Computations of form and stability of rotating drops with finite elements [Elektronische Ressource] = Berechnungen von Form und Stabilität rotierender Tropfen mit finiten Elementen / vorgelegt von Claus-Justus Heine

Claus-Justus Heine

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• Physik

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• Publié par: rheinisch-westfalischen_technischen_hochschule_-rwth-_aachen
• Publié le: 01 janvier 2003
• Nombre de lectures: 9
• Langue: English
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Extrait

Computations of form and stability of rotating drops
with nite elements
Berechnungen von Form und Stabilitat rotierender Tropfen
mit niten Elementen
Von der Fakultat fur Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften
der Rheinisch-Westfalisc hen Technischen Hochschule Aachen
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Diplom-Mathematiker Claus-Justus Heine
aus Krefeld.
Berichter: Universitatsprofessor Dr. Josef Bemelmans
Universitatsprofessor Dr. Gerhard Dziuk
Tag der mundlichen Prufung: 15. Dezember 2003
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek online verfugbar.At this point I would like to thank Prof. Josef Bemelmans for proposing this problem
to me and for his excellent supervision. I would like to thank Prof. Gerhard Dziuk for
introducing the nite element theory to me, for providing suitable literature and his
help concerning the discretisation of curvature related problems. Further, I would like
to thank Alfred Schmidt and Kunibert Siebert for their nite element toolbox ALBERT
and for answering a bunch of beginner’s questions concerning nite elements.Abstract
We consider the problem of a drop rotating rigidly at a xed angular velocity. The
centrifugal forces are balanced by surface tension alone. Such a drop is described by the
Young-Laplace equation:
Z
2 22H = 4r ω +C, dx = const.

Here H denotes the mean curvature, r the orthogonal distance to the axis of rotation,
3C the Lagrange multiplier for the volume constraint,
R the region enclosed by the
drop surface and ω the angular velocity.
Subject of this work is the numerical computation of the bifurcation of shape families
from explicitly known axisymmetric drops. The bifurcation parameter is ω.
This problem has been treated numerically by R.A. Brown and L.E. Scriven in 1980
[Brown and Scriven 1980a]. We present an algorithm which avoids an explicit global
parametrisationofthedropsurfaceanddoesnotimposeameridionalre ectivesymmetry
on the drop shapes, using ideas introduced by G. Dziuk for computing evolutionary
surfaces [Dziuk 1991].
The results of the numerical experiments extend the results formerly found by Brown
and Scriven and reveal several new branches of spheroidal drop shapes. Furthermore
dropshapesofannulartypehavebeencomputedbranchingfromanaxisymmetricfamily
of tori which was found by R. Gulliver [Gulliver 1984].Zusammenfassung
Wir betrachten einen Tropfen, der als starrer Korper mit konstanter Winkelgeschwin-
digkeit rotiert. Dabei steht die Zentrifugalkraft im Gleichgewicht mit der Ober-
achenspannung; andere Krafte werden nicht berucksichtigt. Solch ein Tropfen wird von
der Young-Laplace Gleichung beschrieben:
Z
2 22H = 4r ω +C, dx = const.

Dabei bezeichnet H die mittlere Krumm ung, r den Abstand von der Rotationsachse, C
3den Lagrangeschen Multiplikator fur die Volumenbedingung,
R das Gebiet, das
der Tropfen einnimmt und ω die Winkelgeschwindigkeit.
Der Gegenstand der Untersuchung ist die numerische Berechnung von Familien von
Tropfen,dievonexplizitbekanntenzylindersymmetrischenFamilienabzweigen.DerVer-
zweigungsparameter ist ω.
Dieses Problem wurde bereits 1980 von R.A. Brown und L.A. Scriven numerisch be-
handelt [Brown and Scriven 1980a]. Wir stellen einen Algorithmus vor, der eine ex-
plizite globale Parametrisierung der Ober ac he des Tropfens vermeidet und ohne die
AnnahmeeinermeridialenSpiegelsymmetrieauskommt.BenutztwerdendazuIdeenvon
G. Dziuk zur Berechnung von Flac hen, die sich unter dem Krumm ungs u entwickeln
[Dziuk 1991].
Die Ergebnisse der numerischen Experimente erweitern die Resultate von Brown und
Scriven und zeigen etliche neue Verzweigungen. Au erdem wurden Tropfen vom Typ
eines Torus berechnet, welche von einer zylindersymmetrischen Familie abzweigen, die
von R. Gulliver gefunden wurde [Gulliver 1984].Contents
1 Introduction 1
1.1 The physical model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Historical Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Notation and Fundamental De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
n1.3.1 Analysis inR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Di erential geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Some aspects from bifurcation theory . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Exact solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Solutions of spheroidal type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Solutions of annular type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 The path tracking problem 21
2.1 First and second variation of the energy functional . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 The rst variation of E( , C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 The second variation of E( , C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 The linear Euler-Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Lie-symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Weak solutions of the linearisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 The continuous Newton iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 The di erential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 The iteration step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 The discretised Newton iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Iso-parametric triangulations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2 Iso-parametric nite elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
viiviii CONTENTS
2.4.3 A nite element formulation of the Newton iteration . . . . . . . 48
2.4.4 An error indicator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 The solving of the bifurcation equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5.1 Finding of bifurcation points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5.2 The discretisation of the bifurcation equation . . . . . . . . . . . 55
2.5.3 Solvers for the constraint eigen-problem . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6 The discrete path-tracking algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Numerical methods for iso-parametric meshes 59
3.1 Approximate normals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Curvature for Discrete Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1 De nition of the Discrete Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2 Convergence tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Local re nement and coarsening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Mesh smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.1 Subdivision of obtuse angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.2 Vertex displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.3 Smoothing functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.4 Projection to discretised surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4 Numerical results 93
4.1 Experimental convergence tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.1 Convergence of the discrete Newton iteration . . . . . . . . . . . . 93
4.1.2 Accuracy of the error indicators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.3 Eigenvalue computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Bifurcation diagrams and drop-shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.1 Two-lobed spheroidal shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.2 Three- and four-lobed shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.3 Five- and six-lobed spheroidal shapes . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.4 Annular drop shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Bibliography 115
Index of Notations 119Algorithms, gures and tables
List of Algorithms
2.3.1A modi ed Newton iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2The iteration step of the continuous Newton iteration . . . . . . . . . . . 40
2.4.1The iteration step of the discrete Newton iteration . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.1Flow char: nding of branch-points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.1Flow chart: adaptive computation of drop-shapes . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1Local re nement of a triangular mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1Mesh adaption and subdivision of obtuse angles . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.2Outline of combined averaging and optimisation based smoothing . . . . 73
3.4.3CG method for a smoothing-functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.4Optimisation-Based Mesh-Smoothing Algorithm . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.5Projection of a node P to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88h,0
List of Figures
1.1 Plateau’s apparatus and drop shapes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 T.G. Wang’s repetition of Plateau’s experiments. . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Development of a freely rotating two-lobed drop, USML2 space-lab ight
in 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Limit surfaces of annular and simply connected family . . . . . . . . . . 16
1.5 ω-L phase diagram for exact annular and simply connected solutions. . . 17<