Flooding of regular phase space islands by chaotic states [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Lars Bittrich

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Physik

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Publié par	technische_universitat_dresden
Publié le	01 janvier 2010
Nombre de lectures	18
Langue	English
Poids de l'ouvrage	23 Mo

Extrait

Flooding of Regular Phase Space Islands
by Chaotic States
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
Doctor rerum naturalium
vorgelegt von
Lars Bittrich
geboren am 29.06.1981 in G?rlitz
Institut für Theoretische Physik
Fachrichtung Physik
Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften
Technische Universität Dresden
2010Eingereicht am 23. Juni 2010
1. Gutachter: Prof. Dr. Roland Ketzmerick
2. Gutachter: Prof. Dr. Hans-Jürgen Stöckmann
Verteidigt am 26. Oktober 2010v
Abstract
We investigate systems with a mixed phase space, where regular and chaotic dynamics coexist.
Classically, regions with regular motion, the regular islands, are dynamically not connected to
regions with chaotic motion, the chaotic sea. Typically, this is also reected in the quantum
properties, where eigenstates either concentrate on the regular or the chaotic regions. However,
it was shown that quantum mechanically, due to the tunneling process, a coupling is induced
and ooding of regular islands may occur. This happens when the Heisenberg time, the time
neededtoresolvethediscretespectrum, islargerthanthetunnelingtimefromtheregularregion
to the chaotic sea. In this case the regular eigenstates disappear. We study this eect by the
timeevolutionofwave packets initially startedinthechaoticseaandndincreasing probability
intheregularisland. Usingrandommatrixmodelsaquantitative predictionisderived. Wend
excellent agreement with numerical dataobtained forquantum maps andbilliards systems. For
open systems we investigate the phenomenon of ooding and disappearance of regular states,
wheretheescapetimeoccursasanadditionaltimescale. Wediscussthereappearanceofregular
states in the case of strongly opened systems. This is demonstrated numerically for quantum
maps and experimentally for a mushroom shaped microwave resonator. The reappearance of
regular states is explained qualitatively by a matrix model.
Zusammenfassung
Untersucht werden Systeme mit gemischtem Phasenraum, in denen sowohl regul?re als auch
chaotische Dynamik auftritt. In der klassischen Mechanik sind Gebiete regul?rer Bewegung,
die sogenannten regul?ren Inseln, dynamisch nicht mit den Gebieten chaotischer Bewegung,
der chaotischen See, verbunden. Dieses Verhalten spiegelt sich typischerweise auch in den
quantenmechanischen Eigenschaften wider, so dass Eigenfunktionen entweder auf chaotischen
oder regul?ren Gebieten konzentriert sind. Es wurde jedoch gezeigt, dass aufgrund des Tun-
neleektes eine Kopplung auftritt und regul?re Inseln geutet werden k?nnen. Dies geschieht
wenn die Heisenbergzeit, das hei?t die Zeit die das System ben?tigt, um das diskrete Spek-
trum aufzul?sen, gr??er als die Tunnelzeit vom Regul?ren ins Chaotische ist, wobei regul?re
Eigenzust?nde verschwinden. Dieser Eekt wird ?ber eine Zeitentwicklung von Wellenpaketen,
die in der chaotischen See gestartet werden, untersucht. Es kommt zu einer ansteigenden
Wahrscheinlichkeit in der regul?ren Insel. Mithilfe von Zufallsmatrixmodellen wird eine quan-
titative Vorhersageabgeleitet, welche die numerischen Datenvon Quantenabbildungen und Bil-
lardsystemen hervorragend beschreibt. Der Eekt des Flutens und das Verschwinden regul?rer
Zust?nde wird ebenfalls mit oenen Systemen untersucht. Hier tritt die Fluchtzeit als zus?tz-
liche Zeitskala auf. Das Wiederkehren regul?rer Zust?nde im Falle stark ge?neter Systeme
wird qualitativ mithilfe eines Matrixmodells erkl?rt und numerisch f?r Quantenabbildungen
sowie experimentell f?r einen pilzf?rmigen Mikrowellenresonator belegt.Contents
1 Introduction 1
2 Systems with a mixed phase space 5
2.1 Kicked maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Standard map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Designed kicked maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Quantized torus maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Time evolution operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Quasi-periodic potential and kinetic energy functions . . . . . . . . . . . 13
2.3 Mushroom billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Flooding of regular states 17
3.1 Numerical time evolution in quantum maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Husimi weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Projection onto regular states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Dynamical tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Linear regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Complete ooding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Saturation regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 Saturation value and eective coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2 Random matrix model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.3 Simplied RMT model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.4 Non-transporting islands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Full time-dependent solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Flooding in the standard map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Flooding in the mushroom billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Flooding in open quantum systems 53
4.1 Open quantum maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.1 Reappearance of regular states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Matrix model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Experiments in microwave billiards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
viiviii Contents
4.2.1 Experimental setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 Transmission and reection measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.3 Wave functions measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.4 Reappearance of regular states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Summary and outlook 73
A Classical and quantum kicked systems 77
A.1 System-adapted units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.2 Smoothing of designed maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B Numerics with quantum maps 81
B.1 Time evolution of wave packets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B.2 Ecient calculations of the Husimi function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.3 Numerical errors in the regular weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C Analytic solutions of the matrix models 89
C.1 Saturation value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
C.2 Two by two coupling model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
C.3 Non-transporting islands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
D Adjustment of the antenna positioning in the microwave billiard experiment 95
Bibliography 1011 Introduction
In this thesis we investigate quantum systems for which the corresponding classical dynamics
shows a mixed phase space. In such systems regular and chaotic motion coexist. The regular
motion is stable under small variations of the initial conditions, whereas in chaotic regions
even tiny changes of initial conditions lead to an exponential separation in phase space. The
understanding of quantum mechanical properties of systems with a mixed phase space is an
important topic of current research in quantum chaos [13]. In the past decades many impor-
tant results have been obtained considering systems, which are either completely regular or
completely chaotic [46]. Typical Hamiltonian systems, however, have a mixed phase space [7].
An example of such a system is presented in Fig. 1.1(a). Regular trajectories (red) show an el-
liptical shape and together they form the so-called regular island, while the chaotic trajectories
(blue) are distributed over two-dimensional regions in phase space, the so-called chaotic sea.
One aim in the eld of quantum chaos is to understand the quantum mechanical properties of
such systems by means ofclassical trajectories. Forthis purpose typical actionsS ofthe system
Shave to be large in comparison with Planck's constant h. The corresponding limit !1 can
h
hbe described by an eective Planck constant h = , which goes to zero in the semiclassicaleﬀ S
limit. In this limit quantum mechanical eigenfunctions localize on classical structures in phase
space and thus they can be classied as regular or chaotic. This behavior is predicted by the
semiclassical eigenfunction hypothesis [810]. Even in the quantum regime for nite h = 0eﬀ
one often nds regular states as shown in Fig. 1.1(b) and chaotic states shown in Fig. 1.1(c),
which is also veried in the literature [1116].
Semiclassically one can construct by the WKB-quantization [17] purely regular states, which
concentrate on classical regular toriC , fullling the quantization conditionmI
1
pdq = m+ h : (1.1)eﬀ
2Cm
These tori are shown as red ellipses in Fig. 1.1(a). This yields a xed numb