Computer simulations of charged systems in partially periodic geometries [Elektronische Ressource] / Axel Arnold
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Max{Planck{Institut furPolymerforschungComputer simulations of chargedsystems in partially periodicgeometriesDissertationzur Erlangung des Grades\Doktor der Naturwissenschaften"am Fachbereich Physikder Johannes Gutenberg{Universit atin MainzAxel Arnoldgeb. in UlmMainz, im August 2004Datum der mundlic hen Prufung: 13. Dezember 2004ZusammenfassungDiese Arbeit stellt Algorithmen zur Berechnung der elektrostatischen Wechselwirkungin partiell periodischen System vor. Als Rahmen fur diese Verfahren dient das Sim-ulationsprogramm ESPResSo, an dessen Entwicklung der Autor ma geblic h beteiligtwar. Die wesentlichen Merkmale des Programms werden aufgez ahlt und der innereAufbau des Programms erl autert.Im Anschluss werden Algorithmen fur die Berechnung der Coulomb{Summe indreidimensional periodischen Systemen besprochen. Diese Methoden bilden die Basisfur die im folgenden beschriebenen Verfahren fur partiell periodische Systeme.Fur Systeme mit einer nichtperiodischen Koordinate wird, ausgehend von derMMM2D Methode, die ELC Methode entwickelt. Diese erlaubt es, mit Hilfe einesKorrekturterms Methoden fur dreidimensional periodische Systeme auch bei nur zweiperiodischen Koordinaten zu verwenden. Dabei ist die fur die Korrektur ben otigteRechenzeit fur gro e Teilchenzahlen vernachl assigbar. Die Leistungsf ahigkeit vonMMM2D und ELC wird anhand der Implementierungen in ESPResSo demonstri-ert.

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Publié le 01 janvier 2005
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Langue Deutsch
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Max{Planck{Institut fur
Polymerforschung
Computer simulations of charged
systems in partially periodic
geometries
Dissertation
zur Erlangung des Grades
\Doktor der Naturwissenschaften"
am Fachbereich Physik
der Johannes Gutenberg{Universit at
in Mainz
Axel Arnold
geb. in Ulm
Mainz, im August 2004Datum der mundlic hen Prufung: 13. Dezember 2004Zusammenfassung
Diese Arbeit stellt Algorithmen zur Berechnung der elektrostatischen Wechselwirkung
in partiell periodischen System vor. Als Rahmen fur diese Verfahren dient das Sim-
ulationsprogramm ESPResSo, an dessen Entwicklung der Autor ma geblic h beteiligt
war. Die wesentlichen Merkmale des Programms werden aufgez ahlt und der innere
Aufbau des Programms erl autert.
Im Anschluss werden Algorithmen fur die Berechnung der Coulomb{Summe in
dreidimensional periodischen Systemen besprochen. Diese Methoden bilden die Basis
fur die im folgenden beschriebenen Verfahren fur partiell periodische Systeme.
Fur Systeme mit einer nichtperiodischen Koordinate wird, ausgehend von der
MMM2D Methode, die ELC Methode entwickelt. Diese erlaubt es, mit Hilfe eines
Korrekturterms Methoden fur dreidimensional periodische Systeme auch bei nur zwei
periodischen Koordinaten zu verwenden. Dabei ist die fur die Korrektur ben otigte
Rechenzeit fur gro e Teilchenzahlen vernachl assigbar. Die Leistungsf ahigkeit von
MMM2D und ELC wird anhand der Implementierungen in ESPResSo demonstri-
ert. Es wird erl autert, wie sich verschiedene dielektrische Konstanten innerhalb und
ausserhalb der Simulationsbox realisieren lassen.
Schlie lic h wird die MMM1D Methode fur Systeme mit einer periodischen Koor-
dinate entwickelt. Diese Methode wird auf das Problem der Anziehung gleichnamig
geladener St abe in der Anwesenheit von Gegenionen angewandt und Ergebnisse der
Strong{Coupling{Theorie fur die Gleichgewichtsdistanz der St abe bei unendlicher
Gegenionen{Kopplung mit Hilfe von Computersimulationen ub erpruft. Der Grad
der Ubereinstimmung zwischen Simulation bei endlicher Kopplung und Theorie kann
durch einen Parameter charakterisiert werden.RB
Im SpezialfallT = 0 nden sich unter gewissen Umst anden ac he Kon gurationen,
in denen alle Gegenionen in der Stab{Stab{Ebene liegen. Von diesen Kon guratio-
nen wird analytisch die energetisch gunstigste und deren Stabilit at bestimmt, was
von nur einem Parameter ahnlic h abh angt. Diese Ergebnisse k onnen durchz RB
Computersimulationen best atigt werden.
34Summary
This work presents algorithms for the calculation of the electrostatic interaction in
partially periodic systems. The framework for these algorithms is provided by the
simulation package ESPResSo, of which the author was one of the main develop-
ers. The prominent features of the program are listed and the internal structure is
described.
In the following, algorithms for the calculation of the Coulomb sum in three dimen-
sionally periodic systems are described. These methods are the foundations for the
algorithms for partially periodic systems presented in this work.
Starting from the MMM2D method for systems with one non{periodic coordinate,
the ELC method for these systems is developed. This method consists of a correc-
tion term which allows to use methods for three dimensional periodicity also for the
case of two periodic coordinates. The computation time of this correction term is
negligible for large numbers of particles. The performance of MMM2D and ELC are
demonstrated by results from the implementations contained in ESPResSo. It is also
discussed, how di eren t dielectric constants inside and outside of the simulation box
can be realized.
For systems with one periodic coordinate, the MMM1D method is derived from
the MMM2D method. This method is applied to the problem of the attraction of
like{charged rods in the presence of counterions, and results of the strong coupling
theory for the equilibrium distance of the rods at in nite counterion{coupling are
checked against results from computer simulations. The degree of agreement between
the simulations at nite coupling and the theory can be characterised by a single
parameter .RB
In the special case of T = 0, one nds under certain circumstances at con gura-
tions, in which all charges are located in the rod{rod plane. The energetically optimal
con guration and its stability are determined analytically, which depends on only one
parameter , similar to . These ndings are in good agreement with results fromz RB
computer simulations.
56Contents
Introduction 9
1 MD-Simulations | ESPResSo 13
1.1 Simulation control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Internal program o w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Data organisation | Link cells and Verlet lists . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 The velocity Verlet integrator and the Langevin thermostat . . . . . . 22
1.5 Short ranged interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Long in | the electrostatic interaction . . . . . . . . 27
1.7 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Other features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Calculating the Coulomb interaction under periodic boundary conditions 31
2.1 General prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 The Ewald method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 A mesh{based Ewald method | P3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 The fast multipole method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 The Lekner sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 MMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Two dimensional periodicity 49
3.1 General prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Ewald type methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 MMM2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 The MMM2D Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Error Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.3 Parallel Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.4 E ciency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.5 Numerical Demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 ELC | fast electrostatics for two dimensional periodicity 77
4.1 Changing the summation order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 The electrostatic layer correction term . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Error estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Numerical demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7Contents
5 Di erent dielectric constants 87
5.1 Single surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Two surfaces | thin lms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 One dimensional periodicity 91
6.1 General prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 1d{Ewald method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3 Equivalence of the convergence factor approach and the spherical sum-
mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4 MMM1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.5 Error estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.6 Formulas for rods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Applications of MMM1D: The two rod system 99
7.1 Poisson{Boltzmann Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.2 Strong Coupling Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3 Comparison with numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4 Zero Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.5 Analytical calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.6 Comparison with numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8 Conclusions 131
Contents of the attached CD 133
Acknowledgements 135
Curriculum vitae 137
Bibliography 139
Index 147
8Introduction
The computer industry is the fastest growing industry nowadays. Similarly, compu-
tational physics is one of the youngest elds and fastest growing branches of physics.
The rst electronic computers were build during the second world war to perform
heavy computations involved in the development of nuclear weapons and code break-
ing. In the early 1950’s, the rst computers became partially available for civilian use,
and one of the rst applications were computer simulations. The MANIAC, built by
Nick Metropolis for the Los Alamos National Laboratory in the USA, was one of the
rst of these computers. The laboratory was interested in nding as many applica-
tions of their machine as possible, and one of these was the Metropolis Monte{Carlo
algorithm for problems in statistical mechanics. Today the range of applications for
computers has grown beyond any bounds, and even a standard home PC is many
orders of

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