Gauge checks, consistency of approximation schemes and numerical evaluation of realistic scattering amplitudes [Elektronische Ressource] / von Christian Schwinn

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• Physik
• Astronomie

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• Publié par: technischen_universitat_darmstadt
• Publié le: 01 janvier 2003
• Nombre de lectures: 28
• Langue: English
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Extrait

Gauge checks, consistency of
approximation schemes and numerical
evaluation of realistic scattering
amplitudes
Vom Fachbereich Physik
der Technischen Universitat Darmstadt¨
zur Erlangung des Grades
eines Doktors der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
genehmigte Dissertation von
Dipl.-Phys. Christian Schwinn
aus Darmstadt
Referent: Prof. Dr. P.Manakos
Korreferent: Prof.Dr. N.Grewe
Tag der Einreichung: 18.4.2003
Tag der Prufung: 23.6.2003¨
Darmstadt 2003
D1723
Abstract
In this work we discuss both theoretical tools to verify gauge invariance in
numerical calculations of cross sections and the consistency of approximation
schemes used in realistic calculations.
We determine a finite set of Ward Identities for 4 point scattering ampli-
tudes that is sufficient to verify the correct implementation of Feynman rules
of a spontaneously broken gauge theory in a model independent way. These
identities have been implemented in the matrix element generator O’Mega and
have been used to verify the implementation of the complete Standard Model
inR gauge. As a theoretical tool, we derive a new identity for vertex functionsξ
with several momentum contractions.
The problem of the consistency of approximation schemes in tree level cal-
culations is discussed in the last part of this work. We determine the gauge in-
variance classes of spontaneously broken gauge theories, providing a new proof
for the formalism of gauge and flavor flips.
The schemes for finite width effects that have been implemented in O’Mega
are reviewed. As a comparison with existing calculations, we study the con-
− + − ¯sistency of these schemes in the process e e → e ν¯ ud. The violations ofe
gauge invariance caused by the introduction of running coupling constants are
analyzed.
Zusammenfassung
¨Diese Arbeit beschaftigt sich mit theoretischen Werkzeugen zur Uberprufung¨ ¨
von Eichinvarianz in numerischen Berechnungen von Streuquerschnitten sowie
mit der Konsistenz von Naherungsschemata, die in realistischen Rechnungen¨
angewendet werden.
Ein endlicher Satz von Ward Identit¨aten von 4 Punkt Streuamplituden wird
bestimmt, der es erlaubt, die korrekte Implementierung der Feynmanregeln
einer spontan gebrochenen Eichtheorie modellunabh¨angig zu verifizieren. Diese
Identitaten¨ wurden in den Matrixelementgenerator O’Mega implementiert und
¨zurUberpru¨fung derImplementierungdes vollst¨andigenStandardmodells inRξ
Eichung benutzt. Als theoretisches Hilfsmittel wird eine neue Identit¨at fur¨ Ver-
texfunktionen mit mehreren Impulskontraktionen hergeleitet.
ImletztenTeilderArbeitwirddasProblemderKonsistenzvonNah¨ erungen
intree-levelRechnungendiskutiert. WirbestimmendieEichinvarianzklassenin
spontan gebrochenen Eichtheorien und geben einen neuen Beweis des Formalis-
mus der Eich- und Flavorflips.
Die in O’Mega implementierten Schemata zur Behandlung endlicher Zer-
fallsbreiten werden vorgestellt. Zum Vergleich mit existierenden Rechnungen
− + − ¯untersuchen wir die Konsistenz dieser Schemata im Prozess e e → e ν¯ ud.e
Verletzungen der Eichinvarianz durch die Einfuhrung laufender Kopplungskon-¨
stanten werden analysiert.4
Die Philosophie steht in diesem großen Buch geschrieben, dem Universum, das
unserem Blick standig offenliegt. Aber das Buch ist nicht zu verstehen, wenn¨
man nicht zuvor die Sprache erlernt und sich mit den Buchstaben vertraut
gemacht hat, in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik
geschrieben, (...), ohne die es dem Menschen unmoglich ist, ein einziges Wort¨
davon zu verstehen; ohne diese irrt man in einem dunklen Labyrinth umher.
Galileo Galiliei: zitiert nach:
Albrecht Folsing: Galileo Galiliei¨
Prozeß ohne Ende, Eine BiographieContents
1 Introduction 1
2 Gaugeinvarianceinnumericalcalculations: toolandchallenge 5
2.1 Tree-level unitarity and gauge invariance . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Consequences of gauge invariance: Ward Identities . . . . . . . . 7
2.2.1 Global Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Quantum electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.3 Yang-Mills-Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.4 Massive vector bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Ward Identities as tool in numerical calculations . . . . . . . . . 11
2.3.1 Reconstruction of the Feynman rules? . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Numerical checks of Ward identities . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Gauge invariance classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2 Nonabelian gauge theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.3 Forests, Groves and flips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Gauge invariance and finite widths . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I Gauge invariance of tree level amplitudes 17
3 Slavnov Taylor Identities 19
3.1 STI for Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 The general STI of Green’s functions . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 STIs for amputated Green’s functions . . . . . . . . . . . 22
3.2 Zinn-Justin equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 STI for physical vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1 Graphical notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2 Tree level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 STI for vertices with several contractions . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.1 3 point function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.2 4 point fu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Diagrammatical analysis of STIs 33
4.1 4 point functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.1 Ward Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.2 Slavnov Taylor Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.3 Green’s function with 2 unphysical gauge bosons . . . . . 38
56 CONTENTS
4.2 Gauge parameter independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Gauge invariance classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.1 Definition of gauge invariance classes . . . . . . . . . . . . 42
4.3.2 Definition of flips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
¯ ¯4.3.3 ff→ffW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.4 General 5 point amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.5 N point diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II Reconstruction of Feynman rules 51
5 Lagrangian of a spontaneously broken gauge theory 53
5.1 Field content and symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.1 Gauge fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.2 Scalar fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.3 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.4 Majorana Fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.5 Unbroken Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Symmetry conditions and implications of SSB . . . . . . . . . . . 58
5.4 Input parameters and dependent parameters . . . . . . . . . . . 60
5.5 Example:Standard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6 Example: SUSY Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6 Reconstruction of the Feynman rules from the Ward-Identities 65
6.1 Cubic Goldstone boson couplings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.1.1 Couplings of one Goldstone boson . . . . . . . . . . . . . 66
6.1.2 Couplings of 2 or 3 Goldstone bosons . . . . . . . . . . . 67
6.2 Gauge invariance of physical couplings . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2.1 Example: WWHH Ward identity . . . . . . . . . . . . . 68
6.2.2 Gauge boson and fermion couplings . . . . . . . . . . . . 70
6.2.3 Symmetry of Higgs-Yukawa couplings . . . . . . . . . . . 70
6.3 Goldstone boson couplings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3.1 Quartic Goldstone boson -gauge boson couplings . . . . . 71
6.3.2 LiealgebrastructureofthetripleGoldstonebosoncouplings 72
6.3.3 Global invariance of Goldstone boson Yukawa couplings . 73
6.3.4 Scalar potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Gauge checks in O’Mega 75
7.1 Architecture of O’Mega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Implementation of Ward identities . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.3ntation of Slavnov-Taylor identities . . . . . . . . . . . . 79
III Consistency of realisitic calculations: selection and
resummation of diagrams 81
8 Forests and groves in spontaneously broken gauge theories 83
8.1 Definition of gauge flips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83CONTENTS 7
¯8.1.1 ff→WW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.1.2 Elementary flips in spontaneously broken gauge theories . 85
8.1.3 Flips for nonlinear realizations of the symmetry . . . . . . 86
8.2 Structure of the groves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2.1 Linear parametrization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87