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LIENS
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Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10
http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm UFR S.T.M.I.A.
École Doctorale IAE+ M
Université Henri Poincaré - Nancy I
D.F.D. Mathématiques
Thèse
présentée pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Université Henri Poincaré, Nancy-I
en Mathématiques
par
Benoît Claudon
Déformation de variétés kählériennes compactes :
invariance de la Γ-dimension et
extension de sections pluricanoniques
soutenue publiquement le 6 décembre 2007
Membres du Jury :
Rapporteurs : Jean-Pierre Demailly Professeur, Grenoble
Claire Voisin DR CNRS, Paris
Examinateurs : Daniel Barlet Professeur, Nancy
Frédéric Campana Professeur, Nancy (Directeur de thèse)
Jón Ingólfur Magnússon Professeur, Reykjavík
Mihai Păun Professeur, Nancy
Institut Élie Cartan Nancy, Laboratoire de Mathématiques, B.P. 239, 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy CedexRemerciements
JetiensentoutpremierlieuàexprimermaplusprofondegratitudeàFrédéricCampanaquim’a
accompagné durant ces trois années. Sa grande disponibilité par rapport à mes questions les plus
variées (qu’elles soient de nature mathématique ou non) ainsi que l’étendue de ses connaissances
m’ont permis d’appréhender progressivement l’activité de chercheur cependant que sa conception
de la géométrie complexe a largement influencé le présent mémoire. Tout au long de ces années,
j’ai été très sensible à la grande liberté qu’il m’a octroyée pour mener à bien mon travail et à la
confiance qu’il m’a régulièrement témoignée (même dans les moments les plus difficiles). Enfin,
pour toutes ces conversations plus enrichissantes et divertissantes les unes que les autres, je le
remercie sincèrement.
Sur le chemin menant de mon bureau à celui de mon directeur se trouve celui de Mihai Păun :
mes arrêts y furent fréquents. L’intérêt qu’il atoujours porté àmon travail, l’attention avec laquelle
il écoutait (et répondait à) mes diverses interrogations et sa bonne humeur ont été une source
intarissable de motivation depuis son arrivée à l’Institut. Est-il nécessaire de préciser à quel point
latroisièmepartie(aumoins)decemémoireaétéinspiréeparsestravauxdontilm’agénéreusement
fait profiter?
Claire Voisin et Jean-Pierre Demailly m’ont fait l’immense honneur de rapporter sur ce mé-
moire. C’est avec plaisir que je leur adresse mes remerciements pour ce travail : leurs remarques
et suggestions ont dans une large mesure participé à l’amélioration de cette thèse. Jean-Pierre
Demailly a eu de plus la lourde tâche de m’initier à la géométrie kählérienne lors de mon D.E.A.
à Grenoble : qu’il en soit ici chaleureusement remercié.
C’est une grande joie pour moi que de compter Daniel Barlet et Jón Magnússon parmi mon
jury de thèse. Les conversations que j’ai pu avoir avec l’un et l’autre m’ont beaucoup apporté (tant
sur le plan de la géométrie analytique que de la littérature islandaise).
Philippe Eyssidieux a suivi ma progression; il a également su m’avertir lorsque je faisais fausse
route et je lui en suis très reconnaissant.
Il me semble également important de souligner ici la qualité des conditions de travail offertes
parl’I.E.C.N.ainsiquecelledutravailfourniparlessecrétaires(enparticulierChantaletPatricia).
La liste des personnes avec lesquelles j’ai pu interagir à l’Institut serait bien longue pour cette
simple page; permettez moi de n’en citer qu’une partie. Aux collègues de l’équipe (Vincent, Matei,
Alain, Piotr, ...), aux autres doctorants (Pierre, Stéphane M., Lucas, Julien R., Simon, François,
Aurélien, Julien C.,...), aux volleyeurs du lundi (Oussama, Julien M., Stéphane G.) et aux habitués
du repas de midi qui ont participé à toutes ces conversations improbables (Régine et d’autres déjà
nommés) : un grand merci (mention spéciale à Vincent qui est dans l’intersection de trois de ces
catégories).
Mes amis, que je les aie rencontrés à Nancy, Lyon ou ailleurs, ont eu, ont et auront toujours une
place importante dans ma vie. Parmi eux, Aurélien supporte mes interrogations et enthousiasmes
mathématiques depuis de très nombreuses années : j’espère que cela durera encore longtemps.
A en juger par les innombrables moments de bonheur partagés avec eux, je dois bien admettre
que mes parents, ma soeur et mon frère (pourtant plus portés sur les disciplines littéraires) tolèrent
mon activité mathématique. Merci à eux ainsi qu’à ma (bientôt) belle-famille pour tout ce qu’ils
m’apportent.
Il y a maintenant un peu plus de 7 ans, Marie est entrée dans ma vie; pour mon plus grand
bonheur, elle semble vouloir y rester. Pour tous ces instants vécus, partagés et que de simples mots
ne sauraient décrire...Marie, merci.
1Table des matières
Conventions et Notations 9
I Γ-réduction : aspects géométriques et analytiques 11
1 Introduction aux parties I et II 12
1.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Contenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Généralités sur la Γ-réduction 18
2.1 Revêtement universel et conjecture de Shafarevich . . . . . . . . 18
2.2 Γ-réduction des variétés kählériennes compactes . . . . . . . . . . 20
2.3 Propriétés et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Γ-dimension et fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Un résultat d’additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Cas des submersions en tores . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Caractérisation de γd(X)=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Γ-réduction et théorie de la classification 34
3.1 Quotient rationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Fibration d’Albanese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 d’Iitaka-Moishezon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
24 Applications des techniques L à l’étude de la Γ-réduction 43
24.1 Rappels de théorie de Hodge L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
14.2 Théorème de comparaison : positivité de Ω et Γ-dimension . . . 45X
4.2.1 Un exemple : la simple connexité des variétés de Fano . . 45
4.2.2 Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
24.3 Formes holomorphes L et Γ-réduction . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1 Cas des formes de degré 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.2 Formes de degré 2 ou plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
24.3.3 F canoniques L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II Γ-réduction des variétés kählériennes compactes de
dimension 3 57
5 Structures orbifoldes 58
5.1 Notion de base orbifolde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Fibré canonique et dimension de Kodaira . . . . . . . . 60
25.3 Groupes fondamentaux orbifoldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Courbes orbifoldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Surfaces orbifoldes (non de type général) 66
6.1 Surfaces orbifoldes réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 à fibré canonique trivial . . . . . . . . . . . . 68
6.3 Surfaces orbifoldes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7 Γ-réduction en dimension 3 73
7.1 Variétés de 3 de type π -général . . . . . . . . . . . . 751
7.2 Γ-réduction non de type général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Majoration du volume des fibres de certaines applications . . . . 80
8 Invariance par déformation 84
8.1 Conjecture générale et cas des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.2 Semi-continuité de la Γ-dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.3 Invariance par déformation : cas de la dimension 3 . . . . . . . . 88
9 Γ-réd