklungeiner numerischenMethode, welchediePropa-
gation von beliebigen Anfangszust¨anden im entsprechenden quantenmechanischen System
erm¨oglicht. Wir zeigen, dass im klassischen Billiard Fermi Beschleunigung existiert. Im
¨Impulsraum zeigt der dazugeh¨orige Transportprozess einen Ubergang von sub- zu nor-
¨ ¨maler Diffusion. Dieser Ubergang wird nicht durch die Anderung eines externen Pa-
rameters hervorgerufen, sondern passiert dynamisch w¨ahrend der Zeitentwicklung eines
Ensembles von Teilchen. Eine detaillierte Analyse des vierdimensionalen Phasenraums
zeigt, dass dieser sich in verschiedenen Geschwindigkeitsbereichen unterschiedlich zusam-
mensetzt. Eng verknupft¨ damit ist die sogenannte “stickiness”, welche letztentlich den
Diffusionsprozess pr¨agt. Da das Ensemble mit der Zeit beschleunigt wird, erkundet es
nach und nach verschiedene Teile des Phasenraums mit dementsprechend unteschiedlichen
“stickiness” Eigenschaften. Dies fuhrt¨ zu dem erw¨ahnten Diffusionsub¨ ergang. Fur¨ das
quantenmechanische Billiard wenden wir eine auf die Ellipse maßgeschneiderete Serie von
Transformationen an. Dadurch umgehen wir die ansonsten schwierig zu behandelnden
zeitabh¨angigen Randbedingungen. Mit Hilfe eines Entwicklungsansatzes erhalten wir so
ein System von gekoppelten gew¨ohnlichen Differentialgleichungen, welche mit Standard-
verfahren gel¨ost werden k¨onnen.
Abstract
Classical and quantum dynamics of driven elliptical billiards
Subject of this thesis is the investigation of the classical dynamics of the driven elliptical
billiard and the development of a numerical method allowing the propagation of arbitrary
initial states in the quantum version of the system. In the classical case, we demonstrate
that there is Fermi acceleration in the driven billiard. The corresponding transport pro-
cess in momentum space shows a surprising crossover from sub- to normal diffusion. This
crossover is not parameter induced, but rather occurs dynamically in the evolution of the
ensemble. The four-dimensional phase space is analyzed in depth, especially how its com-
position changes in different velocity regimes. We will show that the stickiness properties,
which eventually determine the diffusion, are intimately connected with this change of the
composition of the phase space with respect to velocity. In the course of the evolution, the
accelerating ensemble thus explores regions of varying stickiness, leading to the mentioned
crossover in the diffusion. In the quantum case, a series of transformations tailored to the
elliptical billiard is applied to circumvent the time-dependent Dirichlet boundary condi-
tions. By means of an expansion ansatz, this eventually yields a large system of coupled
ordinary differential equations, which can be solved by standard techniques.Contents
1 Introduction 5
1.1 Historical remarks and experimental realizations of billiards . . . . . . . . . 5
1.2 Time-dependent billiards and Fermi acceleration . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Objectives of this work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I Classical dynamics 15
2 Basic properties of the billiard 17
2.1 Static elliptical billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Mapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Constants of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.4 Phase space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.5 Periodic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Driven elliptical billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Driving modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.3 Mapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4 Jacobian and preserved measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.5 Concept of the frozen billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.6 Momentum transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.7 Product of the angular momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Phase space 35
3.1 Global topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Phase space density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Low velocity regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 High velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Origin of the large invariant structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Librator-type invariant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Rotator-type invariant structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Collision resolved phase space density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Other setups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Larger amplitudes in the breathing mode . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.2 Constant eccentricity mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.3 Quadrupole mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Periodic Orbits 55
4.1 Numerical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 Contents
4.2 Basic properties of periodic orbits in the elliptical billiard . . . . . . . . . . 56
4.2.1 Different types of periodic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.2 Velocity dependence of the minimal period . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Density of periodic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Statistic of eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Other driving modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.1 Constant eccentricity mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.2 Quadrupole mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Velocity resolved composition of phase space . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.1 Other driving modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Stickiness 69
5.1 Single trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1 Correlated F and v dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.2 Power spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.3 Cumulative mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.4 Stickiness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Distribution of laminar phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.1 Distribution of the length of laminar phases . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.2 Fraction of laminar phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Other setups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.1 Constant eccentricity mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.2 Quadrupole mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Diffusion in momentum space 79
6.1 Validity of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1.1 Statistical convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1.2 Finite numerical precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Evolution of the energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.1 Initial transient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2.2 Crossover from sub- to normal diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3 Other modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.1 Constant eccentricity mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.2 Quadrupole mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4 Discussion: Fermi acceleration in driven billiards . . . . . . . . . . . . . . . 87
II Quantum dynamics 91
7 Static elliptical billiard 93
7.1 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8 Development of the numerical method for the driven elliptical billiard 103
8.1 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.1.1 Time-dependent coordinate transformation . . . . . . . . . . . . . . 103
8.1.2 Unitary transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.1.3 Transformation to p