Convex risk measures beyond bounded risks [Elektronische Ressource] / Gregor Svindland

Gregor Svindland

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Convex Risk Measures BeyondBounded RisksGregor SvindlandDissertation an der Fakult¨at fur¨ Mathematik, Informatik und Statistik derLudwig-Maximilians-Universit¨at Munc¨ henvorgelegt am 12.12.2008Erstgutachter: Prof. Dr. D. Filipovi´cZweitgutachter: Prof. Dr. H. F¨ollmerTag des Rigorosums: 19.02.2009ZusammenfassungSeit ihrer Einfuh¨ rung durch Artzner et al. [3], Follme¨ r und Schied [20] sowie Frittelliund Rosazza-Gianin [22] sind koh¨arente bzw. konvexe Risikomaße ein wichtiges Mittelzur konsistenten Risikobewertung. Beispiele sind das entropische Riskomaß oder derAverage Value at Risk, welche sich breiter Anwendung in der Versicherungswirtschafterfreuen. Die in den Anwendungen vorherrschende Klasse konvexer Risikomaße hat dieEigenschaft verteilungsinvariant zu sein, d.h. Positionen mit derselben Verteilung wirddasselbe Risiko zugesprochen. Die vorliegende Arbeit widmet sich insbesondere demStudium verteilungsinvarianter konvexer Risikomaße.∞ ∞¨Ublicherweise werden konvexe Risikomaße auf dem Raum L := L (Ω,F,P) ub¨ ereinem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) definiert. Ein Vorteil dieses Mo-∞dellraums ist, daß die einem konvexen Risikomaß zugrunde liegende Axiomatik auf Lautomatisch Lipschitzstetigkeit impliziert. Ein weiteres haufi¨ g angefuh¨ rtes Argument∞fu¨r die Wahl des Modellraums L ist die Invarianz dieses Raumes unter aq¨ uivalenter¨Maßtransformation, so daß das grundlegende Modell (Ω,F,P) nur bis auf Aquivalenzbestimmtwerdenmuß.

Sujets

• Mathematics

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• Publié par: ludwig-maximilians-universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Deutsch

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Convex Risk Measures Beyond Bounded Risks

Gregor Svindland

DissertationanderFakulta¨tf¨urMathematik,InformatikundStatistikder

Ludwig-Maximilians-Universit¨atM¨unchen

vorgelegt am 12.12.2008

Erstgutachter: Zweitgutachter: Tag des Rigorosums:

Prof. Dr. D. Prof. Dr. H. 19.02.2009

Filipovi´c F¨ollmer

Zusammenfassung

SeitihrerEinf¨uhrungdurchArtzneretal.[3],F¨ollmerundSchied[20]sowieFrittelli undRosazza-Gianin[22]sindkoha¨rentebzw.konvexeRisikomaßeeinwichtigesMittel zur konsistenten Risikobewertung. Beispiele sind das entropische Riskomaß oder der Average Value at Risk, welche sich breiter Anwendung in der Versicherungswirtschaft erfreuen. Die in den Anwendungen vorherrschende Klasse konvexer Risikomaße hat die Eigenschaft verteilungsinvariant zu sein, d.h. Positionen mit derselben Verteilung wird dasselbe Risiko zugesprochen. Die vorliegende Arbeit widmet sich insbesondere dem Studium verteilungsinvarianter konvexer Risikomaße. ¨ Ublicherweise werden konvexe Risikomaße auf dem RaumL ∞ :=L ∞ (Ω,F,P)¨erub einem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P Vorteil dieses Mo- Ein) definiert. dellraums ist, daß die einem konvexen Risikomaß zugrunde liegende Axiomatik aufL ∞ automatischLipschitzstetigkeitimpliziert.Einweiteresh¨aufigangefu¨hrtesArgument f¨urdieWahldesModellraumsL ∞ ieInistdanzdvariuaRseseiretnusemalivqu¨arteen ¨ Maßtransformation, so daß das grundlegende Modell (Ω,F,P) nur bis auf Aquivalenz bestimmt werden muß. Beim Studium von verteilungsinvarianten konvexen Risikomaßen greift dieses Argument aber nicht, denn Verteilungsinvarianz setzt die Festlegung eines verteilungsbestimmenden ReferenzmaßesP ist der Modellraumvoraus. VielmehrL ∞ urf¨ etlichepraktischeAnwendungen,indenensehrh¨aufigmitunbeschr¨anktenVerteilungen, beispielsweise mit Normalverteilten, modelliert wird, zu klein. Es stellt sich also die Frage,obesmo¨glichist,denModellraumzuerweitern,obdabeizus¨atzlicheAnforder- ungenanRisikomaßegestelltwerdenm¨ussenundobdadurchdieaufL ∞ ugf¨gunzuerrV stehendeVielfaltanRisikomaßenstarkeingeschra¨nktwird.Auff¨alligist,daßsa¨mtliche hinla¨nglichbekanntenBeispieleverteilungsinvarianterkonvexerRisikomaßeauchaufL p fu¨rp≥1 wohldefiniert sind, wenn man den Funktionswert∞zludnegneßt¨and.Ivoerierl Arbeit wird gezeigt, daß dies kein Zufall ist, sondern daß die verteilungsinvarianten unterhalbstetigen konvexen Funktionen aufL ∞ genau denjenigen aufL p entsprechen. Damit ist gezeigt Aufbauend auf diesem Resultat werden im weiteren Verlauf optimale Risikotransfers studiert. Die Problemstellung ist wie folgt. Gegeben sindnAgenten mit RisikenX i ∈ L p ,i= 1, . . . , n. Jeder Agent bewertet sein Risiko mittels eines verteilungsinvarianten unterhalbstetigen konvexen Risikomaßesρ i aufL p  aggregierte Risiko ist. DasX:= X 1 +. . .+X n .Eine Allokation vonXist eine Neuverteilung des aggregierten Risikos, d.h. jeder Agent nimmt ein neues RisikoY i ∈L p unter der Bedingung, daßY 1 +. . .+Y n =X. Der Risikowert einer solchen Allokation istρ 1 (Y 1 )+. . .+ρ n (Y n  optimale Allokation). Eine

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vonXist eine Allokation vonX, welche den Risikowert unter allen Allokationen von Xoptimale Allokation ist insbesondere optimal im Sinne von solche minimiert. Eine Pareto. Die Frage der Existenz und gegebenenfalls der Charakterisierung von optimalen Allokationen ist Bestandteil des Kapitels 3. Es wird gezeigt, daß unter den genannten Voraussetzungen optimale Allokationen immer existieren und diese sogar komonoton gewa¨hltwerdenk¨onnen,alsoinsbesonderealsVertr¨agebasierendaufdemaggregierten RisikoX. Abschließendbesch¨aftigtsichdievorliegendeArbeitmitSubgradientenvonverteil- ungsinvarianten konvexen Risikomaßen aufL 1 . Subgradienten und die durch sie gegebe- nen Preisregeln spielen unter anderem in der Equilibriumtheorie eine bedeutende Rolle. ge ImKapitel4wirdeinverallgemeinerterSubgradientenbegriffeinf¨uhrtundderZusam- menhangmitoptimalenAllokationenundEquilibriaerl¨autert.DiezentraleAufgabe dieses Abschnitts ist eine Charakterisierung der Punkte, an denen nicht-leere verallge- meinerte Subgradienten existieren.

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Abstract

This work addresses three main issues: Firstly, we study the interplay of risk measures onL ∞ andL p , forp≥1. Our main result is a one-to-one correspondence between law-invariant closed convex risk measures onL ∞ andL 1  proves that the canonical. This model space for the predominant class of law-invariant convex risk measures isL 1 . Secondly, we provide the solution to the existence and characterisation problem of optimal capital and risk allocations for law-invariant closed convex risk measures on the model spaceL p , for anyp∈[1,∞]. Our main result says that the capital and risk allocation problem always admits a solution via contracts whose payoffs are defined as increasing Lipschitz continuous functions of the aggregate risk. This result holds without requiring the monotonicity of the risk measures involved. Finally, we study subgradients of law-invariant convex risk measures onL 1 . Here we introduce the notion of a generalised subgradient and point out its connection with optimal risk sharing and equilibria. Our main result is a simple condition guaranteeing the existence of a non-empty generalised subgradient.

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Contents

Introduction 1 1. Preliminary Results, Notational Conventions, and Basic Assumptions 3 1.1. Some Facts and Notation from Convex Analysis . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Assumptions on the Underlying Probability Space and More Notational Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Convex Risk Measures Beyond Bounded Risks 6 2.1. Convex Risk Measures onL p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .  6 2.2.L p -closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3. Law-Invariant Convex Functions onL p . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .  12 2.4. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1. Extensions of Law-invariant Convex Risk Measures . . . . . . . . . 18 2.4.2. Non-uniqueness of Closed Convex Extensions . . . . . . . . . . . . 19 2.4.3. Non-extendable Convex Risk Measures . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.4. A Counter-Example Related to Lemma 2.5 . . . . . . . . . . . . . 21 3. Optimal Capital and Risk Allocations 22 3.1. Existence of Optimal Allocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2. Uniqueness of Optimal Allocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3. Problem Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4. Comonotone Concave Order Improvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.5. Proof of Theorem 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.6. Optimal Risk Sharing under Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4. Subgradients of Law-Invariant Convex Risk Measures onL 1 34 4.1. Subgradients and Generalised Subgradients . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2. The SpaceL ρ  38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 4.3. Proofs of Lemma 4.7 and Theorem 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4. Optimal Risk Sharing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.5.1. Essential Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.5.2. Average Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.5.3. Semi–Deviation Risk Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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A.

Contents

4.5.4. Entropic Risk Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5. The Variety of theL ρ -spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.6. An Example Illustrating Difficulties in the Proof of Theorem 4.8

Appendix A.1. Hardy-Littlewood Inequalities . . . . A.2. An Arzela-Ascoli Type Argument . . A.3. Standard Probability Space . . . . .

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