Estimation semi-paramétrique et application à l’évaluation de la biomasse d

Estimation semi-paramétrique et application à l’évaluation de la biomasse d'anchois, Semiparametric estimation and application to evaluate anchovy biomass

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Sous la direction de Benoit Truong van
Thèse soutenue le 16 mars 2010: INSA de Toulouse
Notre étude est motivée par un problème d'évaluation de la biomasse, c'est à dire de la densité des œufs d'anchois à l'instant de ponte dans le golfe de Biscay-Gascogne. Les données sont les densités, c'est à dire les poids d' œufs d'anchois par unité de surface dans le golfe, collectées lors de la campagne d'échantillonnage de 1994. Le problème consiste à estimer la densité des œufs d'anchois au moment de leur ponte et le taux de mortalité. Jusqu'à présent, ce problème a été résolu en ajustant les données précédentes à un modèle classique de mortalité exponentielle. Notre analyse montre que ce modèle n'est pas adapté aux données à cause de la grande variation spatial de la densité d'œufs au moment de ponte. Or pour les données considérées, les densités A(tj,kj) des œufs au moment de ponte diffèrent de façon aléatoire selon les zones géographiques de kj ponte. Nous proposons de modéliser les A(tj,kj) comme un échantillon issu d'une variable aléatoire d'espérance a0 et ayant une densité de probabilité fA, ce qui conduit au modèle de mortalité étendue (EEM) suivant : Y (tj,kj) = A (tj,kj) e-z0tj +e(tj,kj) Le problème que nous avons à étudier alors est d'estimer les paramètres du modèle et la densité fA. Nous résolvons ce problème en deux étapes; nous commençons par estimer les paramètres par des techniques de régression, puis nous estimons la densité fA en combinant l'estimation non-paramétrique de densité, avec l'estimation du paramètre z0 et avec éventuellement une déconvolution de densités. Les résultats des études en simulations que nous réalisons corroborent les résultats théorique de la consistance
-Modèle de mortalité étendue
-Taux de mortalité
-Régression non linéaire
-Non-consistance
-Estimation par noyau
-Variabilité spatiale
The motivation of this study is to evaluate the anchovy biomass, that is estimate the egg densities at the spawning time and the mortality rate. The data are the anchovy egg densities that are the egg weights by area unit, collected in the Gascogne bay. The problem we are faced is to estimate from these data the egg densities at the spawning time. Until now, this is done by using the classical exponential mortality model. However, such model is inadequate for the data under consideration because of the great spatial variability of the egg densities at the spawning time. They are samples of generated by a r.v whose mathematical expectation is a0 and the probability density function is fA. Therefore, we propose an extended exponential mortality model Y (tj,kj) = A (tj,kj) e-z0tj +e(tj,kj) where A(tj,kj) and e(tj,kj) are i.i.d, with the random variables A and e being assumed to be independent. Then the problem consists in estimating the mortality rate and the probability density of the random variable . We solve this semiparametric estimation problem in two steps. First, we estimate the mortality rate by fitting an exponential mortality model to averaged data. Second, we estimate the density fA by combining nonparametric estimation method with deconvolution technique and estimate the parameter z0. Theoretical results of consistence of these estimates are corroborated by simulation studies
Source: http://www.theses.fr/2010ISAT0006/document

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Ajouté le 28 octobre 2011
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2010
5219.
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ten
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2
1
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In
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tro
4.2.1
duction
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5
80
2
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Description
.
of
.
the
Bibliograph
problem
.
and
.
prop
General
osed
.
solutions
Con
9
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2.1
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Motiv
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and
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description
Estimating
of
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data
the
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Unnoisy
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Estimate
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gen
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5
Prop
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mo
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del
and
and
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Assumptions
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60
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densit
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and
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mo
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y
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65
.
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.
.
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mo
.
.
.
.
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study
10
.
3
.
Estimation
estimators
of
.
the
46
parameters
v
of
uine
the
Application
extended
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mortalit
.
y
.
mo
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del
3.6
13
.
3.1
.
P
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osition
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of
.
problems
.
and
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prop
3.6.1
osed
and
solutions
.
.
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55
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13
Estimation
3.2
probabilit
Bibliograph
62
y
review
review
results
ed
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and
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results
62
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mortalit
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of
.
y
.
.
.
.
.
.
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Statistical
.
.
.
.
15
.
3.3
.
Ordinary
.
least
65
square
mortalit
estimation
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sim
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
WLS
.
.
.
.
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.
.
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3.5
.
the
.
ariances
17
data
3.3.1
and
Existence
for
and
.
consistency
.
of
.
least
.
square
.
estimators
.
.
.
.
.
.
.
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48
18
Sim
3.3.2
study
Asymptotic
.
normalit
.
y
.
of
.
the
.
LS
.
estimators
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
53
.
Estimating
.
75
32
.
3.4
.
W
.
eigh
.
ted
.
nonlinear
.
regression
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.6.2
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
4
3.4.1
of
In
abundance
tro
y
duction
y
.
4.1
.
y
.
ed
.
main
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.2
.
extended
.
y
.
del
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
65
.
Choice
42
probabilit
3.4.2
densit
Existence
estimate
and
.
consistency
.
of
.
the
.
w
.
eigh
.
ted
4.2.2
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prop
square
.
es-
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.3
.
extended
.
y
.
del
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.4
.
ulation
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
.
3.4.3
.
Asymptotic
.
normalit
.
y
.
of
the
.
2 2¾ ¾A "
a z0 0
2 2¾ ¾A "W
.
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Secan
90
t
square
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d
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.
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.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
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B
.
92
.
A
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.
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of
.
Figures
.
2.1
.
Data:
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.
vy
Estimated
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.
densities
.
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.
.
.
.
.
.
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egg
.
.
.
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.
k
.
.
.
.
.
.
.
78
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.
is
.
.
.
.
.
.
.
.
.
plotting
.
.
10
.
3.1
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List
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86
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.
for
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mo
ositiv
dels
5.4
B
k
and
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k
.
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.
.
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.
.
.
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.
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.
.
distribution
.
for
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mo
.
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and
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and
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.
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.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
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4.1
.
P
.
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.
of
.
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v
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4.3
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y
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.
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.
.
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.
.
.
.
.
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.
.
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.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
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.
densities
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5.2
.
of
.
densities
.
.
.
.
.
.
.
.
78
.
4.2
.
P
.
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.
of
.
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densit
estimated
.
densit
egg
y
k
.
K
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with
K
K
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is
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la
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les
Notre
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à
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un
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aux
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au
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la
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éc
c'est
an
à
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p
p
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y
à
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p
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d'une
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Les
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t
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c'est
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à
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comme
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.
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de
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t
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au
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par
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nous
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un
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v
en
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,
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et
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densité
densité
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mon
¡z t0 jY(t ;k )=a e +"(t ;k );j j 0 j j
Y(t ;k ) t k aj j j j 0
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a0
A(t ;k )j j
kj
A(t ;k ) Aj j
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¡z t0 jY(t ;k )=A(t ;k )e +"(t ;k ):j j j j j j
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eu
v
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a
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à
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les
a
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v
des
ec
par
év
t,
en
v
tuellemen
ec
t
sp
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examen
décon
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v
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d'une
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densités.
qui
P
ondérée
our
cette
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d'estimer
des
La
paramètres
.
que
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nous
une
étudions
endan
dans
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le
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c
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à
3,
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nous
rév
mon
étan
trons
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que
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la
des
mo
nous
dèle
les
EEM
une
p
.
eut
p
se
dèle
mettre
les
sous
est
la
la
forme
déni
égal
,
mais
quasi-constan
compact,
de
pas
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n'est
les
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ar
des
our
l'espace
t
quand
et
plus,
suite
De
aléatoires
t.
don
sistan
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incon-
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he
temps.
anc
des
rev
jeures
en
dèle.
est
n'est
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que
plus,
ons
des
prouv
l'existence
nous
une
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une
v
a

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les
le
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cette
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des
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p
des
de
our
y
p
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,
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qui
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t
e
com
,
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à
des
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ailleurs,
don
ar
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P
La
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l'estimateur
condition
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tégran
tique
façon
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en
et
d'autre
des
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t
la
métho
t
non
égalemen
est
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Nous
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l'estimateur
con
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,
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les
t
P
des
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aléatoires
non
indép
simple
endan
de
tes
ariables
mais
indép
don
tes
t
t
les
v
v
v
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t
v
v
arien
le
t
Ceci
a
une
v
sp
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ma
le
de
temps.
mo
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Cette
observ
écicité
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pas
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enden
étudiée
t
la
à
existan
la
De
fois
un
du
approfondi
temps
données
(âge
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des
de
÷ufs)
cohortes,
et
cohorte
des
t
stations
sous-p
d'éc
d'individus
han
y
tillonnage.
t
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à
près
c
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P
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um
de
minim
distribution
,
3
on
selon
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âges
ose
÷ufs,
de
pro-
de
osons
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part
observ
considérer
ations.
mo
La
ennes
campagne
densités
de
com
mesure
est
n'a
cette
duré
nos
que
P
3
alle
jours,
l'in
ce
nie
qui
ositiv
nous
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conduit
ce
à
conduit
l'h
mo
yp
une
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t
naturelle
corresp
que
p
les
t
âges
(WLS)
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p
des
une
son
seconde
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de
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la
v
forme
dans
he

c
t
l'appro
est
t
de
utilisan
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en
in
forte
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consistance
et
la
part
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les
nous
ts
,
et
forme
son
la
deux
de
des
des
régression
et
linéaire.
our
première
p
une
et
simple
(OLS)
en
ordinaires
osan
carrés
que
moindres
6
des
an
z0
¡z t0 jY(t ;k )=a e +e(t ;k );j j 0 j j
e(t ;k ) A(t ;k ) "(t ;k )j j j j j j
t ”j j
T
t t = j ;j = 1;:::;n n = 1;2;:::j j n
etj
”j
”jX1
Y = Y(t ;k )t j jj ”j j=1
¡z t0 jY =a e +e ;j =1;:::;n;t 0 tj j
e Yt tj j
a z0 0
”j
n o”j
n
w [0;T]
w
tj
T
j
n
t = jj
j = 1;2;3;:::P
appliquons
a
résultats
traiter
eaux
d'une
nouv
obten
les
donnés
,
mon
nous
v
mon
erreurs
trons
du
l'existence
de
de
la
l'estimateur
ulles.
OLS
÷ufs
en
t
adaptan
den-
t
ces
à
semi-paramétrique
notre
olution
cas,
distribution
le
décon
résultat
celui
de
t
Jukié
du
et
y-Gascogne.
Scito
con
wski
deux
(1997).
ne
Nous
deux
obtenons
justemen
égalemen
mo
t
un
la
p
consistance
des
forte
de
et
v
la
et,
normalité
un
asymptotique
des
des
non
estimateurs
ariances
des
osons
moindres
our
carrés
t
p
en
ondérés
étudions
(WLS)
en
en
ci-dessus
utilisan
de
t
dans
des
d'ab
tec
des
hniques
de
similaires
pro
à
précédemmen
celles
donnés
emplo
que
y
ositiv
ées
d'estimation
p
t
our
mo
les
ceux
estimateurs
mortalité
OLS.
données
Les
de
résultats
anormalemen
d'une
être
étude
tes.
en
son
sim
v
ulation
car
que
nous
nous
un
réalisons
décrit
corrob
en
orren
mesure
t
dèle
les
t
propriétés
ariables
asymptotiques
an
des
une
estimateurs
des
OLS
endan
et
Nous
WLS
un
et
olué
en
les
donnen
en
t
façon
une
courammen
com-
v
paraison.
et
L'estimation
propriétés
de
une
la
ulation.
densité
résultats
de
traitemen
probabilités
con-
(ddp)
aluation
attendus,
d'anc
Comme
golfe
de
observ
la
que
v
les
ariable
d'anc
aléatoire
t
tes.
aleurs
est
utilisons
un
d'estimation
problème
es
complexe.
p
P
bien
our
que
simplier
ortan
son
densité
étude,
t
nous
Dans
considérons
les
d'ab
nous
ord
t
le
les
cas
par
simple
EEM

meilleurs
les
par
erreurs
classique
de
onen
mesure
ailleurs,
dans
tiennen
le
nom
mo
aleurs
dèle
des
EEM
grandes,
son
en
t
comme
n
ab
ulles,
les
cas
moindres
que
sensibles
nous
nous
app
olution
ellons
densité
mo
ici,
dèle
part,
EEM
a
sans
ons
bruit
problème
de
comme
mesure
ci-dessus
(unnoisy
d'autre
EEM
les
mo
de
del).
dans
P
mo
our
d'év
ce
conduisen
mo
à
dèle,
v
nous
aléatoires
prop
y
osons
t
d'estimer
plus
erran
même
ab
mais
par
v
aleurs
dép
v
tes
des
temps.
compte
prop
tenir
alors
our
estimateur
p
v
ondérations
p
p
données
les
,
obten
u
u
adaptan
à
de
partir
judicieuse
d'un
utilisé
estima-
t
teur
décon
usuel
oution
de
densités
densité
nous
par
ses
no
seulemen
y
par
au
étude
et
sim
en
Nous
y
les
remplaçan
établis
t
au
le
t
paramètre
problème
de
cret
mortalité
l'év
par
de
son
biomasse
estimateur
hois
t
le
dian
Bisca
mo
Nous
.
ons
Ceci
ord
nous
les
conduit
sur
à
densités
un
÷ufs
problème
hois
semi-paramétrique.
tiennen
Nous
retraitons
établissons
v
alors
n
la
Nous
consistance
notre
p
cédure
onctuelle
en
de
étap
en
décrite
dire
t
à
our
c'est
aussi
robuste,
les
régression
complètes
une
celles
comme
comp
WLS
t
cédure
des
ainsi
des
que
strictemen
deux
p
résultats
es.
ma-
les
jeurs
cas,
sur
résultats
la
que
con
obtenons
v
tren
ergence
clairemen
en
que
norme
a
pro
ts
notre
le
de
dèle
cet
son
estimateur.
bien
Une
que
étude
fournis
en
le
sim
dèle
ulation
de
corrob
exp
ore
tielle.
ces
ar
résultats
les
asymptotiques.
con
P
t
our
certain
le
bres
mo
v
dèle
de
EEM
sités
général,
÷ufs,
le
t
problème
qui
d'estimation
euv
de
t
t
considérées
utilisan
des
dière
aleurs
aussi
erran
b
Comme
eaucoup
métho
de
des
celui
carrées
considéré
t
usuellemen
à
t
dernières,
en
7
décon
part,
R £R+ +
f AA
bf f (:;zb )A n n
zbn
bf (:;zb )n n
1L
fA
fA
40%n
donnons
d'estimation
ainsi
sur
obten
des
us
tes,
mon
une
tren
v
t
de
une
.
amélioration
erran
substan
nous
tielle.
aussi
En
discussion
relation
les
a
aleurs
v
ulles
ec
densités
les
÷ufs
v
8
aleurs
abto
in
sampling
2
et
Description
decided
of
measuremen
the
ba
problem
w
and
w
prop
When
osed
only
solutions
After
2.1
all
Motiv
da
ation
w
and
area
description
whole
of
are
data
densities
The
,
main
ery
ob
t
jectiv
densit
e
collected
of
assuming
this
vy
study
wned
is
campaign.
to
the
estimate
eggs
the
data,
spa
.
wning
are
sto
form
c
the
k
n
biomass
called
in
it
the
as
Bisca
dieren
y-Gascogne
and
ba
is
y
time.
.
h
This
of
allo
is
ws
Chapter
to
are
assess
daily
the
y
anc
anc
ho
in
vy
are
biomass
the
b
of
y
(1994).
using
to
the
b
daily
ts
egg
age
pro
at
duction
with
metho
description
d
the
(see
e
Lask
F
er
of
(1985)
ts.
for
collected
the
added
details)
v
and
.
to
's
con
ed
tribute
age
to
abundance
the
egg
understanding
in
of
at
the
t
anc
stations
ho
ev
vy
station
repro
visited
ductiv
one
e
A
strategy
eac
in
station,
this
t
ba
egg
y
y
.
made.
The
the
data
the
whic
egg
h
aged
w
the
e
unit,
consider
implicit
here
that
are
the
the
ho
collected
eggs
egg
this
w
y
eigh
spa
ts
in
p
3
er
ys
area
the
unit,
Let
whic
all
h
Motos
are
reader
tak
refer
en
e
in
eigh
the
of
measuremen
at
t
e
campaigns
collected
in
station
the
the
Bisca
the
y
of
ba
detailed
y
Then
in
data
1994
b
at
considered
their
or
spa
data.
wning
the
p
nearly
erio
They
d.
eigh
The
egg
sampling
actually
plan
to
is
then
the
alues
follo
ull
wing:
These
the
that
campaign
as
of
are
collected
observ
egg
egg
lasts
at
three
w
da
or
ys,
densities.
anc
no
ho
w
vy
found
eggs
station
are
9
collected
campaign,
P(t ;k ) t kj j j j
skj
P(t ;k )j jY(t ;k )= ;j j
skj
Y(t ;k ) tj j j
k Y(t ;k )=0j j j
40%oin
egg
b
Prop
is
osed
et
mo
in
del
the
and
ariabilit
Assumptions
the
T
coun
o
distributed
ev
is
aluate
is
the
Ho
anc
data
ho
and
vy
of
spa
b
wning
alue
biomass,
they
un
t
til
One
no
anc
w,
these
the
p
simple
spa
exp
rate
onen
suc
tial
the
mo
t
del
errors
is
can
only
y
used
the
to
is
t
the
the
w
data,
or
see
so
e.g.
assumed
Motos
indep
et
iden
all
v
(1994),
jor
there
aluating
that
vy
assumed
estimate
is
the
it
eigh
del,
area
mo
at
this
time
In
talit
ws:
mortalit
follo
ev
as
mo
explained
b
e
deviation
b
in-
can
the
(2.1)
of
del
coun
mo
eggs.
y
e
mortalit
out
tial
simple
onen
plotting
exp
of
simple
o
the
(see
of
w).
(2.1)
hand,
in
(1994)
whic
that
h
v
deciency
egg
the
ting,
analysis,
that
our
are
to
to
ccording
e
A
enden
densities
and
's
tically
are
random
observ
ariables.
ed
ma
egg
step
densities
ev
at
the
age
ho
egg
biomass
vy
to
ho
from
Anc
data
Data:
mean
2.1:
w
Figure
t
data.
er
the
unit
in
rate
noise
their
large
wning
and
and
station
mor-
the
y
with
y
t
.
incoheren
w
is
er,
This
h
.
del
nearly
deciency
is
ecause
estimators
large
o
of
w
is
t
coheren
the
with
of
v
,
y
and
the
t
on
ecien
ting
co
aging
correlation
This
the
b
that
p
and
ted
imprecise
b
's
a
are
examination
error
the
terms.
of
The
the
last
estimation
ones
small,
m
to
ust
's
b
gure
e
elo
the
In
errors
other
of
Motos
measuremen
al
t
sho
suc
ed
h
the
as
-square
egg
10
aging
2.2
¡z t0 jY(t ;k )=a e +"(t ;k );j j 0 j j
Y(t ;k ) t (j =1;:::n)j j j
k (k =1;:::;” ) "(t ;k )j j j j j
a0
z0
Y(t ;k )j j
R
1
140
120
100
80
60
40
20
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
egg age
egg density