Function spaces with dominating mixed smoothness [Elektronische Ressource] / von Jan Vybíral

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Function spaceswith dominating mixed smoothnessDissertationzur Erlangung des akademischen Gradesdoctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)vorgelegt dem Rat derFakult¨at fu¨r Mathematik und Informatikder Friedrich-Schiller Universit¨at Jenavon Dipl.-Math. Jan Vyb´ıralgeboren am 2. September 1979 in HraniceGutachter1 Prof. Schmeißer - summa cum laude2 Prof. Sickel - summa cum laude3 Prof. Skrzypczak - summa cum laudeTag der letzten Pru¨fung des Rigorosums: 2. September 2005Tag der ¨offentlichen Verteidigung: 5. September 2005AcknowledgementsI would like to express my deepest appreciation to my supervisors Professor Hans-Ju¨rgenSchmeisser and Professor Winfried Sickel for their support and many hints and comments.I thank also Professor Hans Triebel for many valuable discussions on the topic of this work.ZusammenfassungWirstudierenFunktionenr¨aumemitdominierendengemischten Glattheitseigenschaften. Dieersten R¨aume von diesem Typ wurden von S. M. Nikol’skij in [21] und [22] definiert. Er hatdie R¨aume vom Sobolev Typ eingefu¨hrt:n r1∂ f r 2 2 r 2S W(R ) = f|f∈L (R ),||f|S W(R )||=||f|L||+ | L +p p pp p r1∂x1 or r +r2 1 2∂ f ∂ f + | L + | L <∞ , p pr r r2 1 2∂x ∂x ∂x2 1 2r +r1 2∂ fwobei 1 < p <∞,r = 0,1,2,...;(i = 1,2). Die gemischte Ableitung r r spielt diei 1 2∂x ∂x1 2dominante Rolle und hat dieser Klasse von Funktionenr¨aumen den Namen gegeben.

Sujets

• Mathematics

Informations

• Publié par: friedrich-schiller-universitat_jena
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 15
• Langue: Deutsch

Extrait

with

spaces ixed sm

Function dominating m

oothness

Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)

vorgelegt dem Rat der Fakult¨atfu¨rMathematikundInformatik derFriedrich-SchillerUniversit¨atJena

vonDipl.-Math.JanVybı´ral geboren am 2. September 1979 in Hranice

Gutachter

1 Prof. Schmeißer -summa cum laude 2 Prof. Sickel -summa cum laude 3 Prof. Skrzypczak -summa cum laude

TagderletztenPru¨fungdesRigorosums:2.September2005

Tagder¨offentlichenVerteidigung:5.September2005

Acknowledgements

IwouldliketoexpressmydeepestappreciationtomysupervisorsProfessorHans-J¨urgen Schmeisser and Professor Winfried Sickel for their support and many hints and comments. I thank also Professor Hans Triebel for many valuable discussions on the topic of this work.

Zusammenfassung WirstudierenFunktionenr¨aumemitdominierendengemischtenGlattheitseigenschaften.Die ersten Raume von diesem Typ wurden von S. M. Nikol’skij in [21] und [22] definiert. Er hat ¨ dieR¨aumevomSobolevTypeingefu¨hrt: r S p r W(R 2 ) = n f|f∈L p (R 2 ),||f|S p r W(R 2 )||=||f|L p ||+  x∂ ∂ 1 1 r f 1 |L p  + + ∂ r 2 2 r f 2 |L p  +  ∂ x∂ r r 1 1 1 + ∂ r 2 x f r 2 2 |L p  <∞ o ,  ∂x

wobei 1< p <∞, r i = 0,1,2,   ; (i= 1,2). Die gemischte Ableitung ∂ ∂x r r 1 1 1 + ∂ r x 2 2 r f 2 spielt die dominanteRolleundhatdieserKlassevonFunktionenra¨umendenNamengegeben.Diese Ra¨ume,sowieR¨aumevomBesov-Typ,wurdenvonvielenAutorenstudiert,zumBeispiel T. I. Amanov, O. V. Besov, K. K. Golovkin, P. I. Lizorkin, S. M. Nikol’skij, M. K. Potapov undH.–J.Schmeisser.Wirverweisenauf[1]f¨ureinensystematischenZugangzudiesem Thema.WieauchinderTheoriederklassischenisotropenSobolev-R¨aumekannmaneine alternative Definition mit Hilfe der Fourier-Transformation angeben (siehe (1.8) und (1.9)). Diese Definition basiert auf der Zerlegung f= X (ϕ k 1 ⊗    ⊗ϕ k d f) ∨ ,Konvergenz inS ′ (R d ), ˆ k∈N d 0

wobei{ϕ k } k∈N 0 rdeleernggutnZekenamubeR-a¨esovhenBsiscklasredeiroehTredsuaneei Einheit aufRist und k =ϕ k 1 ⊗    ⊗ϕ k d , k= (k 1 ,    , k d ), das Tensorprodukt ist. Eineausfu¨hrlicheDarstellungfindetmanin[26].InKapitel2diesesBucheswirddieklassi- scheTheoriederR¨aumemitdominierendenGlattheitseigenschaftenS p r q BundS p r q F(siehe ¨ Definition 1.2) entwickelt. Man beweist die Aquivalenz mehrerer Typen von Quasinor- men,Einbettungen,Spurs¨atzeundCharakterisierungendieserRa¨umedurchDifferenzen. GrundlegendeEigenschaftenwichtigerOperatorenaufdiesenR¨aumen-Lifting-undMa- ximaloperatoren und Fourierische Multiplikatoren werden studiert. In Kapitel 1 geben wir eineDarstellungdieserErgebnisse,sofernsiespa¨terbeno¨tigtwerden.ImGegensatzzu [26]beschr¨ankenwirdieDimensiondeszugrundeliegendenEuklidischenRaumesnichtauf dmeuadfdaecrhntb,estonrau=me2enR¨R d ,d≥2in [26] bemerkt, ist diese Verall-Wie gemeinerung offensichtlich. Das zweite Kapitel widmet sich lokalen Mitteln, atomaren, subatomaren und Wavelet- Zerlegungen.WirgebendieErgebnissesowohlfu¨rBesovalsauchf¨urTriebel-LizorkinRa¨ume an,konzentrierenunsineinigenF¨allenallerdingsnuraufdieBeweisef¨urdieTriebel-Lizorkin Skala.DieBeweisefu¨rdieR¨aumevomBesovTypsindanalog.Zun¨achstcharakterisieren wir diese Klassen von Funktionenraumen durch sogenannte lokale Mittel (siehe Theorem ¨ 1.25fu¨rDetails).DieseCharakterisierungdientunsalsAusgangspunktfu¨ralledreiinder Arbeit beschriebenen Zerlegungstechniken. Unter eineratomaren Zerlegungeiner FunktionfiseZerlegungentham¨nbuilhcreewetsrev des Typs f(x) = X X λ ν m a ν m (x),Konvergenz inS ′ (R d ), ν m wobeia ν m gewisse einfache Bausteine, sogenannteAtome, undλ ν m komplexe Zahlen sind. Man zeigt, dass eine Funktionfehnganudnageumraeidnnew,tro¨zknitnoneeunimeuF

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Koeffizientenfolge{λ ν m } νm r-veeuanmroFeilugnurmgaunrgeolmFneeiegeidru¨F.tro¨heuz weisen wir auf Theorem 2.4. An dieser Stelle sei bemerkt, dass die Atome nur implizit definiert sind - eine Funktionaist ein Atom genau dann, wenn sie gewisse qualitative Be- dingungenerf¨ullt(sieheDefinition2.3). Einesubatomare Zerlegungist eine Zerlegung des Typs f(x) = X X X λ ν β m (βqu) ν m (x),Konvergenz inS ′ (R d ), β ν m

wobei (βqu) ν m (x) die sogenanntenQuarksundλ ν β m komplexe Zahlen sind. Ein Quark ist ein durch (2.36) explizit gegebenes spezielles Atom. Die grundlegenden Bausteine, die Quarks, sindalsovielspezifischerindieserArtderZerlegung.DerPreis,denmandafu¨rbezahlen muss, ist eine wessentlich kompliziertere Beziehung zwischenfund{λ β mν } ist im Detail. Dies in Theorem 2.6 beschrieben. Die letzte Zerlegungstechnik, die hier entwickelt wird, ist die Wavelet-Zerlegung. In diesem Fall benutzt man als Bausteine eine Klasse von Wavelets mitkompaktemTr¨ager(vergl.Theoreme2.10und2.11fu¨rgenaueFormulierung).Der HauptvorteilderWavelet-ZerlegungistdieEindeutigkeitderDarstellung.DerPreisdaf¨ur istdiebeschr¨ankteGlattheitderWaveletsmitkompaktemTra¨ger. In diesem Sinne hat jede dieser Zerlegungen ihre Vor- und Nachteile. Sie haben aber auchetwasgemeinsam:siestelleneineVerbindungzwischenFunktionenra¨umenundFol- genr¨aumenher.WeilmanmitFolgenr¨aumenvieleinfacherarbeitenkann,zeigtessich, dass diese Verbindung in vielen Situationen nutzbringend ist (Einbettungen, Spuren, En- tropiezahlen,. . . ). An dieser Stelle sei eine andere Beziehung zwischen Funktionen- und Fol- genra¨umenerwahnt-n¨amlichdiesogenannteϕ-Transformation von M. Frazier and B. Jaw-¨ erth.Wirverweisenauf[15]unddiedortangegebenenReferenzenf¨urDetails. Die Theorie der atomaren Zerlegung von Funktionen in isotropen Besov- und Triebel-Lizorkin- R¨aumenwurdevoralleminArbeitenvonM.FrazierundB.Jawerth([12],[13])und H. Triebel ([33], [34]) entwickelt. Die subatomare Zerlegung stammt von H. Triebel ([35], [37]).WirfolgendiesenIdeenundbeweisenZerlegungstheoremef¨urR¨aumemitdominieren- den Glatheitseigenschaften. Diese Resultate findet man in Kapitel 2, und sie bilden einen der wichtigsten Abschnitte dieser Arbeit. ImdrittenKapitelstudierenwirdieEntropiezahlenderEinbettungenvonFolgenra¨umen undzugeho¨rigenFunktionenr¨aumenmitdominierendenGlattheitseigenschaften.DerBegriff der Entropiezahlen hat seine Wurzeln im Studium der metrischen Entropie, das vor allem vonKolmogorovinden30erJahrendesletztenJahrhundertsbetriebenwurde.Fu¨reinen vorgegebenenbeschra¨nktenlinearenOperatorTnaumechr¨chiszwanaB-isauQiewzneAund B(T∈L(A, BcQienahuteebeidza¨))ttntie k (T), k∈N, den kleinsten Radiusǫ >0, so dass das Bild der Einheitskugel inAdurch 2 k−1 Kugeln inBmit dem Radiusǫrdbektecu¨ werden kann. Die Folge{e k (T)} k ∞ =1 gegen Null genau dann, wenn der Operatorstrebt T kompaktist.DenAbfalldieserFolgekannmandannalseinMassfu¨rdieKompaktheitvon Tbetrachten. Die wichtigste Eigenschaft der Entropiezahlen wurde von B. Carl erkannt ([6]). Er beweist, dass die Entropiezahlen eines kompakten OperatorsT∈L(A, A) in einem gewissen Sinne seine Eigenwerte dominieren. Wir benutzen die Zerlegungstechniken um die Frage nach dem asymptotischen Verhalten der EntropiezahlenaufdasFolgenraumniveauzureduzieren.Eszeigtsichn¨amlich,dass

e k (id:S p r 1 1 q 1 A(Ω)֒→S r p 2 2 q 2 A(Ω))≈e k (id:s r p 1 1 q 1 a(Ω)֒→s r p 2 2 q 2 a(Ω)),

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