Field theoretical models on non-commutative spaces [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Michael Wohlgenannt

Wohlgenannt, Edmund Michael

Sujets

• Mathematics
• Physik
• Astronomie

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• Publié par: ludwig-maximilians-universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2003
• Nombre de lectures: 9
• Langue: Deutsch

Extrait

Field Theoretical Models on Non-Commutative
Spaces
Doktorarbeit
am Institut fu¨r theoretische Physik
der Ludwig-Maximilians-Universit¨ at Munchen¨
vorgelegt von Michael Wohlgenannt
¨aus Dornbirn, Osterreich
Mu¨nchen, am 25. Februar 20031. Gutachter: Dr. Julius Wess
2.hter: Dr. Hans-Jurgen¨ Schneider
Tag der mundlic¨ hen Prufung:¨ 16. Juli 2003
ABZusammenfassung
¨Aus vielen voneinander unabh¨angigen Uberlegungen wird klar, daß die Raum-Zeit im
Kleinen,odermitsehrgroßenEnergienbetrachtet,inirgendeinerFormnichtkommutativ
oder quantisiert sein muss. Diese Arbeit besch¨aftigt sich mit zwei verschiedenen Arten
derNichtkommutativit¨atderRaum-ZeitundmiteichtheoretischenModellenaufsolchen
R¨aumen. Wir werden die nichtkommutativen Konzepte via eines Isomorphismus auf
kommutative R¨aume ub¨ ertragen. Die Information ub¨ er die nichtkommutative Struktur
versteckt sich in einem neuen nichtabelschen Produkt, dem sogenannten ∗-Produkt.
Das Sternprodukt ist gegeben durch eine st¨orungstheoretische Formel. Daher ist der
kommutative Limes, in dem die Nichtkommutativitat¨ verschwindet, und die gewohnten
Strukturen zuruc¨ kkehren, sehr gut erkennbar.
Wir betrachten also die Konstruktion des Sternproduktes als ersten Schritt in Rich-
tung feldtheoretischer Modelle auf einem nichtkommutativen Raum. So werden im
ersten Teil die Sternprodukte fur¨ den 4-dimensionalenq-deformierten Euklidischen und
Minkowski Raum in Normalordnung berechnet. Hierfur¨ k¨onnen wir geschlossene Aus-
druc¨ ke angeben. Allerdings werden q-deformierte R¨aume in dieser Arbeit nicht weiter
verfolgt. Stattdessen werden wir uns mit kanonisch deformierten und κ-deformierten
R¨aumen befassen. Kanonisch deformierte R¨aume haben den Nachteil, dass die klassis-
chen Symmetrien gebrochen sind. Dagegen erlauben sowohl q- als auch κ-deformierte
R¨aume verallgemeinerte Symmetriestrukturen. Die Symmetrien werden durch Quan-
tengruppen beschrieben.
RechnerischsindkanonischeStrukturenleichterhandzuhaben. WirwerdendasStan-
dardmodell der Elemetarteilchenphysik auf kanonischer Raum-Zeit formulieren. Dabei
legenwirgroßenWertdarauf,zuzeigen,dasssowohlderHiggsMechanismusalsauchder
Yukawa Sektor im nichtkommutativen Modell implementiert werden k¨onnen. Wir ent-
wickeln die Wirkung st¨orungstheoretisch bis zur ersten Ordnung in der Nichtkommuta-
tivit¨at. Diezus¨atzlichenTermeinersterOrdnungentsprechenneuenWechselwirkungen.
DieseneuenWechselwirkungenhabenweitreichendeph¨anomenologischeBedeutungund
erlaubeneineexperimentelleSuchenachAnzeichen,dieaufdieNichtkommutativit¨atder
Raum-Zeit hindeuten.
Darub¨ er hinaus sind wir bemuh¨ t, auch Modelle auf κ-deformierten R¨aumen zu be-
trachten, die sowohl eine verallgemeinerte Poincar´e Symmetry besitzen, als auch sym-
metrisch unter einer beliebigen Eichgruppe sind. Dabei legen wir der Eichtheorie die
gleichen Konzepte zugrunde wie im Falle der kanonischen Raum-Zeit. Da die Struk-
turen vielf¨altiger sind, werden wir auf interessante Unterschiede stoßen. So ist das
Eichfeld nicht nur ein Element der einhullenden¨ Algebra der Eichgruppe, sondern auch
der Poincar´e Gruppe. Fur¨ die Formulierung von Lagrange-Modellen fehlt allerdings
im Moment noch ein invariantes Integral. Feldgleichungen k¨onnen allerdings hergeleitet
werden. Wirwerden,aufeindeutigeWeise,eineκ-Poincar´ekovarianteKlein-Gordonund
Dirac Gleichung aufstellen. Weiters werden wir alle Ergebnisse in den ∗-Formalismus
und auf kommutative R¨aume ub¨ ersetzen.
CAcknowledgement
First of all, I want to thank my ”Doktorvater” Julius Wess for opening up in front of me
a very interesting and rich field of research, for many fruitful blackboard discussions, for
his steady support and for sharing some of his immense physical insight and intuition.
I want to express my gratitude to all my other collaborators, Xavier Calmet, Marija
Dimitrijevi´c, Branislav Jurˇco, Lutz M¨oller, Peter Schupp, Frosso Tschouchnika and
Hartmut Wachter for many discussions and support. I also have to thank all the other
members of our large group for being permanently ready for discussions and for the
good working atmosphere in the group. I am especially grateful to Fabian Bachmaier
for sharing a room with me, enduring my company and spending much time on an-
swering my questions and on doing tedious Mathematica calculations, and to Christian
Blohmann for reading through the manuscript and many discussions.
Last but not least, I want to express my gratitude to all my family for their love and
support, especially to my companion in life Liane Kohler and my parents Brunhilde and
Edwin Wohlgenannt.
DContents
1 Introduction 1
2 Non-Commutative Geometry 5
2.1 Physical Motivation for Non-Commuting Coordinates . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Divergencies in QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Quantum Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 String Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.4 Classical Non-Commuting Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Systematic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 q-Deformed Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Lie Algebra Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Canonical Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Star Products 18
3.1 Construction of a∗-Product of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 q-Deformed 4-Dimensional Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Minkowski Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Mathematical Approach to∗-Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Gauge Theory on Non-Commutative Space-Time 35
4.1 Gauge Theory on Classical Space-Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Non-Commutative Gauge Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1 Covariant Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Locality and Classical Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.3 Gauge Equivalence Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.4 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
E5 The Non-Commutative Standard Model 44
5.1 Particle Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Tensor Product of Gauge Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Charge Quantisation in Non-Commutative QED . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4 Yukawa Couplings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.5 Kinetic Terms for the Gauge Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5.1 Minimal Non-Commutative Standard Model . . . . . . . . . . . . 50
5.5.2 Non-Minimal Non-Commutative Standard Model . . . . . . . . . 50
5.6 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.6.1 The Non-Commutative Electroweak Sector . . . . . . . . . . . . . 54
5.7 Currents in theutaive Standard Model . . . . . . . . . . . . . 62
5.7.1 Currents in the Commutative Standard Model . . . . . . . . . . . 62
5.7.2 Charged Currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.7.3 Neutralts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.7.4 Currents from the Yukawa Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.8 Discussion and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Towards Gauge Theory on κ−Deformed Space-Time 68
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 Quantum Space and Symmetry Algebra - The Setting . . . . . . . . . . . 69
6.3 Invariants and Wave Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3.1 Klein-Gordon Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3.2 Dirac Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 Derivatives and Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.5 Representation on Commutative Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5.1 Symmetric Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5.2 Normal Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.6 Seiberg-Witten Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.7 Formulation of Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.8 Minkowski Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.8.1 Time Non-Commutativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.8.2 Space Non-Commutativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.9 Conclusions and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
FChapter 1
Introduction
Non-commutative spaces have a long history. Even in the early days of quantum me-
chanics and quantum field theory, continuous space-time and Lorentz symmetry was
considered inappropriate to describe the small scale structure of the universe [1]. It was
alsoarguedthatoneshouldintroduceafundamentalle