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Français

Etude de fonctions: procedure et exemple
Yves Delhaye
8 juillet 2007
Resume
Dans ce court travail, nous presentons les di erentes etapes d’une etude
de fonction a travers un exemple.
Nous nous limitons a des fonctions reelles d’une variable reelle.
Et m^eme strictement a un quotient de polyn^ omes.
Nous essayons de presenter chacune des etapes non seulement du point
de vue mathematique strict (c ad. \faire les operations rigoureusement")
mais aussi du point de vue du \sens mathematique" (\pourquoi faire ceci
a ce moment precis").
Le texte est encore un melange de notes de cours destinees aux eleves
et de notes plus personnelle du type \notes dans les marges a destination
des enseignants".
Ceci sert aussi de preparation pour un \generateur d’interrogation"
destine aux etudes de fonctions.
Il s’agit d’un \bac a sable" pour de futurs projets donc !
La table des matieres est \cliquable\.
Table des matieres
1 Introduction 3
1.1 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 La fonction 3
2.1 Choix de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Numerateur et denominateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Periodicite 5
4 Zeros, intersections avec les axes 5
4.1 Intersections avec l’axe horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 Intersections avec l’axe vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Domaine 5
6 Limites 6
7 ...

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Langue

Français

Limites

Domaine

Pe´riodicit´e

Etude du signe

Z´eros,intersectionsaveclesaxes 4.1 Intersections avec l’axe horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Intersections avec l’axe vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 4 4

8 juillet 2007

Re´sum´e Danscecourttravail,nouspr´esentonslesdiﬀ´erentese´tapesd’unee´tude defonction`atraversunexemple. Nousnouslimitons`adesfonctionsre´ellesd’unevariablere´elle. Etmeˆmestrictement`aunquotientdepolynˆomes. Nousessayonsdepre´senterchacunedes´etapesnonseulementdupoint devuemath´ematiquestrict(c`ad.“fairelesop´erationsrigoureusement”) maisaussidupointdevuedu“sensmathe´matique”(“pourquoifairececi a`cemomentpr´ecis”). Letexteestencoreunme´langedenotesdecoursdestin´eesaux´ele`ves etdenotespluspersonnelledutype“notesdanslesmarges`adestination des enseignants”. Cecisertaussidepre´parationpourun“ge´n´erateurd’interrogation” destine´auxe´tudesdefonctions. Ils’agitd’un“bac`asable”pourdefutursprojetsdonc! Latabledesmatie`resest“cliquable“.

Yves Delhaye

Tabledesmatie`res

Introduction 1.1 Plan . . . . . . . . . .

La fonction 2.1 Choix de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2Num´erateuretd´enominateur.................... 2.3 Factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Etudedefonctions:proce´dureetexemple

3 3

5 5 5

Asymptotes 8.1 Asymptotes verticales . . . . . . . 8.1.1D´eﬁnition.......... 8.1.2 Technique de recherche . . 8.1.3De´termination....... 8.2 Asymptotes horizontales . . . . . . 8.2.1De´ﬁnition.......... 8.2.2 Technique de recherche . . 8.2.3D´etermination....... 8.3 Asymptotes obliques . . . . . . . . 8.3.1D´eﬁnition.......... 8.3.2 Technique de recherche . . 8.3.3D´etermination.......

. . . . . . . . . . . .

De´rive´es 9.1De´rive´epremie`re........................... 9.1.1D´etermination........................ 9.1.2 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2Tableaudesignedelad´erive´epremi`ere.............. 9.3D´eriv´eeseconde............................ 9.3.1D´etermination........................ 9.3.2Ze´rosdelad´erive´eseconde.................

10 Tableau de variation

11 Valeurs pour quelques points

12 Tangentes 12.1 Tangentes aux extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Tangente en x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Tangente en y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Tangentes en quelques points quelconques . . . . . . . . . . . . .

13 Le graphique

14R´esum´e

6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7

7 7 7 7 8 8 8 8

9 9 9 10 10

Introduction

Lesfonctionssontpr´esentespartout: Ensciences,sinouse´tudionsl’´evolutiond’uner´eactionchimique,lesforces ´electriquesentredescorpscharg´es,lesliaisonschimiques,lacroissancede plantesoudepopulationdebact´eries. Ene´conomie,lorsquenousdevonsnouspenchersurl’´evolutiond’unmarch´e oularentabilite´d’unesoci´et´e. Enmathe´matique,leur´etudenouspre´parea`d’autressurprises. Re´aliserune´etudedefonctionrigoureusementestlacl´edelacompr´ehension dephe´nome`nesquisont,autrement,incompre´hensibles. Nousallons,`atitred’exempleprendreunefonctionetl’´etudiercompl`etement.

1.1 Plan Ilfauttoutd’abordavoirunplandesdiﬀe´rentese´tapesa`r´ealiser.Ces´etapes nesontpasind´ependantesets’enchaıˆnentlogiquement.Dansl’introductionde chaque´etape,nousdiscuteronsd’ailleursdupourquoide“cette´etapemainte-nant”.Nousrepasseronssurchacunedecese´tapesenﬁndetravailpournous rappelerlaraisondeleurenchaıˆnement. Pe´riodicite´ Ze´ros Domaine Limites Etude du signe Asymptotes De´riv´ees Tableau de variation Valeurs pour quelques points Tangentes Graphique

La fonction

Ilyadiﬀe´rentstypesdefonctions: les puissances, lespolynˆomes, lesfonctionstrigonom´etriques, les fonctions exponentielles, ettouteslescombinaisonspossiblesdespr´ece´dentes...

2.1 Choix de fonction Choisissons notre fonction : 4 3 2 x+ 5x+ 2x−(20x)−24 f:R→R, x→ 3 2 x+ 8x+ 21x+ 18

Ce qui signiﬁe que

4 3 2 x+ 5x+ 2x−(20x)−24 f(x) = 3 2 x+ 8x+ 21x+ 18 Ils’agitdoncd’unrapportde2polynoˆmes.

2.2Num´erateuretd´enominateur La fonctionf(xuedtp)commrire’´econcsxuededtropparelesontincfog(x) eth(x) : g(x) f(x) = h(x) o`u 4 3 2 g:R→R, x→x+ 5x+ 2x−(20x)−24

eto`u

3 2 h:R→R, x→x+ 8x+ 21x+ 18

2.3 Factorisations Commen¸consparfactorisernume´rateuretd´enominateur.Ceciaﬁn,´eventuellement, desimpliﬁerl’e´criture. Nouspre´parons,cefaisant,deuxpointssuivants:larecherchedesze´roset l’e´tudedudomainedelafonction. Cherchons des valeurs de x pour lequelles g(x) et h(x) s’annulent. Nous avons choisi des fonctions “gentilles”. Essayons donc quelques valeurs entie`res(-3,-2,...,3)pourlesxdeg(x)eth(x). g(x)s’annulepourlesvaleurssuivantesdex:-3,-2,2.g(x)estunpolynˆome depuissancequatreetpeutdoncs’e´crirecommeleproduitdesquatremonˆomes suivants : g(x) = (x+ 3)(x+ 2)(x−2)(x−a) Il nous manque encorea. De´velopponsdoncg(x)eem.nyoˆpnlo

g(x)

4 3 2 =x+ 5x+ 2x−20x−24 4 3 3 2 2 =x+ 3x−ax−3ax−4x+ 4ax−12x+ 12a 4 3 2 =x+ (3−a)x−(3a+ 4)x+ (4a−12)x+ 12a

Nousvoyonsimm´ediatementquea=−2. Remarquons ici quean’existe pas toujoursdanslesr´eels. g(x)peutdoncs’e´crire:

2 g(x) = (x−2)(x(+ 2) x+ 3)

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