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D´etection statistique de rupture de mod`ele - Application
`a la d´etection d’anomalie sur un proc´ed´e de d´epollution
biologique
Ghislain VERDIER
UMR Analyse des Syst`emes et Biom´etrie - SUPAGRO-INRA - Montpellier
Laboratoire de Probabilit´e et Statistiques - Universit´e Montpellier II
28 Mai 2008
Ghislain VERDIER (UM2) S´eminaire UTT 28 Mai 2008 1 / 37 Le mod`ele
Type de mod`ele ´etudi´e :
X =f(X ,θ,v )n n−1 n
Y =g(X ,θ,w )n n n
X : variable d’´etat, Y : variable d’observation
v et w : bruits blancs (g´en´eralement gaussiens).
θ param`etre caract´erisant le changement :
avant l’instant de changement, not´e t (inconnu) : θ = θ (r´egime H )p 0 0
`a partir de l’instant de changement : θ = θ , i = 1,...,K (r´egime H )i i
D´etection : K = 1, Diagnostic : K ≥ 2.
Construction d’une statistique de test et comparaison avec un seuil h
pour d´etecter le changement de param`etre (ou` la rupture de mod`ele).
Crit`eres de qualit´e d’une r`egle : faible retard a` la d´etection, faible
taux de fausses alarmes.
Ghislain VERDIER (UM2) S´eminaire UTT 28 Mai 2008 2 / 37 Le mod`ele
Type de mod`ele ´etudi´e :
X =f(X ,θ,v )n n−1 n
Y =g(X ,θ,w )n n n
X : variable d’´etat, Y : variable d’observation
v et w : bruits blancs (g´en´eralement gaussiens).
θ param`etre caract´erisant le changement :
avant l’instant de changement, not´e t (inconnu) : θ = θ (r´egime H )p 0 0
`a partir de l’instant de changement : θ = θ , i = 1,...,K (r´egime H )i i
D´etection : K = 1, Diagnostic : K ≥ 2 ...
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De´tectionstatistiquederupturedemode`le-Applicationa`lade´tectiond’anomaliesurunproce´de´dede´pollutionbiologiquehGilsianGhislainVERDIERUMRAnalysedesSyste`mesetBiome´trie-SUPAGRO-INRA-MontpellierEVRLaboratoiredeProbabilite´etStatistiques-Universite´MontpellierIIIDER(MU2)28Mai2008e´SimanierTUT82aMi02801/73
Lemode`lehGTypedemode`lee´tudie´:Xn=f(Xn1,θ,vn)Yn=g(Xn,θ,wn)X:variabled’e´tat,Y:variabled’observationvetw:bruitsblancs(ge´ne´ralementgaussiens).θparame`trecaracte´risantlechangement:avantl’instantdechangement,note´tp(inconnu):θ=θ0(re´gimeH0)a`partirdel’instantdechangement:θ=θi,i=1,...,K(re´gimeHi)De´tection:K=1,Diagnostic:K2.Constructiond’unestatistiquedetestetcomparaisonavecunseuilhpourde´tecterlechangementdeparame`tre(ou`larupturedemode`le).Crite`resdequalite´d’unere`gle:faibleretarda`lade´tection,faibletauxdefaussesalarmes.ilsianEVDRIER(MU2)e´SimanierTUT82aMi02802/73
Lemode`lehGTypedemode`lee´tudie´:Xn=f(Xn1,θ,vn)Yn=g(Xn,θ,wn)X:variabled’e´tat,Y:variabled’observationvetw:bruitsblancs(ge´ne´ralementgaussiens).θparame`trecaracte´risantlechangement:avantl’instantdechangement,note´tp(inconnu):θ=θ0(re´gimeH0)a`partirdel’instantdechangement:θ=θi,i=1,...,K(re´gimeHi)De´tection:K=1,Diagnostic:K2.Constructiond’unestatistiquedetestetcomparaisonavecunseuilhpourde´tecterlechangementdeparame`tre(ou`larupturedemode`le).Crite`resdequalite´d’unere`gle:faibleretarda`lade´tection,faibletauxdefaussesalarmes.ilsianEVDRIER(MU2)e´SimanierTUT82aMi02802/73
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Plandel’expose´1234Lare`gleduCUSUMApproximationduCUSUMDe´finitionetRe´sultatsAlgorithmedefiltrage-de´tectionApplicationsConclusionshGilsianEVDRIER(MU2)e´SimanierTUT82aMi02803/73
Plandel’expose´1234Lare`gleduCUSUMApproximationduCUSUMDe´finitionetRe´sultatsAlgorithmedefiltrage-de´tectionApplicationsConclusionshGilsianEVDRIER(MU2)e´SimanierTUT82aMi02804/73
uQehGluqseonYattY1:n:=1,...,niosnP(tp):mesuredeprobabilite´associe´ea`Y1,...,Yn,...avecunchangementdere´gimeentp(passagedeH0a`H1).E(tp):espe´ranceassocie´ea`lamesureP(tp).sitp=,onutilisePθ0etEθ0.ilsianEVDRIER(MU2)e´SimanierTUT82aMi02805/73
Lare`gleduCUSUMhGDe´tectiond’unchangementdeparame`tredansladensite´conditionnelledesobservations:n<tp,Yn|Y1:n1pθ0(Yn|Y1:n1)etntp,Yn|Y1:n1pθ01,tp(Yn|Y1:n1).Conditionsd’applications:valeursθ0etθ1connuesStatistiquedetest:nXpθ01,j(Yi|Y1:i1)gn=1mjaxnZi,javecZi,j=logpθ0(Yi|Y1:i1)j=iTempsd’arreˆtdelare`gle:ta=inf{n:gnh}ou`h(seuil)fixe´parexpe´rimentateur.ilsianEVDRIER(MU2)e´SimanierTUT82aMi02806/73
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Lare`gleduCUSUMhGDe´tectiond’unchangementdeparame`tredansladensite´conditionnelledesobservations:n<tp,Yn|Y1:n1pθ0(Yn|Y1:n1)etntp,Yn|Y1:n1pθ01,tp(Yn|Y1:n1).Conditionsd’applications:valeursθ0etθ1connuesStatistiquedetest:nXpθ01,j(Yi|Y1:i1)gn=1mjaxnZi,javecZi,j=logpθ0(Yi|Y1:i1)j=iTempsd’arreˆtdelare`gle:ta=inf{n:gnh}ou`h(seuil)fixe´parexpe´rimentateur.ilsianEVDRIER(MU2)e´SimanierTUT82aMi02806/73
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