Technische Universität München
Fakultät für Physik
Max-Planck-Institut für Plasmaphysik
Diffusive Heat Transport across Magnetic Islands and
Stochastic Layers in Tokamaks
Matthias Hölzl
Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Physik der Technischen Universität
München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der
Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. St. Paul
Prüfer der Dissertation:
1. Hon.-Prof. Dr. S. Günter
2. Univ.-Prof. Dr. K. Krischer
Die Dissertation wurde am 30.10.2009 bei der Technischen Universität München
eingereicht und durch die Fakultät für Physik am 29.01.2010 angenommen.DIFFUSIVE HEAT TRANSPORT ACROSS
MAGNETIC ISLANDS AND STOCHASTIC LAYERS
IN TOKAMAKS
Dissertation
von
Matthias Hölzl
durchgeführt am
Max-Planck-Institut für Plasmaphysik
Physik Department der
Technischen Universität MünchenAbstract
In tokamak experiments, neoclassical tearing modes (NTMs) limit the maximum achievable
pressure gradients. These modes can cause a sudden loss of the complete plasma confinement,
which may damage the the vacuum vessel walls. An improved understanding of neoclassical
tearing modes is therefore of great relevance for the development of an economic magnetic
confinement fusion power plant. The driving term of NTM instabilities is tightly connected
to heat transport phenomena, that are governed by a huge anisotropy in magnetized plasmas.
Heat conduction along magnetic field lines, which is dominated by free-streaming electrons,
is faster by up to ten orders of magnitude than cross-field transport that is mostly driven by
turbulence.
This dissertation treats the plasma as a magnetized fluid and investigates the anisotropic
heat transport from the hot plasma core towards the colder plasma boundary. The transport
across magnetic islands and ergodic layers is simulated numerically with realistic plasma pa-
rameters. The computations are performed in unsheared helical coordinate systems with a
finite difference scheme that does not require an exact alignment of the coordinate system to
the magnetic field lines in spite of the pronounced heat diffusion anisotropy. Simulations are
carried out for, both, simplified cylindrical and realistic tokamak geometries. This allows to
perform direct comparisons to analytical predictions as well as to measurements in tokamak
experiments and gain information regarding the stability properties of NTMs and important
experimental plasma parameters.
The flattening of the temperature distribution inside islands is examined revealing signif-
icant differences between the in- and outboard sides of the torus. The reduction of the core
plasma temperature due to the enhanced radial transport across magnetic islands is investi-
gated and the characteristics of the NTM driving term are determined from numerical simula-
tions, allowing to give an empirical correction factor for analytical predictions.
The exact value of the heat diffusion anisotropy is not well known in experiments, as there
exists no direct way for measuring it. In this work, an approach is made to determine this
quantity by comparing simulations of the heat transport across magnetic islands to measure-
ments of the electron temperature at the tokamaks TEXTOR and ASDEX Upgrade. This way,
the width of the magnetic island and the heat diffusion anisotropy are determined for individ-
ual transits of the rotating mode around the torus. The observed anisotropy is significantly
lower than the classical prediction by Spitzer and Härm, indicating that the so-called heat flux
limit determines heat transport across magnetic islands.
Overlapping islands lead to the formation of an ergodic layer in which magnetic field lines
become stochastic, i.e., move randomly through that layer. The radial heat transport across
VIIthe layer is enhanced as a contribution along magnetic field lines arises. This is examined in
cylindrical and toroidal geometries, revealing that single island effects dominate for low to
moderate heat diffusion anisotropies which leads to a flattening of the temperature distribu-
tion in the individual island regions. For larger anisotropies, radial transport across the ergodic
layer is increased strongly beyond single island values, causing a flattening of the tempera-
ture distribution in the whole layer. A comparison of the heat transport across a highly ergodic
region produced by strongly overlapping islands to classical analytical predictions yields qual-
itative agreement while the predicted values cannot be approved.
It is demonstrated, that the sudden amplitude drop observed in high pressure experiments
at neoclassical tearing modes in the so-called frequently interrupted regime may be tightly
connected to an ergodization of the magnetic field structure at the NTM. The ergodization
reduces the resonant helical perturbation of the plasma current, removing a large fraction of
the island drive. In simulations of the heat transport across an ergodic plasma boundary in
ASDEX Upgrade geometry, a considerable drop of the edge temperature pedestal height is
observed when Spitzer-Härm conductivity is assumed.
VIIIKurzfassung
In Tokamak-Experimenten limitieren neoklassische Tearing-Moden (NTMs) die maximal er-
reichbaren Druckgradienten. Diese Moden können außerdem zu einem plötzlichen Verlust des
Plasma-Einschlusses und so zu einer Beschädigung der Wände des Vakuum-Gefäßes führen.
Ein verbessertes Verständnis der Physik neoklassischer Tearing-Moden is somit von großer
Bedeutung für die Entwicklung eines ökonomischen Fusionskraftwerks mit magnetischem
Einschluss. Der Antrieb von NTM-Instabilitäten ist eng verbunden mit Wärmetransport-
Phänomenen die in magnetisierten Plasmen durch eine enorme Anisotropie bestimmt werden.
Der Wärmetransport entlang magnetischer Feldlinien erfolgt um bis zu zehn Größenordnun-
gen schneller als der vorwiegend turbulente Senkrecht-Transport.
In dieser Dissertation wird das Plasma als magnetisiertes Fluid behandelt und der anisotrope
Wärmetransport vom heißen Plasmazentrum hin zum kälteren Plasmarand untersucht. Der
Wärmefluss über magnetische Inseln und ergodische Schichten wird mit realistischen Plasma-
Parametern numerisch simuliert. Die Berechnungen werden in unverscherten helikalen Ko-
ordinatensystemen mit einem Finite-Differenzen-Verfahren durchgeführt, das trotz der aus-
geprägten Anisotropie der Wärmeleitfähigkeit keine exakte Ausrichtung der Koordinaten an
den magnetischen Feldlinien erfordert. Die Simulationen erfolgen in vereinfachten zylin-
drischen und in realistischen Tokamak-Geometrien. So sind direkte Vergleiche sowohl mit an-
alytischen Vorhersagen als auch mit Messungen in Tokamak-Experimenten möglich, wodurch
Informationen über das Stabilitätsverhalten von NTMs und über wichtige Plasma-Parametern
gewonnen werden.
Die Abflachung der Temperatur-Verteilung im Inneren von Inseln wird untersucht, wobei
sich deutliche Unterschiede zwischen Innen- und Außenseite des Torus ergeben. Die Ver-
ringerung der Plasma-Kerntemperatur durch den erhöhten radialen Transport über magnetis-
che Inseln wird eruiert. Die Eigenschaften des Antriebsmechanismus von NTMs werden be-
trachtet wodurch ein empirischer Korrektur-Term für analytische Vorhersagen bestimmt wer-
den kann.
Die Anisotropie der Wärmeleitfähigkeit in den Plasma-Experimenten ist nicht genau be-
kannt, da es keine Möglichkeit gibt, diese direkt zu messen. In der vorliegenden Arbeit
wird daher der Versuch unternommen, die Anisotropie durch den Vergleich von Simulatio-
nen des Wärmeflusses über magnetische Inseln mit Messungen der Elektronentemperatur in
den Tokamak-Experimenten TEXTOR und ASDEX Upgrade zu bestimmen. Dadurch wird
die Inselbreite und die Anisotropie der Wärmeleitfähigkeit jeweils für einzelne Umläufe der
um den Torus rotierenden Moden ermittelt. Die so detektierte Anisotropie ist erheblich kleiner
als in der einschlägigen Arbeit von Spitzer und Härm vorhergesagt was einen wichtigen Hin-
IXweis darauf liefert, dass der Wärme-Transport über magnetische Inseln durch die sogenannte
Heat-Flux-Limit-Theorie bestimmt wird.
Mehrere sich überlappende Inseln führen zur Entstehung einer ergodisierten Schicht, in
der magnetische Feldlinien stochastisch werden, sich also zufällig durch diese Schicht be-
wegen. Der radiale Wärmetransport über eine derartige Schicht ist erhöht, da ein Beitrag
entlang von magnetischen Feldlinien auftritt. Dies wird in zylindrischer und toroidaler Ge-
ometrie untersucht wobei sich zeigt, dass die Effekte einzelner Inseln bei niedrigen bis mit-
tleren Anisotropien der Wärmeleitfähigkeit dominieren, wodurch die Temperaturverteilung
im Bereich der einzelnen Inseln abflacht. Bei höheren Anisotropien ist der radiale Transport
über die ergodische Schicht stark gegenüber den Effekten der einzelnen Inseln erhöht, was
eine Abflachung der Temperaturverteilung in der gesamten Schicht hervorruft. Ein Vergleich
des Wärmetransports über eine hoch-ergodische Schicht, die durch stark überlappende Inseln
erzeugt wird, mit klassischen analytischen Vorhersagen zeigt qualitative Übereinstimmung,
während die vorhergesagten Werte nicht bestätigt werden können.
Es wird ferner gezeigt, dass der plötzliche Amplituden-Abfall neoklassischer Tearing-Mo-
den, der in Experimenten bei hohem Druck beobachtet wurde, in engem Zusammenhang
mit einer Ergodisierung der Magnetfeldstruktur am Ort der Mode stehen könnte. Die Ergo-
disierung verringert die resonante helikale Störung des Plasmastroms, wodurch ein großer Teil
des Moden-Antriebs unterdrückt wird. Der Wärmetransport über einen ergodisierten Plas-
marand wird in der Geometrie von ASDEX Upgrade untersucht. Ein deutlicher Abfall der
Höhe des Temperatur-Pedestals am Plasmarand wird unter der Annahme von Spitzer-Härm
Leitfähigkeit beobachtet.
XContents
1. Introduction 1
1.1. Nuclear Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Magnetic Confinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Islands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4. Aims of this Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. List of Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Theoretical Background 9
2.1. Plasma Fluid Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Tokamak Equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Charged Particle Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Heat Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5. Magnetic Islands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6. Neoclassical Tearing Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7. Stochastic Field Layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Experimental Background 37
3.1. Tokamak Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Neoclassical Tearing Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3. Edge Localized Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4. Resonant Magnetic Perturbation Coils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5. Temperature Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4. Model 51
4.1. Heat Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2. Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3. Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4. Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5. Magnetic Islands 75
5.1. Basic Heat Transport Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2. Confinement Degradation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3. Heat Transport in Tokamak Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
XI5.4. Local Temperature Peaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5. Neoclassical Tearing Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6. Heat Diffusion Anisotropy 87
6.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2. TEXTOR Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3. Physics Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4. Comparison of Simulations and Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.5. Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7. NTMs in ASDEX Upgrade 101
7.1. Experimental Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2. Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8. Ergodic Layers 105
8.1. Basic Heat Transport Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.2. Highly Stochastic Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3. FIR-NTMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.4. Ergodic Plasma Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9. Summary and Conclusions 119
Appendix 123
A. Coordinate Systems 125
A.1. Tensor Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.2. Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.3. Toroidal Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.4. Coordinate Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
B. Implementation 133
B.1. Code Interplay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.2. Fortran Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.3. Postprocessing Tool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
B.4. Matching of Experimental and Numerical Data . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Index 139
Bibliography 141
XII