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Construction et analyse de plans d'expérience sphériques ...

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Description

Motivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Construction et analyse de plans
d’expérience sphériques isovariants à l’aide
d’outils combinatoires et algébriques
1FRÉDÉRIC BERTRAND
1IRMA, Université Louis Pasteur
Strasbourg, France
Courriel :fbertran@math.u strasbg.fr
JDS07 – Angers – 11 juin 2007 Motivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Sommaire
Motivations
Problématique statistique
Admissibilité et isovariance
Isovariance et surfaces de réponses
Confusions d’effets
Plans sphériques de force t
Définition et premières propriétés des plans sphériques
Existence de plans sphériques
Estimabilité
Bases de Gröbner
Exemple d’application Motivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Motivations
Le travail réalisé porte sur l’utilisation combinée d’outils
combinatoires et algébriques pour la construction et
l’analyse de plans d’expérience.
Les principaux avantages de cette approche sont sa grande
généralité, son automatisation et l’obtention des
coordonnées exactes des points du plan ainsi que la
détermination complète des confusions d’effets. Motivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Nous intéresserons ici plus particulièrement à la méthodologie
des surfaces de réponse, à laquelle le lecteur trouvera une
introduction dans Myers et ...

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Langue Catalan

Exrait

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrConstructionetanalysedeplansxEmelped’expériencesphériquesisovariantsàl’aided’outilscombinatoiresetalgébriquesFRÉDÉRICBERTRAND11IRMA,UniversitéLouisPasteurStrasbourg,FranceCourriel:fbertran@math.u-strasbg.frJDS07–Angers–11juin2007dpalpcitaoin
oMitavitnosrPboélamitMotivationsuqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretSommaireProblématiquestatistiqueAdmissibilitéetisovarianceIsovarianceetsurfacesderéponsesConfusionsd’effetsaBessedrGböenrxEmepPlanssphériquesdeforcetDéfinitionetpremièrespropriétésdesplanssphériquesExistencedeplanssphériquesEstimabilitéBasesdeGröbnerExempled’applicationeldpalpcitaoin
oMitavitnoLsertParvboaliélamritqéuaeiltsasitséituqperoetPsalsnpséhrqieusedofcretMotivationsrultulisitaoinocBmabsisendéeGeörnbreEd’outilscombinatoiresetalgébriquespourlaconstructionetl’analysedeplansd’expérience.expmelLesprincipauxavantagesdecetteapprochesontsagrandegénéralité,sonautomatisationetl’obtentiondescoordonnéesexactesdespointsduplanainsiqueladéterminationcomplètedesconfusionsd’effets.dpalpcitaoin
oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpedpaNousintéresseronsiciplusparticulièrementàlaméthodologiedessurfacesderéponse,àlaquellelelecteurtrouverauneintroductiondansMyersetMontgomery(2002),etplusspécifiquementaucasdesplanssphériquesetàlapropriétéd’isovariancestatistique,introduiteparBoxetHunter(1957).Lesplansdontlespointssupportssontsituéssurunesphèreinterviennentégalement,entreautres,danslesdomainessuivants:1.larégressionsphérique,2.lareconnaissancedeformes,3.lagéostatistique4.l’analysedesaberrationsoptiqueslpcitaoin
oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpedActuellementlaconstructiondeplansd’expérienceeuclidiensreposegénéralementsurlarecherchenumériquedescoordonnéesdespointsduplan.papSicetterésolutionnumériquepeut,deprimeabord,semblersatisfaisantepourl’expérimentateur,ils’avèrequ’ellesouffredecertainsdéfauts.Ellerendàlafoisimpossiblel’obtentiond’uneclassificationdesplansàuneisométrieorthogonaleprèsetl’analyseexactedesconfusionsd’effetsquiapparaissentnécessairementlorsquenousnousintéressonsàdesplanseuclidiensdepetitetaille.Oruneconnaissanceprécisedesconfusionsd’effetsestimportantepourleplanificateuretrendenparticulierpossiblel’ajoutdetermescomplémentairesàdesmodèlespolynomiauxquinemodélisentpaslaréponseavecsuffisammentdeprécision.ilacitno
oMitavitnosrPboélamitMotivationsuqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretSommaireProblématiquestatistiqueAdmissibilitéetisovarianceIsovarianceetsurfacesderéponsesConfusionsd’effetsaBessedrGböenrxEmepPlanssphériquesdeforcetDéfinitionetpremièrespropriétésdesplanssphériquesExistencedeplanssphériquesEstimabilitéBasesdeGröbnerExempled’applicationeldpalpcitaoin
oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedGProblématiquestatistiqueörnbrexEmelpedpaDéfinitionUnplanξ0estditadmissibles’iln’existepasdeplanξtelque:M(ξ0)6M(ξ)etM(ξ0)6=M(ξ),oùM(ξ0)etM(ξ)sontlesmatricesdesmomentsrespectivementduplanξ0etduplanξ.p1.2()Lapropriétéd’admissibilitéd’unplanestuniquementassociéeàsespointssupportetnedépenddoncpasdespoidsduplan.Nousneconsidéreronsdoncquedesplanspourlesquelslespoidssontuniformesetsontparconséquentdesplansexacts.ilacitno
oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpedpalpAdmissibilité,invarianceetmodèlespolynomiauxNousconsidérons:1.unmodèlederégressionpolynomialAdedegréd,2.undomaineexpérimentalcompact.PropositionLamatricedesmomentsd’unplanξdepointssupportsx1,...,xrest:oùM(ξ)=(µα+β)α,βA,rXµα(ξ)=xiαξ(xi),αN0vet|α|62d.1=i)2.2()3.2(citaoin
oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEeDéfinitionSiunplanξestadmissiblepourunmodèlederégressionpolynomialAdedegrédilestditAadmissible.pmeldpaDéfinitionUnplanestditisovariantpourunmodèlederégressionsipourtoutg∈On,M(ξg)=M(ξ).pemmeLNousconsidéronsunmodèlederégressionpolynomialcompletdedegréd,Ad,etunplanξ.Alors,ilexisteunplanisovariantξequisoitAdadmissibleettelque:M(ξe)>M(ξ).()4.2ilacitno
oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpedNouspouvonscaractériserlesplansAdadmissiblespourundomaineχcompact.Lecasunidimensionnelaététraitéen1959parKiefer.ThéorèmeSoientv=1etχ=[a,b]avec(a,b)R2telsquea<b.UnplanξestAdadmissiblesietseulementsi:Card(supp(ξ)]a,b[)6d1.pap)5.2(ilacitno
oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpedThéorèmeSoitv>1,etS⊂χunsegmentnondégénéréinclusdansledomaineexpérimental.SiunplanξestAdadmissible:Card(supp(ξ)ri(S))6d1,ri(S)estl’intérieurrelatifdusegmentS.pap)6.2(ilacitno