Functional equations of polylogarithms in motivic cohomology [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Oliver Petras

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• Publié le: 01 janvier 2008
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Extrait

Functional equations of
polylogarithms
in motivic cohomology
Dissertation
zur Erlangung des Grades
Doktor der Naturwissenschaften“
”
am Fachbereich Physik, Mathematik und Informatik
an der Johannes Gutenberg-Universit¨at in Mainz
vorgelegt von
Oliver Petras
geb. in Frankfurt am Main
Mainz, den 27. M¨arz 2008Contents
Summary iii
Zusammenfassung v
Introduction vii
1 Motivic cohomology of a field 1
1.1 What is motivic cohomology of a field? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Polylogarithms and Bloch groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 The dilogarithm and number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 The trilogarithm and number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Motivic cohomology via Bloch’s higher Chow groups . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Bloch’s higher Chow groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 The Abel – Jacobi map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Explicit computations in codimension two 33
2.1 The setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Application to number fields. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
22.3.1 CH ( ,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
22.3.2 CH ( (i),3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
22.3.3 CH ( (ζ ),3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
22.3.4 CH ( (ζ ),3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
2.3.5 A remark on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55p
2.4 Detecting the Bloch group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
i
Q
Q
Q
Q
Q2.5 More symmetric relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Explicit computations in codimension three 67
3.1 The setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 The Kummer – Spence – relation modulo 2-torsion . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 An inversion relation modulo 2-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4 The Goncharov – relation modulo 2-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Concluding remarks 117
Bibliography 119
iiSummary
For an infinite fieldF, we study the integral relationship between the Bloch group B (F) and2
2the higher Chow group CH (F,3) by proving some relations corresponding to the functional
equationsofthedilogarithm. Asasecondresult,thegroupsinvolvedinSuslin’sexactsequence
× × ∼ 20→Tor (F ,F ) →CH (F,3)→B (F)→021
2are identified with homology groups of the cycle complex Z (F,•) computing Bloch’s higher
Chow groups.
Using these results, we give explicit cycles in motivic cohomology generating the integral
motivic cohomology groups of some specific number fields and determine whether a given
cycle in the Chow group already lives in one of the other groups of Suslin’s sequence. In
principle, this enables us to find a presentation of the codimension two Chow group of an
arbitrary number field.
Finally, we also prove some relations in the higher Chow groups of codimension three
1modulo2-torsion comingfrom relations in thehigher Bloch groupB (F)⊗ . Further, we3 2
3 thcanproveaseriesofrelationsinCH ( (ζ ),5)foraprimitivep rootofunityζ . Thisrelatesp p
1 3 1the higher Bloch group B (F)⊗ and the motivic cohomology group CH (F,5)⊗3 2 2
of a number field F.
iii
Q
Z
Z
Z
ZivZusammenfassung
Wir untersuchen den Zusammenhang zwischen der Blochgruppe B (F) und der h¨oheren2
2Chowgruppe CH (F,3) mit ganzzahligen Koeffizienten fu¨r einen unendlichen K¨orper F, in-
demwirdieGu¨ltigkeitvonRelationeninderChowgruppebeweisen,diezucharakterisierenden
Funktionalgleichungen des Dilogarithmus korrespondieren. Als weiteres Ergebnis k¨onnen wir
die Gruppen, welche durch Suslins kurze exakte Sequenz
× × ∼ 20→Tor (F ,F ) →CH (F,3)→B (F)→021
2in Beziehung stehen, mit Homologiegruppen des Zykelkomplexes Z (F,•), der die h¨oheren
Chowgruppen berechnet, identifizieren.
Mit diesen Ergebnissen geben wir explizite Zykel in der motivischen Kohomologie von
ausgew¨ahlten Zahlk¨orpern an, die ihre h¨oheren Chowgruppen in Kodimension zwei erzeugen.
Außerdem bestimmen wir, ob ein gegebener Zykel in der Chowgruppe schon in einer der
anderen Gruppen aus Suslins Sequenz enthalten ist.
Letztlich beweisen wir die Gu¨ltigkeit einiger Relationen in den h¨oheren Chowgruppe in
1Kodimension drei mit Koeffizienten in von unendlichen K¨orpern, die von definierenden2
1Relationen in der h¨oheren Blochgruppe B (F)⊗ kommen. Wir k¨onnen sogar eine Serie3 2
3von Relationen in CH ( (ζ ),5) fu¨r eine primitive p. Einheitswurzel ζ beweisen. Durchp p
1diese Relationen bringen wir die h¨ohere Blochgruppe B (F)⊗ und die motivische Ko-3 2
13homologiegruppe CH (F,5)⊗ eines Zahlk¨orpers F in Verbindung.2
v
Z
Z
Z
Q
Z
ZviIntroduction
In modern mathematics progress is very often made by a clever combination of seemingly
unrelated branches of classical themes or by viewing old problems in the light of some recent
development in some other area of mathematical investigation.
As a specific example of such progress, this thesis deals with motivic cohomology. This
theory grew out of Grothendieck’s vision to merge algebraic topology and what later became
calledarithmeticalgebraicgeometrytogeneralizethenotionofsingularhomologyoftopologi-
calspacestoarbitraryschemesover Spec( ). Thisshouldproducesomesortof“universal” or
“underlying” cohomology theory of which the more familiar theories to be found in algebraic
or arithmetic geometry, e. g. (algebraic) De Rham, ℓ -adic, ´etale, crystalline cohomology, or
in number theory, e. g. Galois cohomology, are just so-called realizations. In other words,
Grothendieck envisioned a theory encapsulating all the information about the cohomology
of a scheme, but revealing only part of its information when one studies one of its more
well-known realizations.
The idea can roughly be described as follows: Decompose an arbitrary scheme over some
base into its building blocks, which one can think of as an affine open cover or smooth parts
or irreducible components, and associate to these building blocks so-called “motives”. The –
yet to define – cohomology groups of those motives should contain all the information that is
available.
But as one knows, arbitrary schemes can be terribly complicated, and standard methods
in algebraic geometry did not suffice for translating topological notions into the category of
schemes over some base. In section 16 of “En guise d’Avant-Propos” of his famous “R´ecoltes
et Semailles”, Grothendieck describes his way of thinking of motives:
“...Contrairement a` ce qui se passait en topologie ordinaire, on se trouve donc plac´e
la` devant une abondance d´econcertante des th´eories cohomologiques diff´erentes. On avait
l’impression tr`es nette qu’en un sens, qui restait d’abord tr`es flou, toutes ces theories devaient
revenir au mˆeme , qu’elles donnaient les mˆemes r´esultats . C’est pour parvenir a` ex-
primer cette intuition de parant´e entre th´eories cohomologiques diff´erentes, que j’ai d´egag´e
la notion de motif associ´e a` une vari´et´e alg´ebrique.
Par ce terme j’´etends sugg´erer qu’il s’agit du motif commun (ou de la raison commune)
sous-jacent a` cette multitude d’invariants cohomologiques diff´erentes associ´es a` la vari´et´e, a`
l’aide de la multitude de toutes les th´eories cohomologiques possibiles a` priori. [...]”
vii
Z
≫ ≪
≫ ≪
≫ ≪
≫ ≪ ≫ ≪Further,heexplainsthatmotiviccohomology shouldbethebasicmotivefromwhichother
cohomology theories are just facets:
“Ainsi, le motif associ´e a` une vari´et´e alg´ebrique constituerait l’invariante cohomologique
ultime , par excellence , dont tous les autres (associe´es aux diff´erentes th´eories coho-
mologiques possible) se d´eduiraient, comme autant d’ incarnations musicales, ou de r´eali-
sations diff´erentes. Toutes les propri´et´es essentielles de la cohomologie de la vari´et´e
se liraient (ou s’entendraient ) d´eja` sur le motif correspondant, de sorte que les pro-
pri´et´es et structures famili`eres sur les invariants cohomologiques particularis´es (l-adique ou
cristallins, par exemple), seraient simplement le fid`ele reflet des propri´et´es et structures in-
ternes au motif.”
According to Grothendieck, motives can be considered as geometrical objects which link
geometric and arithmetic properties of algebraic varieties:
“Dans ma vision des motifs, ceux-ci constituent une sorte de cordon tr`es cach´e et tr`es
d´elicat, reliant les propri´et´es alg´ebro-g´eom´etriques d’une vari´et´e alg´ebrique, a` des propri´et´es
de nature arithm´etique incarn´ees par son motif.