Finite element error analysis for PDE-constrained optimal control problems [Elektronische Ressource] : the control constrained case under reduced regularity / Dieter Sebastian Sirch

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TECHNISCHE UNIVERSITAT MUNCHENZentrum MathematikFinite Element Error Analysis forPDE-constrained Optimal Control Problems:The Control Constrained Case Under ReducedRegularityDieter Sebastian SirchDie vorliegende Dissertation ist auch im Logos Verlag Berlin erschienen und kann onlineunter www.logos-verlag.de oder ub er den Buchhandel unter der ISBN 978-3-8325-2557-6bestellt werden. TECHNISCHE UNIVERSITAT MUNCHENZentrum MathematikFinite Element Error Analysis forPDE-constrained Optimal Control Problems:The Control Constrained Case Under ReducedRegularityDieter Sebastian SirchVollst andiger Abdruck der von der Fakult at fur Mathematik der Technischen Universit atMunc hen zur Erlangung des akademischen Grades einesDoktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)genehmigten Dissertation.Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. Peter RentropPrufer der Dissertation: 1. Dr. Boris Vexler2. Univ.-Prof. Dr. Thomas ApelUniversit at der Bundeswehr Munc henDie Dissertation wurde am 6.5.2010 bei der Technischen Universit at Munc hen eingereichtund durch die Fakulatt fur Mathematik am 9.7.2010 angenommen.AbstractSubject of this work is the analysis of numerical methods for the solution of optimalcontrol problems governed by elliptic partial di erential equations. Such problems arise,if one does not only want to simulate technical or physical processes but also wantsto optimize them with the help of one or more in uence variables.

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Publié le 01 janvier 2010
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TECHNISCHE UNIVERSITAT MUNCHEN
Zentrum Mathematik
Finite Element Error Analysis for
PDE-constrained Optimal Control Problems:
The Control Constrained Case Under Reduced
Regularity
Dieter Sebastian SirchDie vorliegende Dissertation ist auch im Logos Verlag Berlin erschienen und kann online
unter www.logos-verlag.de oder ub er den Buchhandel unter der ISBN 978-3-8325-2557-6
bestellt werden. TECHNISCHE UNIVERSITAT MUNCHEN
Zentrum Mathematik
Finite Element Error Analysis for
PDE-constrained Optimal Control Problems:
The Control Constrained Case Under Reduced
Regularity
Dieter Sebastian Sirch
Vollst andiger Abdruck der von der Fakult at fur Mathematik der Technischen Universit at
Munc hen zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. Peter Rentrop
Prufer der Dissertation: 1. Dr. Boris Vexler
2. Univ.-Prof. Dr. Thomas Apel
Universit at der Bundeswehr Munc hen
Die Dissertation wurde am 6.5.2010 bei der Technischen Universit at Munc hen eingereicht
und durch die Fakulatt fur Mathematik am 9.7.2010 angenommen.Abstract
Subject of this work is the analysis of numerical methods for the solution of optimal
control problems governed by elliptic partial di erential equations. Such problems arise,
if one does not only want to simulate technical or physical processes but also wants
to optimize them with the help of one or more in uence variables. In many practical
applications these in uence variables, so called controls, cannot be chosen arbitrarily, but
have to ful ll certain inequality constraints. The numerical treatment of such control
constrained optimal control problems requires a discretization of the underlying in nite
dimensional function spaces. To guarantee the quality of the numerical solution one has to
estimate and to quantify the resulting approximation errors. In this thesis a priori error
estimates for nite element discretizations are proved in case of corners or edges in the
underlying domain and nonsmooth coe cients in the partial di erential equation. These
facts in uence the regularity properties of the solution and require adapted meshes to get
optimal convergence rates. Isotropic and anisotropic renement strategies are given and
error estimates in polygonal and prismatic domains are proved. The theoretical results
are con rmed by numerical tests.
Zusammenfassung
Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung numerischer Methoden zur
Losung von Optimalsteuerproblemen mit elliptischen partiellen Di erentialgleichungen als
Nebenbedingung. Solche Aufgabenstellungen treten auf, wenn technische oder physikali-
sche Prozesse nicht nur simuliert, sondern mit Hilfe einer oder mehrerer Ein ussgr o en
auch optimiert werden sollen. In vielen praktischen Anwendungen konnen diese Ein uss-
gro en, sogenannte Steuerungen, nicht beliebig gew ahlt werden, sondern unterliegen Unglei-
chungsbeschrankungen. Die rechentechnische Behandlung solcher steuerungsbeschrankter
Optimalsteuerprobleme erfordert eine Diskretisierung der zugrundeliegenden unendlich
dimensionalen Funktionenraume. Um die Qualitat der numerischen Approximation sicher-
zustellen, mussen die durch die Diskretisierung entstehenden Abweichungen abgeschatzt
und quanti ziert werden. In dieser Dissertation werden a priori Fehlerabsch atzungen
fur Finite-Element-Diskretisierungen bewiesen, wenn das zugrundeliegende Rechengebiet
Ecken oder Kanten aufweist oder die Zustandsgleichung nicht glatte Koe zienten hat.
Diese Umstande beein ussen die Regularit atseigenschaften der Losung und erfordern
angepasste Netze um optimale Konvergenzraten zu erhalten. Es werden isotrope und
anisotrope Verfeinerungsstrategien angegeben und Fehlerabschatzungen in polygonalen
und prismatischen Gebieten bewiesen. Die theoretischen Resultate werden jeweils durch
numerische Tests bestatigt.
ivVorwort
Die vorliegende Dissertation entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftlicher
Mitarbeiter am Institut fur Mathematik und Bauinformatik der Fakultat fur Bauingenieur-
und Vermessungswesen an der Universitat der Bundeswehr Munchen. Mein Dank richtet
sich zuallererst an Prof. Dr. Thomas Apel fur seine gro e Unterst utzung und das mir
entgegengebrachte Vertrauen. Er hatte stets ein o enes Ohr f ur Probleme, investierte
viele Stunden in zahlreiche Diskussionen und gab immer wieder interessante Anregungen.
Thomas, vielen Dank dafur. Danken mochte ich auch meinen Kollegen am Institut fur die
gute Arbeitsatmosphare und das angenehme gesellschaftliche Miteinander innerhalb und
au erhalb der Universit at.
Mein besonderer Dank gilt Prof. Dr. Boris Vexler, der bereit war, die Betreuung der Arbeit
an der TU Munchen zu ubernehmen. Ein herzliches Dankeschon richtet sich auch an Prof.
Dr. Serge Nicaise, der mir zwei Forschungsaufenthalte an der Universitat in Valenciennes
ermoglic hte und mir immer mit Rat und Tat zur Seite stand. Fur die gute Zusammenarbeit
mochte ich mich auch bei Prof. Dr. Arnd Rosch bedanken. Prof. Dr. Gunar Matthies danke
ich fur die Bereitstellung des Softwarepakets MoonMD und seine stete Hilfsbereitschaft
bei auftretenden Problemen.
Zu guter Letzt mochte ich meine gro e Dankbarkeit gegen uber meiner Familie aussprechen.
Meine Eltern haben mich ub er die vielen Jahre von Schule, Studium und Promotionszeit
hinweg stets in vielfacher Weise unterstutzt und damit einen ganz besonderen Anteil am
Gelingen dieser Arbeit. Mein Dank richtet sich auch an meine Freundin Diana, die mir
immer Ruc khalt und Aufmunterung fur meine Arbeit gab.
vContents
1 Introduction 1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 State equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Optimal control problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Preliminaries 9
2.1 Basic facts from functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Graded triangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Two-dimensional domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Three-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Interpolation of nonsmooth functions 19
3.1 Suitable interpolation operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Tensor product meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Quasi-Interpolation operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Local estimates in classical Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Locals in weighted Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Extension to more general meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Finite element error estimates for boundary value problems 35
4.1 Scalar elliptic equations in polygonal domains . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.2 Finite element error estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Scalar elliptic equations in prismatic domains . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.2 Finite element error estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Scalar elliptic equations with nonsmooth coe cients . . . . . . . . . . . . 63
4.3.1 Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.2 Finite element error estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
viiContents
4.4 Stokes equations in nonsmooth domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.1 General situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.2 Stokes equations in polygonal domains . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.3 Stokes in prismatic . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Error estimates for PDE-constrained Optimal Control Problems 85
5.1 Analysis for general linear-quadratic optimal control problems . . . . . . . 85
5.1.1 Existence and uniqueness of a solution . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.2 Discretization concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Scalar elliptic state equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.1 Polygonal domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.2 Prismatic domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.3 Nonsmooth coe cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3 Stokes equations as state equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.1 Prismatic domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3.2 Polygonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6 Conclusion and Outlook 147
A Notation 149
B The Software Package OPTPDE 151
B.1 Structure of OPTPDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
B.2 Optimization part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
B.3 Finite element library . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Bibliography 157
viiiCHAPTER 1
Introduction
1.1 Motivation
The modelling and numerical simulation of complex systems play an important role in
many industrial, medical and economical applications. Very often, such systems can
mathematically be described by partial di erential equations (PDEs). Here, one can think
for example of heat ow in materials or human tissues, aerodynamic properties of airplanes
or determination of option prices in nance. In the last decades the development of e cient
numerical methods to solve PDEs gave people together with the rising computing power
the opportunity to simulate complex systems. Today this is done very successfully in
many areas. But in most applications mathematical modelling and numerical simulation
are only the