Existence results for plasma physics models containing a fully coupled magnetic field [Elektronische Ressource] / von Martin Seehafer

Description

Existence Results for Plasma Physics ModelsContaining a Fully Coupled Magnetic FieldMartin SeehaferExistence Results for Plasma Physics ModelsContaining a Fully Coupled Magnetic FieldVon der Universit at Bayreuthzur Erlangung des Grades einesDoktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)genehmigte AbhandlungvonMartin Seehafergeb. am 17.08.1978 in Potsdam1. Gutachter:2.hter:Tag der Einreichung:Tag des Kolloquiums:ContentsZusammenfassung viiSummary ixList of Notation xiIntroduction 11 The Vlasov-Poisswell system 71.1 Statement of the equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 A priori estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 An auxiliary elliptic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Construction of a convergent scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Identi cation of the solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6 Uniqueness and continuation of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7 Further discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 The modi ed Vlasov-Poisswell system 372.1 Remarks on the system under consideration . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Local existence and uniqueness results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Small data solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Global weak . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sujets

• Mathematics
• Physik

Informations

• Publié par: universitat_bayreuth
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 11
• Langue: English

Extrait

Existence Results for Plasma Physics Models Containing a Fully Coupled Magnetic Field

Martin Seehafer

Existence Results for Plasma Physics Models Containing a Fully Coupled Magnetic Field

VonderUniversit¨atBayreuth zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) genehmigte Abhandlung

1. Gutachter: 2. Gutachter:

von

Martin Seehafer

geb. am 17.08.1978 in Potsdam

Tag der Einreichung: Tag des Kolloquiums:

1

xi

7 7 10 14 19 28 31 34

37 37 38 44 50 59

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61 61 62 64 68 70 72 73 75

vii

ix

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The 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

3

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Vlasov-Darwin system Introduction . . . . . . . . . . . . . Results . . . . . . . . . . . . . . . . Decay of the source terms . . . . . Decay of the fields . . . . . . . . . Continuous dependence . . . . . . Proof of the theorem . . . . . . . . Spherically symmetric initial data Appendix . . . . . . . . . . . . . .

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modified Vlasov-Poisswell system Remarks on the system under consideration Local existence and uniqueness results . . . Small data solutions . . . . . . . . . . . . . Global weak solutions . . . . . . . . . . . . Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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The 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Vlasov-Poisswell system Statement of the equations . . . . . . . A priori estimates . . . . . . . . . . . . An auxiliary elliptic equation . . . . . . Construction of a convergent scheme . . Identification of the solution . . . . . . Uniqueness and continuation of solutions Further discussion . . . . . . . . . . . .

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The 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

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Contents

2

Summary

Zusammenfassung

81

77

List of Notation

Danksagung

Bibliography

Introduction

Zusammenfassung

DievorliegendeArbeitbesch¨aftigtsichmitAnfangswertproblemenfu¨rdreiSystemenicht- linearer partieller Differentialgleichungen. Die Gleichungen entstammen der kinetischen Theorie, die sich zur Beschreibung von Vielteilchensystemen in verschiedenen physikalischen Kontexten, wie der kinetischen Gas- theorie, astronomischen Fragen etwa nach der Herausbildung stellarer Strukturen oder der Plasmaphysik als geeignet erwiesen hat. IndieserArbeitwerdeninderPlasmaphysikgebr¨auchlicheGleichungenbetrachtet, die die zeitliche Entwicklung der Dichtef(t, x, v)≥0 (t– Zeit,x– Ort,v– Teilchen- geschwindigkeit) eines großen Ensembles geladener Partikel im Orts-Impuls-Raum unter dem Einfluss des von den Teilchen selbst erzeugten elektromagnetischen Feldes und bei Vernachl¨assigungvonKollisionenbeschreiben. UntersuchtwirdvorallemdieExistenzundEindeutigkeitvonL¨osungendesAnfangs- wertproblems, also die Frage, ob zu einer gegebenen Funktionf ◦ eine eindeutig bestimmte L¨fdes betrachteten Systems existiert, dief(t= 0) =f ◦ llu¨uZ.taeBrowtnunrtgerf osung dieserFragewerdenweitereEigenschaftenderLo¨sungen,wieEnergie-undMassenerhal- tung oder das Abklingverhalten, herangezogen. Von besonderem Interesse ist hierbei, ob –eventuellunterZusatzvoraussetzungenoderbeiAbschw¨achungdesLo¨sungsbegriffs– dieL¨osungenglobal,d.h.f¨uralle Zeitent≥0 existieren. Die Arbeit gliedert sich in drei Teile, die den einzelnen untersuchten Systemen gewidmet sind.Zun¨achstwirddasSystem

∂ t f+v∙∂ x f+ (E+v×B)∙∂ v f= 0, E=−rU−∂ t A, B=r ×A, ΔU=−4πρ,ΔA=−4πj, ρ(t, x) = Z f(t, x, v)dv, j(t, x) = Z f(t, x, v)vdv,

f¨urx, v∈R 3 ,t∈[0,∞[ betrachtet, welches in der Literatur unter dem Namen Vlasov- Poisswell-Systembekanntist.DieinderGleichungauftretendenGr¨oßensindnebender Dichtefdas elektrische und das magnetische Feld (EundB¨uherdbe),lcweeioPet-n tialeUundAr¨aumlicausderethciDnehρund der Stromdichtejgebildet werd . F¨ en ur diesesSystemwirdeinlokalerExistenzsatzfu¨rklassischeL¨osungendesAnfangswertpro- blems bewiesen. Die zu Grunde liegende Methode der sukzessiven Approximation geht indiesemZusammenhangaufBattzuru¨ck,dersieurspru¨nglichaufdasVlasov-Poisson- System angewandt hat. Bei der Anpassung an das Vlasov-Poisswell-System musste eine ReihetechnischerProblemeu¨berwundenwerden.WeiterwirddieEindeutigkeitvonklas- sischenL¨osungensowieeinFortsetzungskriteriumf¨urL¨osungenbewiesen.Schließlich wirdeineregularisierteVariantedesSystemsbetrachtet,fu¨rdieeinglobalerExistenzsatz hergeleitet wird.

vii

Durch Fortlassen des Terms∂ t A¨ugfuncheiGlerndirEim Vlasov-Poisswell-System entsteht ein (hier modifiziertes Vlasov-Poisswell-System genannter) Satz von Gleichun- gen, der im zweiten Teil der Arbeit untersucht wird. Ausgangspunkt der Betrachtun- gen ist wieder ein lokales Existenz- und Eindeutigkeitsresultat. Darauf aufbauend wird gezeigt, dass das entsprechende Anfangswertproblem eine globale Losung besitzt, wenn ¨ dasAnfangsdatumkleingenuggewa¨hltwird.EinentsprechenderSatzf¨urdasVlasov- Poisson-System wurde 1985 durch Bardos und Degond bewiesen und konnte seitdem auf verschiedeneverwandteSysteme¨ubertragenwerden.AlsweiteresResultatwirddieglo- baleExistenzschwacherLo¨sungendesAnfangswertproblemsfu¨rdasmodifizierteSystem nachgewiesen. EinExistenzresultatfu¨rglobaleklassischeL¨osungenbeikleinenAnfangsdatenwirdim drittenTeilderArbeitauchfu¨rdassogenannteVlasov-Darwin-System,

∂ t f+v(p)∙ r x f+ (E(t, x) +v(p)×B(t, x))∙ r p f= 0, ρ(t, x) = Z f(t, x, p)dp, j(t, x) = Z f(t, x, p)v(p)dp,

E=E L +E T ,r ×E L = 0,r ∙E T = 0, ∂ t E L − r ×B=−j,r ∙E L =ρ, ∂ t B+r ×E T = 0,r ∙B= 0, v(p) = p 1 + p |p| 2 ,

erzielt. Dabei bezeichnetp∈R 3 den Teilchenimpuls,vdie Teilchengeschwindigkeit und das elektrische FeldEwird in einen transversalen und einen longitudinalen Anteil (E T undE L  Aufbauend) zerlegt. auf vorhandene Resultate, u. a. einem lokalen Existenzsatz vonPallard,konnteauchhierdasaufBardosundDegondzur¨uckgehendeBeweisschema angepasstwerden.DieindiesemFallangewandteMethodederAbscha¨tzungderFelder mit Hilfe ihrer Darstellung durch Fourier-Integraloperatoren basiert wesentlich auf Ideen, dieineinerArbeitvonKlainermanundStaffilanieingef¨uhrtwurden.

viii

Summary

The present thesis’ concern is the initial value problem for three nonlinear systems of partial differential equations. These equations belong to kinetic theory, which has proved useful when describing large particle systems in different areas of physics such as kinetic theory of gases, the formation of stellar structures or plasma physics. In the present thesis equations originating in plasma physics are considered which de- scribe the evolution of the time dependent density functionf(t, x, v) (t– time,x– po- sition,vvelocity) of a large ensemble of charged particles in the (– particle x, v)–phase space influenced by the electromagnetic field created by the particles and when neglecting collisions. The focus of the investigation is on existence and uniqueness questions for solutions of the initial value problem, i.e., it is asked whether there exists a solutionfof the system under consideration such thatf(t= 0) =f ◦ wheref ◦  Inis a prescribed initial datum. order to answer this question further properties of solutions such as energy and charge conservation or decay rates must be taken into account. An important issue is, whether – if necessary under additional hypotheses or by weakening the concept of solution – global solutions, i.e., solutions existingfor allt≥0, may be obtained. The thesis is subdivided in three parts of which each is dedicated to the study of one particular system. First, the system

∂ t f+v∙∂ x f+ (E+v×B)∙∂ v f= 0, E=−rU−∂ t A, B=r ×A, ΔU=−4πρ,ΔA=−4πj, ρ(t, x) = Z f(t, x, v)dv, j(t, x) = Z f(t, x, v)vdv,

withx, v∈R 3 ,t∈[0,∞[ is treated. is known in the literature as the ItVlasov-Poisswell system. The quantities appearing in the equations besides the densityfare the electro- magnetic field (E, B), which is derived from the charge densityρand the current densityj via the potentialsUandA local existence theorem for classical solutions is proved for. A this system. The method of successive approximation which is used here traces back to Batt who introduced it when studying the Vlasov-Poisson system. Several technical diffi- culties had to be overcome during the adaptation of this method. Moreover, uniqueness of the local classical solutions as well as a continuation criterion are proved. Furthermore, a regularized version of the system is presented for which a global existence and uniqueness theorem is derived. By dropping the term∂ t Ain the equation forEin the Vlasov-Poisswell system another set of equations is obtained, which will be called themodified Vlasov-Poisswell system. It is the subject of study in the second part of this thesis. Again, the starting point of the

ix

study is a local existence and uniqueness theorem for classical solutions. Furthermore, it is shown that the initial value problem admits global classical solutions if the initial datum is chosen sufficiently small. A proof of a similar result for the Vlasov-Poisson system was given by Bardos and Degond in 1985 which has since then been carried over for many related systems. As an additional result it is shown that the modified system admits global weak solutions. A global existence theorem for small initial data is also obtained for theVlasov-Darwin system,

∂ t f+v(p)∙ r x f+ (E(t, x) +v(p)×B(t, x))∙ r p f= 0, ρ(t, x) = Z f(t, x, p)dp, j(t, x) = Z f(t, x, p)v(p)dp,

E=E L +E T ,r ×E L = 0,r ∙E T = 0, ∂ t E L − r ×B=−j,r ∙E L =ρ, ∂ t B+r ×E T = 0,r ∙B= 0, v(p) = p 1 p +| | 2 . p

Herep∈R 3 designates momentum of the particles,vtheir velocity and the electric field Eis split into a transversal and a longitudinal component (E T andE L ). Using results already known (as the local existence theorem by Pallard) the adaptation of the method introduced by Bardos and Degond is possible for this system, too. Important ingredients are a number of estimates for the fields relying on Fourier integral operator techniques, which have first been used in this context by Klainerman and Staffilani.

x

List

of

Notation

We use standard notation throughout this thesis. A newly introduced symbol is usually defined on its first appearance. For convenience of the reader the following list contains the most important notions.

R n R + B r (p) L p (Ω) L p (Ω) 0 L p w (Ω) (L p (R n ), wk) W k,p (Ω) k k ∞ ,k k ∞,K h,i

suppg χ K id ˜ C(Ω,Ω) C(Ω) ˜ C c (Ω,Ω) C k (Ω,R n ) C ck (Ω,R n )

x∙y x×y |x| rU Δ r ∙F r ×B r p f f ? g ∂ x A O(. . .) log + x p⊗p |Ω|, vol(Ω)

n-dimensional Euclidean space ]0,∞[ open ball of radiusrcentered atp Lebesgue space endowed with the normkfk p = R Ω |f(x)| p dx  1/p dual ofL p (Ω) weak Lebesgue space,kfk p,w = sup t>0 t|{x||f(x)|> t}| 1/p Lebesgue space endowed with weak topology Sobolev spaces supremum norm, supremum norm taken over the setK natural pairing of elements of a Banach spaceXand its dualX ∗ or canonical scalar product support of the functiong characteristic function of the setK identity transformation ˜ continous mappings from Ω to Ω C(Ω,R) ˜ continous mappings from Ω to Ω with compact support k-times continously differentiable mappings from Ω toR n k-times continously differentiable mappings from Ω toR n with compact support canonical scalar product betweenxandy cross product ofx, y∈R 3 Euclidean norm ofx gradient ofU Laplacian divergence ofF curl ofB gradient offformed with respect to the variablesp= (p 1 , . . . , p n ) t convolution offandg matrix containing all partial derivatives∂ x j A i Landau’sOnotation max(0,logx) matrix (p⊗p) ij =p j p j Lebesgue measure of Ω

xi