Compl' etude des noyaux reproduisants dans les espaces mod` eles.
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Compl´etude des noyaux reproduisants dans les
espaces mod`eles.
EMMANUEL FRICAIN
Institut Girard Desargues
Bˆatiment 101
Universit´e Claude Bernard Lyon I
43, boulevard du 11 Novembre 1918
69622 Villeurbanne C´edex
FRANCE
email: fricain@desargues.univ-lyon1.fr
R´esum´e
Soit (λ ) une suite de Blaschke du disque unit´eD et Θ une fonction int´erieure. Onn n>1
1−Θ(λ )Θ(z)n
suppose que la suite de noyaux reproduisants k (z,λ ) := est compl`eteΘ n
1−λ zn n>1
p ppdans l’espace mod`eleK :=H ∩ΘH , 1
fr´equences (λ ) mais ´egalement sous l’effet de perturbations de la fonction Θ. Onn n>1
retrouve ainsi un certain nombre de r´esultats classiques sur les syst`emes d’exponentielles.
Puis, si on suppose de plus que la suite (k (.,λ )) est minimale, on montre que, pourΘ n n>1
une certaine classe de fonctions Θ, la famille biorthogonale associ´ee est aussi compl`ete.
Completeness of reproducing kernels
in the model spaces.
Abstract
Let (λ ) be a Blaschke sequence of the unit disc D and Θ be an innern n>1
1−Θ(λ )Θ(z)n
function.Asssumethatthesequenceofreproducingkernels k (z,λ ) :=nΘ 1−λ zn n>1
p ppis complete in the model space K := H ∩ΘH , 1 < p < + ∞. First of all,Θ 0
we study the stability of this completeness not only under perturbations of fre-
quences (λ ) but also under perturbations of function Θ. We recover somen ...
Voir
espaces mod`eles.
EMMANUEL FRICAIN
Institut Girard Desargues
Bˆatiment 101
Universit´e Claude Bernard Lyon I
43, boulevard du 11 Novembre 1918
69622 Villeurbanne C´edex
FRANCE
email: fricain@desargues.univ-lyon1.fr
R´esum´e
Soit (λ ) une suite de Blaschke du disque unit´eD et Θ une fonction int´erieure. Onn n>1
1−Θ(λ )Θ(z)n
suppose que la suite de noyaux reproduisants k (z,λ ) := est compl`eteΘ n
1−λ zn n>1
p ppdans l’espace mod`eleK :=H ∩ΘH , 1
fr´equences (λ ) mais ´egalement sous l’effet de perturbations de la fonction Θ. Onn n>1
retrouve ainsi un certain nombre de r´esultats classiques sur les syst`emes d’exponentielles.
Puis, si on suppose de plus que la suite (k (.,λ )) est minimale, on montre que, pourΘ n n>1
une certaine classe de fonctions Θ, la famille biorthogonale associ´ee est aussi compl`ete.
Completeness of reproducing kernels
in the model spaces.
Abstract
Let (λ ) be a Blaschke sequence of the unit disc D and Θ be an innern n>1
1−Θ(λ )Θ(z)n
function.Asssumethatthesequenceofreproducingkernels k (z,λ ) :=nΘ 1−λ zn n>1
p ppis complete in the model space K := H ∩ΘH , 1 < p < + ∞. First of all,Θ 0
we study the stability of this completeness not only under perturbations of fre-
quences (λ ) but also under perturbations of function Θ. We recover somen ...
Compl´etude
des noyaux reproduisants espaces modeles. `
EMMANUEL FRICAIN Institut Girard Desargues Bˆatiment101 Universite´ClaudeBernardLyonI 43, boulevard du 11 Novembre 1918 69622VilleurbanneC´edex FRANCE email:fricain@desargues.univ-lyon1.fr
dans
Resume ´ ´ Soit (λn)n>1ueuq´tineeBedsclaedhkisuditsuneuDteenuΘru.enOfonctionint´erie suppose que la suite de noyaux reproduisantskΘ(z, λn) :=1−1Θ(−λλnn)zΘ(z)n>1`tlspomcetee dansl’espacemod`eleKpΘ:=Hp∩ΘH0p, 1< p <+∞,spmetreimedansunpr´etudie,.nO lastabilite´decetteproprie´te´decompl´etude,a`lafoissousl’effetdeperturbationsdes fr´equences(λn)n>1aimmelage´slsuostneOnΘ.’effetdeperturbatoisnedalofcnitno retrouveainsiuncertainnombredere´sultatsclassiquessurlessyste`mesd’exponentielles. Puis, si on suppose de plus que la suite (kΘ(., λn))n>1est minimale, on montre que, pour unecertaineclassedefonctionsΘ,lafamillebiorthogonaleassoci´eeestaussicomple`te.
les
Completeness of reproducing kernels in the model spaces. Abstract Let (λn)n>1be a Blaschke sequence of the unit discDand Θ be an inner function. Asssume that the sequence of reproducing kernelskΘ(z, λn) :=1−1Θ(−λλnn)zΘ(z)n>1 is complete in the model spaceKpΘ:=Hp∩ΘH0p, 1< p <+∞. First of all, we study the stability of this completeness not only under perturbations of fre-quences (λn)n>1but also under perturbations of function Θ. We recover some
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classical results on exponential systems. Then, if we assume further that the se-quence (kΘ(., λn))n>1show that, for a certain class of functionsis minimal, we Θ, the biorthogonal family is also complete. AMS classification :30B60, (42A65, 42C30, 47B35, 30D55, 46E22).
1 Introduction
Nous notons parD={z∈C:|z|<1}lisedeuqut´ni,eaprT={z∈C: |z|= 1}lecercleunit´eetpour16p6+∞,
Hp={f:D−7→C suholomorphe :rp<ZT|f(rζ)|pdm(ζ)<∞} 061
designel’espacedeHardydudisqueunit´e.Defa¸conhabituelle,onidentifiera ´ ˆ Hpavec le sous-espace des fonctionsf∈Lp(T) pour lesquellesf(n) = 0, n <0. Rappelons qu’une fonction Θ∈H∞estiserueire´tnietid|Θ(ζ)|= 1 pour presque toutζ∈T.asOnicosta`eetuocnoftionint´erieurelseuo-sseapec KpΘ:=Hp∩ΘH0p, o`uH0p={f∈Hp:f(0) = 0}.exenEltered´abarnelaesigguiaocjnmolposcn conside´rantladualit´enaturelleentreHpetHp0epar,d´efini hf, gi:=Zf(ζ)g(ζ)dm(ζ), f∈Hp, g∈Hp0, T ` 1 1 oup+0eptu,1no=vcaolne´eeqfuai¸nirdndt´eefiKpΘcomme l’ensemble des p fonctionsf∈Hppour lesquelles
hf,Θgi= 0,∀g∈Hp0. Parconse´quent,KpΘdelbofsesemr´nilspred`on’ealemnscroseedaeriHp0qui p0 s’annulent sur le sous-espace ΘH. Pourp=p0= 2, on noteraKΘ=KΘ2`u1nslecasopeul,sadD.< p <+∞[Girvog(ch],81arIIertipaeuq)eueBinrlr`eoedemdetl´hturli,use´ toutefer´tinvariantparl’actiondel’op´erateurS∗: sous-espace propr me e f−→7f−f du type(0) estKpΘeitvnreesemueledsrohednE.tnetrˆ´entri z propre, ces sous-espacesKpΘtunledenoss`pvatiedce´neiortesqelueujssstet l’approximation rationnelle (voir [Dya], [Hay90], [Sar94]), les operateurs de ´ Toeplitz(voir[DSS70],[Dya94b])etlath´eoriespectraled´teurslin´eaires es opera
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ge´n´eraux(voir[Nik86]).Danscetarticle,nousnousinte´ressonsauxnoyaux reproduisantp0notcuafxoisn’e,c`astredikΘ(., λ)∈KpΘ s des sous-espacesKΘ pour lesquelles D, f∈p0 f(λ) =hf, kΘ(., λ)i, λ∈KΘ o`uh∙,∙irerepr´eseil´teetntnledaauKpΘetKp0nsDa1acelu`os< p <+∞, le Θ. sous-espace ΘHpesan´tdemenepm´ltsocHpcar les projections standards ΘP+Θ etPΘ:=I−ΘP+Θ = ΘP−Θntsornboes´eusrHpremedeRiesz,(aplrte´hoe ` ˆ vOonira[Dduorn7c0]H).p=icIPPΘ+H´edpgn+s(iIe l−aPprΘjo)Hecpoint=PdΘeHRpeiΘ+zs(HP+pf)(z) =pPn>0f(n)zn). ,d’o`uKΘ=PΘHp. De plus, il est facile de voir quekΘ(., λ) =PΘkλu`o,kλ1=−1λzest le noyau de Cauchy classique et un petit calcul montre alors que
= kΘ(., λ) 1−1−Θ(λλ)Θ z
(voir[HNP81]ou[Nik86]).Danscetarticle,nousallons´etudierdeuxproble`mes relatifs`alacompl´etudedessuitesdenoyauxreproduisantsdansl’espaceKΘp. Rappelons qu’une suite (xn)n>1d’un espace de BanachXittdomecese`lpet dansX´fr´ndgeeneppolevnriae´nillsrseeee’alpixnnespatoe´n,{xn: e ermee n>1}ge´t`ela,easXreots,cautenisilD.nsnaeHahn-Banach,naltte´hoe`rmede il est facile de voir qu’une suite de noyaux reproduisants (kΘ(., λn))n>1sera compl`etedansKΘpsi et seulement si l’implication suivante 0 (f∈KΘp, f(λn) = 0, n>1) =⇒f≡0 est vraie pour toute fonctionf∈Kp0craP,´ntudets´onueeq Θu.tedlpe´camoeilr d’une suite de noyaux reproduisants (kΘ(., λn))n>1dansKpΘseram`ene`a´eutidre si la suite (λn)n>1embl’ensz´eredesnueso’dpeˆeuteitrulcnuoesdnonlsna fonction deKΘp0non identiquement nulle. La question naturelle qui se pose alorsestdechercheruncrite`re,enlangagedeΛ=(λn)n>1et Θ, pour que la suite (kΘ(., λn))n>1dans`etemolpioctsKpΘEtan.ontdeΛn´=(λn)n>1⊂D, il est facile de montrer que la suite (kΘ(., λn))n>1est complete dansKΘp, pour ` toutefonctionint´erieureΘ,sietseulementsilasuiteΛ=(λn)n>1n’est pas deBlaschke,c’esta`diresi X(1− |λn|) = +∞. n>1
Parconse´quent,lav´eritablequestionquiseposeest:´etantdonne´Λ=(λn)n>1⊂ Deurefix´ee,,uitednesucskhBealmslusenaiticpltiuntΘ,e´eoitcnofeire´tnin
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peut-ontrouveruncrit`eresuffisamentexplicitedecompl´etudepourlasuite (kΘ(., λn))n>1dansKΘp? Cettequestionestencoreouvertemˆemepourlecasparticulierdesexponen->1⊂D,a >0, et Θa:= expazz−1+1, tielles. Rappelons que si Λ = (λn)n l’espaceKΘaninuirtaefedcoa¸edi’fiitnscaee’ps`elaL2(0, aetudmpl´laco)ete de la suite (kΘa(., λn))n>1dansKΘaeuiastealocpm´ltedudelest´equivalente`a (exp(iµnt))n>1dansL2(0, a),µn:=i1+1−λλnemMˆ).6]ePN18riH[iN8ko][u(vo n danscecasparticulierdonc,onneconnaitpasdecrit`ereg´eome´triqueportant surlesfr´equences(µn)n>1Ae.uedxnectertsuavartseL.esc´anavusplesxl BeurlingetP.Malliavinquiontdonn´euneme´thodepourcalculerlerayonde compl´etuded’unesuited’exponentielles(exp(iµnt))n>1en fonction d’une cer-tainedensit´e(voir[BM62]et[BM67]pourlestravauxoriginaux,[KT90]pour uner´einterpr´etationdecesr´esultats,[Red77]et[Koo96]pourunepr´esentation tre`scomple`tedusujet). Danscetarticle,nousallonse´tudierdeuxprobl`emesplusparticulie`rsrelatifs `acettecompl´etudedesnoyauxreproduisants.Lepremierproble`meauquelnous nousinte´ressonsestunproble`medestabilite´: on se donne1< p <+∞, une suiteΛ = (λn)n>1⊂DetΘ1une fonction inte´rieuredeH∞meeuqslete`tsysel(kΘ1(., λn))n>1est complet dansKΘp1. Si on perturbe la suiteΛote(ufal)onctionint´erieuerΘ1, est-ce-que le nouveau syst`eme(kΘ2(., λ0n))n>1est complet dansKpΘ2?
Ledeuxi`emeproblemeconcernelacomple´tudedelabiorthogonaleassocie´e ` aux noyaux reproduisants deKΘ:=K2Θ: si(kΘ(., λn))n>1snadetenustimeseuttcompl`einimaleeKΘ, la question naturellequiseposeestdesavoirsilabiorthogonaleassoci´ee`acettesuiteest aussicompl`etedansKΘ.
Lepremierproble`mepeutˆetremotiv´eparplusieursraisons.D’unepart, nousavonsvuqueleprobl`emege´n´eraldecomple´tudedanslequels’inscritce proble`medestabilit´eesttre`sdifficileetloind’ˆetrere´solu.D’autrepart,dans beaucoupdecas,lafamilledonne´eestunepetiteperturbationd’unefamille dontonsaitd´ej`aqu’elleestcomple`te.Uncrit`eredestabilit´epermettraitdonc, dansbeaucoupd’applications,etnotammententh´eorieducontrˆole,deprouver lacompl´etudedesnoyauxreproduisants. Ilfaut´egalementsignalerqueceproble`medestabilit´eestli´eauproble`me d’unicite´fondamentalsuivant:´etantdonn´ee(en)n>1lpmoete`snadneumifaecll un espace de BanachE(resireact´acarche`cher,noεn)n>1⊂R∗+tel que si
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