Construction et analyse de conditions aux limites artificielles pour des équations de Schrödinger avec potentiels et non linéarités, Construction and analysis of artificial boundary conditions for Schrödinger equations with potentials or nonlinearities

Construction et analyse de conditions aux limites artificielles pour des équations de Schrödinger avec potentiels et non linéarités, Construction and analysis of artificial boundary conditions for Schrödinger equations with potentials or nonlinearities

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Sous la direction de Xavier Antoine, Christophe Besse
Thèse soutenue le 03 novembre 2010: Nancy 1
L'équation de Schrödinger est une équation fondamentale de la physique, qui fait intervenir une fonction appelée potentiel, linéaire ou non linéaire, pouvant prendre différentes expressions selon le contexte physique. Pour résoudre numériquement cette équation, il faut se restreindre à un domaine borné en espace, en précisant sur la frontière de ce domaine de calcul des conditions aux limites artificielles (CLA) appropriées. En dimension un et pour un potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue. L'objectif de cette thèse est de généraliser ces résultats en construisant des CLA approchées dans le cas d'un potentiel, linéaire ou non linéaire. A cette fin, nous proposons une recherche détaillée de méthodes permettant de tenir compte du potentiel, sans distinction selon ses propriétés mathématiques. Cette construction repose sur l'analyse microlocale et les règles du calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels. Les CLA obtenues se prêtent alors à une discrétisation et une implémentation numérique effective à l'aide d'un schéma de Crank-Nicolson suivi d'une méthode éléments finis linéaires. Dans ce travail, nous avons élaboré des familles de CLA pour l'équation en dimension un ou deux d'espace avec un potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que pour le problème stationnaire en dimension un. Dans chaque cas, de nombreuses simulations numériques ont été effectuées afin de comparer l'efficacité des conditions aux limites proposées par rapport aux autres méthodes existantes, ainsi que pour comparer entre elles les différentes familles de conditions aux limites construites suivant différentes stratégies
-Equation de Schrödinger
-Problèmes aux limites
-Développements asymptotiques
-Calcul symbolique
-Simulation numérique
The Schrödinger equation is a fundamental equation involved in many physical domains. It deals with a linear or nonlinear function called potential, which can appear under various different expressions depending on the physical context. In order to solve the equation numerically, one has to restrict to a bounded spatial domain, and to add appropriate artificial boundary conditions (ABC) on the boundary of the computational domain. For the free-potential equation in one dimension, the exact boundary condition is known. The aim of this thesis is to generalize these results thanks to the construction of approximate ABC in the case of a linear or nonlinear potential. To this end, we propose a detailed research of methods taking the potential into account in the artifical boundary condition, without considering the mathematical properties of the considered potential. The construction of these CLA relies on microlocal analysis and the rules of symbolic calculus associated to pseudodifferential operators. These approximate boundary conditions can then be discretized and numerically computed, using a Crank-Nicolson scheme and a linear finite element method. In this work, we have derived families of ABCs for the Schrödinger equation in dimension one and two, with a linear or nonlinear potential, and for the stationary one-dimensional problem. In each case, many numerical simulations have been implemented in order to compare the efficiency of the new boundary conditions with respect to existing methods, and also in order to compare with one another the different families of boundary conditions developed following different strategies
Source: http://www.theses.fr/2010NAN10098/document

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Ajouté le 30 octobre 2011
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Langue Français
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http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm Faculte des Sciences et Technologies
Universite Henri Poincare - Nancy I
Ecole Doctorale IAEM
D.F.D. Mathematiques
Construction et analyse de conditions aux limites
arti cielles pour des equations de Schr odinger
avec potentiels et non linearites
THESE
presentee pour l’obtention du grade de
Docteur de l’Universite Henri Poincare, Nancy I
Specialite : Mathematiques Appliquees
par
Pauline KLEIN
Soutenue publiquement le 3 novembre 2010
apres avis des rapporteurs et devant le jury
Xavier ANTOINE Professeur, Institut National Polytechnique de Lorraine Directeur de these
Christophe BESSE Professeur, Universite Lille I Directeur de these
Eric CANCES Professeur, Ecole des Ponts{ParisTech Rapporteur
Remi CARLES Charge de recherche CNRS, Universite Montpellier II Rapporteur
Patrick GERARD Professeur, Universite Paris-Sud XI President du jury
Jeremie SZEFTEL Charge de recherche CNRS, Ecole Normale Superieure Examinateur
Marius TUCSNAK Professeur, Universite Henri Poincare Nancy I Examinateur
Institut Elie Cartan Nancy, Laboratoire de Mathematiques, BP 239,
ÉLIECARTAN 54 506 Vand uvre-l es-Nancy Cedex
Nancy
Institut2Remerciements
Je tiens en premier lieu a remercier mes deux directeurs de these, Xavier Antoine et Christophe
Besse, pour les precieux conseils scienti ques et methodologiques qu’ils m’ont prodigues, chacun a
leur maniere, me faisant bene cier de leurs qualites non seulement de scienti ques mais egalement
d’encadrants. Malgre leurs nombreuses responsabilites, ils ont toujours su se montrer disponibles
pour moi, et je leur suis reconnaissante pour leur implication, leur patience et leur exigence en-
vers mon travail. Ils n’ont jamais manque une occasion de m’initier de maniere eclairee au metier
d’enseignant-chercheur, me guidant dans mes demarches tout en me permettant d’acquerir progres-
sivement l’autonomie necessaire. J’ai egalement pu apprecier leur humour et leur bonne humeur lors
des seances de travail a trois, intenses et stimulantes.
Je suis tres reconnaissante a Remi Carles et a Eric Cances d’avoir accepte la lourde charge de
rapporter ma these. Tous deux ont e ectue un travail remarquable, et leur relecture minutieuse a
permis a plusieurs passages de ce manuscrit de gagner en clarte et en rigueur gr^ace a de nombreuses
remarques pertinentes.
Patrick Gerard m’a fait l’honneur d’accepter de presider mon jury de these, et je l’en remercie
tres chaleureusement. Mes remerciements vont egalement a Jeremie Szeftel et a Marius Tucsnak, qui
ont accepte de faire partie de ce jury.
Dans un cadre plus informel, je tiens a remercier Karim Ramdani qui m’a beaucoup aidee de ses
conseils et de ses encouragements tout au long de ma these, ma tutrice Aurelie Muller-Gueudin pour
la conance qu’elle m’a accordee dans mes enseignements et le plaisir que j’ai eu a travailler avec elle,
et Thierry Goudon pour l’encadrement du Master de Lille 1 qui m’a donne l’envie de poursuivre en
these, ainsi que pour l’idee fructueuse de cette co-direction.
J’ai egalement une pensee pour tous ceux de mes professeurs qui, aux dierentes etapes de ma
scolarite, m’ont transmis le gout^ de mes mathematiques, de leur rigueur, et l’envie d’avancer un peu
plus dans cet entonnoir inverse de la connaissance.
Je souhaite remercier ici tous ceux qui ont contribue a faire de mon passage a l’IECN un moment
convivial et amical, notamment les doctorants ou post-doctorants Yannick, Bertrand, Christophe,
Nicu, Mar a, Erica, Yuning, Jerome^ , Julien, Li, Falk, Julie (m^eme si maintenant tu es titulaire) et
bien d’autres, avec qui nous avons partage d’agreables moments a l’IECN ou autour d’un verre a la
brasserie Monplaisir. Je pense egalement a tous ceux qui ont consacre de leur temps a me faire part
de leur experience, a m’ecouter et a m’aider a prendre du recul, notamment Anne, Karim, Takeo,
Thomas et Bruno, ainsi que Laurence pour sa gentillesse. Un grand merci egalement a toutes les
petites mains devouees qui m’ont o ert une aide e cace lors de la preparation du pot de these.
34
Une mention speciale va a Julie pour son oreille feminine et comprehensive. Ses encouragements
et son point de vue m’ont aidee a reprendre con ance dans mon travail et a mettre de cot^ e mes
interrogations sans n. Autre mention speciale a Bertrand, mon frere de these, avec qui j’ai a peu
pres tout partage, des galeres de l’inscription en these a nos premieres conferences. Merci pour ton
ecoute stoque et patiente lors de mes nombreux moments de doute, de deprime ou d’euphorie, et
pour les multiples services administratifs rendus ces dernieres semaines. Bonne chance a toi pour la
suite !
Je remercie egalement l’ensemble des membres du laboratoire Paul Painleve et de l’INRIA de
Lille, qui m’ont toujours bien accueillie lors de mes sejours a Lille. Merci particulierement a Alexis et
Beno^t pour leurs precieux conseils, et a Benjamin pour son amitie.
Cette these n’aurait peut-^etre pas pu ^etre menee a bien si elle n’avait trouve un cadre aussi
propice a l’evasion que le jardin, si concret et si complementaire de l’abstraction de l’etude des
mathematiques. Tous ceux qui aiment travailler la terre et qui aiment ce jardin-la comprendront la
force que j’ai pu puiser dans ces week-ends a Chateau-Salins. Ce n’est pas une passion, c’est un mode
de vie, une methode de respiration. A tous ceux qui m’ont permis d’en pro ter et d’y passer mes
vacances, merci.
Durant toutes mes etudes, et ma these en particulier, j’ai bene cie du soutien sans faille de
ma famille, et je les en remercie chaleureusement. Dans les moments de lassitude, j’ai retrouve ma
motivation dans l’exemple de leurs vies courageuses. Je pense a Francoi s pour sa curiosite scienti que,
a Mam’ dont la presence le jour de ma soutenance fut une grande joie, a Therese et a Jean-Jacques
dont le courage dans l’epreuve m’a fait relativiser les contrarietes du quotidien, ainsi qu’a Line et
a Bernard avec qui j’aurais aime partager ces annees. Merci a toute ma famille au sens large, qui
n’a pas manque de suivre l’evolution de mes travaux, et va maintenant en n entendre parler d’autre
chose que de ma these. Une pensee particuliere pour Annelise (« Quoi ? { Je t’aime bien ! »), tu as
toujours su trouver les mots qu’il fallait. Merci pour ta presence.
Il est des amis si proches qu’ils semblent n’^etre que le prolongement de la famille. J’ai la chance de
pouvoir compter sur l’amitie d’Amandine, de Mathilde et d’Yves-Laurent, qui chacun a leur maniere,
enrichissent ma vie par leurs qualites et leur personnalite. Leur presence, a tous les trois, en ce jour
si special, me touche beaucoup.
En n, et surtout, j’exprime toute ma gratitude a mes parents pour l’education qu’ils m’ont donnee
et les valeurs qu’ils m’ont transmises, dont notamment le sens du travail et de l’e ort. S’il m’est arrive,
enfant, de les trouver parfois trop stricts, j’ai compris par la suite combien leurs exigences etaient
une chance, destinee a me donner toutes les armes pour me construire en tant qu’adulte. Ce sont
eux aussi qui, depuis un certain mois d’avril, m’ont supportee, entouree, soutenue, sur le plan moral,
logistique, et materiel. Pendant ces annees de changements, d’incertitudes et de mobilite, ils m’ont
apporte une stabilite salutaire. Pour cela, et pour tout le reste, qu’ils en soient sincerement remercies.
A plus forte raison en ce jour particulier du 3 novembre, je suis heureuse de leur dedier cette these.Cela est bien dit, repondit Candide, mais il faut cultiver notre jardin.
56Table des matieres
Introduction 11
I Conditions aux limites arti cielles en dimension une 15
1 L’equation de Schrodinger avec potentiel variable 17
1.1 Ce qui est connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1 Cas sans potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2 Cas d’un potentiel constant en dehors du domaine calcul . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.3 Cas d’un potentiel ne dependant que du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.4 Cas de potentiels particuliers dependant de la variable d’espace x . . . . . . . . 24
1.2 Les classes de potentiels admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Introduction au calcul pseudodierentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1 Operateurs pseudodierentiels au sens de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3 Calcul symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 Construction des CLA sur le plan symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1 Deux strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.2 Developpement asymptotique en symboles homogenes de l’operateur de DtN . 33
1.4.3 Determination du symbole principal en fonction de la strategie . . . . . . . . . 34
1.4.4 Calcul de l’asymptotique en fonction du symbole principal . . . . . . . . . . . . 37
1.4.5 L’exemple du potentiel lineaire : comparaison des symboles . . . . . . . . . . . 40
M1.5 Etude du choix ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
1.5.1 Interpretation des symboles et choix de la condition . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.2 Retour aux conditions arti