Dynamical tunneling in systems with a mixed phase space [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Steffen Löck

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• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 19
• Langue: English
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Extrait

Dynamical Tunneling
in Systems with a Mixed Phase Space
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
Doctor rerum naturalium
vorgelegt von
Steffen Löck
geboren am 22.03.1982 in Radebeul
Institut für Theoretische Physik
Fachrichtung Physik
Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften
Technische Universität Dresden
2009Eingereicht am 16.12.2009
1. Gutachter: Prof. Dr. Roland Ketzmerick
2. Gutachter: Prof. Dr. Jan Wiersig
Verteidigt am 22.04.2010v
Abstract
Tunneling is one of the most prominent features of quantum mechanics. While the tunneling
process in one-dimensional integrable systems is well understood, its quantitative prediction for
systems with a mixed phase space is a long-standing open challenge. In such systems regions
of regular and chaotic dynamics coexist in phase space, which are classically separated but
quantum mechanically coupled by the process of dynamical tunneling. We derive a prediction
of dynamical tunneling rates which describe the decay of states localized inside the regular
region towards the so-called chaotic sea. This approach uses a fictitious integrable system
which mimics the dynamics inside the regular domain and extends it into the chaotic region.
Excellent agreement with numerical data is found for kicked systems, billiards, and optical
microcavities, if nonlinear resonances are negligible. Semiclassically, however, such nonlinear
resonance chains dominate the tunneling process. Hence, we combine our approach with an
improvedresonance-assistedtunnelingtheoryandderiveaunifiedpredictionwhichisvalidfrom
the quantum to the semiclassical regime. We obtain results which show a drastically improved
accuracy of several orders of magnitude compared to previous studies.
Zusammenfassung
Der Tunnelprozess ist einer der bedeutensten Effekte in der Quantenmechanik. Während das
Tunneln in eindimensionalen integrablen Systemen gut verstanden ist, gestaltet sich dessen
Beschreibung für Systeme mit gemischtem Phasenraum weitaus schwieriger. Solche Systeme
besitzenGebieteregulärerundchaotischerBewegung, dieklassisch getrenntsind,
aberquantenmechanisch durch den Prozess des dynamischen Tunnelns gekoppelt werden. In dieser Arbeit
wird eine theoretische Vorhersage für dynamische Tunnelraten abgeleitet, die den Zerfall von
Zuständen, dieimregulärenGebiet lokalisiertsind, indiesogenannte chaotische Seebeschreibt.
Dazu wird ein fiktives integrables System konstruiert, das im regulären Bereich eine nahezu
gleiche Dynamik aufweist und diese Dynamik in das chaotische Gebiet fortsetzt. Die
Theorie zeigt eine ausgezeichnete Übereinstimmung mit numerischen Daten für gekickte Systeme,
Billards und optische Mikrokavitäten, falls nichtlineare Resonanzketten vernachlässigbar sind.
Semiklassisch jedoch bestimmen diese nichtlinearen Resonanzketten den Tunnelprozess. Daher
kombinieren wir unseren Zugang mit einer verbesserten Theorie des Resonanz-unterstützten
Tunnelns und erhalten eine Vorhersage, die vom Quanten- bis in den semiklassischen Bereich
gültig ist. Ihre Resultate zeigen eine Genauigkeit, die verglichen mit früheren Theorien um
mehrere Größenordnungen verbessert wurde.Contents
1 Introduction 1
2 Barrier tunneling in one-dimensional systems 7
2.1 WKB method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Bohr-Sommerfeld quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Gamov theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Application to double-well potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Application to δ-potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Model systems with a mixed phase space 25
3.1 Kicked systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Classical maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.3 Classical perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.4 Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.5 Numerical methods for the calculation of tunneling rates . . . . . . . . . 65
3.2 Billiard systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1 Classical dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.2 Quantum billiards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.3 Numerical methods for the calculation of tunneling rates . . . . . . . . . 87
3.3 Optical microcavities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3.1 Ray dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.2 Wave mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 Dynamical tunneling in quantum maps 97
4.1 Direct regular-to-chaotic tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.1 Theoretical description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.2 Fictitious integrable system and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.3 Semiclassical evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2 Unification with resonance-assisted tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2.1 Theory of resonance-assisted tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122viii Contents
4.2.2 Improvements of resonance-assisted tunneling . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.3 Multi-resonance effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5 Dynamical tunneling in billiard systems 143
5.1 Direct regular-to-chaotic tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.1 Mushroom billiards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.2 Annular billiards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.2.3 Dynamical tunneling of bouncing-ball modes . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.2.4 Two-dimensional nanowires with a magnetic field . . . . . . . . . . . . . 169
5.2.5 Cosine billiards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6 Quality factors of optical microcavities 179
6.1 The circular microcavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2 Direct regular-to-chaotic tunneling in the annular microcavity . . . . . . . . . . 182
7 Summary and outlook 191
A Dimensionless variables 195
B Classical kicked systems 197
B.1 Smoothing of designed discontinuous mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
B.2 An example of the Lie transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
B.3 An example of the normal-form analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
B.4 Calculation of the pendulum parameters V , I , M . . . . . . . . . . . . . . 207r:s r:s r:s
C Quantum maps 211
C.1 Semiclassical energies of kicked systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
C.2 Phase splittings and tunneling rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
C.3 Tunneling rates and coupling matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
D Billiard systems 215
D.1 Coupling matrix elements of non-orthogonal states . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
D.2 Derivation of A for the mushroom billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216ch
D.3 Eigenmodes of a wire in a magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
D.4 Semiclassical description of localization lengths in wires with one-sided disorder 219
Bibliography 2211 Introduction
The exponential decay rates of radioactive substances were found experimentally by Elster
and Geitel [1] in 1899, three years after the discovery of natural radioactivity. One year later
Rutherford introduced the concept of half-life times [2]. The radioactive decay is a purely
quantum phenomenon. Due to the uncertainty principle for quantum particles the position
and the momentum cannot be specified at the same time with arbitrary precision as in
classical mechanics. Instead, it is described by a wave function which is given as a solution of the
Schrödinger equation. The modulus squared of this wave function is a probability amplitude
for the distribution of the particle. This probability can be positive even in regions where the
classical motion is forbidden. For example this occurs for an energy barrier of finite height
which classically cannot be passed if the energy of the particle is too low. Hence, a quantum
mechanical particle may pass through such a potential barrier which is called quantum
tunneling. This occurs for the α-decay which is described by the well-known Gamov formula [3–5].
Later, electron tunneling in solids was demonstrated by Esaki [6,7] in 1957 who discovered the
tunneling diode. In 1962 Josephson studied tunneling between two superconductors separated
by a thin layer of insulating oxide which serves as a barrier. He