Hamiltonian unknottedness of certain monotone Lagrangian tori in S_1hn2 x S_1hn2 [Elektronische Ressource] / Martin Schwingenheuer

Martin Schwingenheuer

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• Publié le: 01 janvier 2010
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• Langue: Deutsch
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Extrait

Hamiltonian unknottedness of certain monotone
2 2Lagrangian tori inS ×S
Martin Schwingenheuer
2010
Dissertation an der Fakult¨at fu¨r Mathematik, Informatik und
Statistik der Ludwig-Maximilians-Universit¨at Mu¨nchenvorgelegt am: 24.08.2010
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 16.11.2010
1.Gutachter: Prof. Kai Cieliebak (LMU Mu¨nchen)
2.Gutachter: Prof. Yakov Eliashberg (Stanford University)Zusammenfassung
Die Klassifikation von Lagrange Untermannigfaltigkeiten in symplektischen Mannigfal-
tigkeiten bis auf Isotopie (Lagrange, Symplektische und Hamiltonsche) ist eine schwere
und interessante Frage. Bekanntes in diesem Gebiet beschra¨nkt sich vornehmlich auf das
Problem der Lagrange Isotopie, da unter den genannten Typen der Isotopie dieses das
einfachste ist.
In der vorliegenden Arbeit beweisen wir die Klassifikation von monotonen Lagrange Tori
2 2in (S ×S ,ω ⊕ ω ) bis auf Hamiltonsche Isotopie fu¨r eine besondere Klasse vonstd std
monotonen Lagrange Tori unter einer zus¨atzlichen Annahme.
Die Klasse von monotonen Lagrange Tori, die wir betrachten sind die sogenannten ge-
2 2faserten monotonen Lagrange Tori. Ein Lagrange Torus L in (S ×S ,ω ⊕ω ) heißtstd std
2 2gefasert, falls es eine Bl¨atterung F von S ×S durch symplektische 2-Sph¨aren in der
2 ′Homologieklasse [pt×S ] und eine kompakte, symplektische Untermannigfaltigkeit Σ
2(Schnitt der Bl¨atterung) in der Klasse [S ×pt] mit den folgenden Eigenschaften gibt:
′ ′• Σ ist transversal zu den Bl¨attern vonF und Σ ist disjunkt zu L;
• F induziert eine Bl¨atterung von L durch Kreise (die Bl¨atter von F schneiden L in
Kreisen).
DieMotivation, diese Klasse vonmonotonenLagrangeTorizubetrachten, kommt ausder
Doktorarbeit von A. Ivrii [12], in welcher er unter anderem beweist, dass jeder Lagrange
2 2Torus in S ×S gefasert ist.
Wir beweisen in der vorliegenden Arbeit den Satz 2.5.1, dass ein gefaserter monotoner
Lagrange Torus zu dem es noch einen zweiten symplektischen Schnitt Σ mit bestimmten
Eigenschaften gibt, Hamiltonsch isotop zum Standard Torus ist. Der Standard Torus ist
¨dermonotoneLagrangeTorus,derausdenAquatorenindenbeidenkartesischenFaktoren
2 2gebildetwird. Esistbekannt[28],[24],[25],[26],[27]und[23],dassesin(S ×S ,ω ⊕ω )std std
exotische monotone Lagrange Tori gibt. Es folgt deshalb sofort, dass es den zweiten sym-
plektischen Schnitt wie in unserem Satz gefordert fu¨r diese Tori nicht geben kann.
Ausblickend in die Zukunft kann man deshalb hoffen, dass die Klassifikation von mono-
2 2tonen Lagrange Tori in S ×S in den Bereich des M¨oglichen gelangt, falls man die
Bedingungen versteht, unter denen der zweite symplektische Schnitt existiert.
iiiAbstract
The classification of Lagrangian submanifolds in symplectic manifolds up to isotopy (La-
grangian, symplectic and Hamiltonian) is a hard and interesting question. Known results
in this area concern mainly the problem of Lagrangian isotopy, since among the types of
isotopy mentioned above this is the easiest case.
2In the following thesis, we prove the classification of monotone Lagrangian tori in (S ×
2S ,ω ⊕ω ) up to Hamiltonian isotopy for a special class of monotone Lagrangian toristd std
under an additional assumption.
The class of monotone Lagrangian tori considered in this thesis are fibered monotone La-
2 2grangiantori. ALagrangiantorusLin(S ×S ,ω ⊕ω )is calledfibered ifthere existsstd std
2 2 2a foliation F of S ×S by symplectic 2-spheres in the homology class [pt×S ] and a
′ 2compact symplectic submanifold Σ in class [S ×pt] with the following properties:
′• Σ is transverse to the leaves ofF and is disjoint fromL;
• F induces a foliation of L by circles (the leaves ofF intersect L in circles).
The motivation to consider this class of monotone Lagrangian tori is A. Ivrii’s PhD thesis
2 2[12]inwhichheprovesamongotherthingsthatanyLagrangiantorusinS ×S isfibered.
The theorem we prove in this thesis (Theorem 2.5.1) states that a fibered monotone La-
grangiantorusforwhichthereexistsasecondsymplecticsectionΣwithcertainproperties,
is Hamiltonian isotopic to the standard torus L .std
L is the monotone Lagrangian torus made up of the equators in both cartesian factors.std
It is known [28],[24],[25],[26],[27] and [23] that there exist exotic monotone Lagrangian
2 2tori in (S ×S ,ω ⊕ω ). Consequently, the second symplectic section as describedstd std
above cannot exist for these tori.
2 2Asanoutlook,onecanhopethattheclassificationofmonontoneLagrangiantoriinS ×S
comes within reach if we understand the conditions under which the second symplectic
section exists.
iiiivContents
1 Introduction 1
2 Setup 5
2.1 Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Symplectic foliations, fibrations and the symplectic connection . . . . . . . 6
2.2.1 Foliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Symplectic fibrations and symplectic vector bundles . . . . . . . . . 9
2.2.3 The symplectic connection and its curvature . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Monotonicity of Lagrangian submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 The Maslov index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Monotone Lagrangian tori lying nicely in symplectic fibrations . . . . . . . 20
2.4.1 Fibered tori and some properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 Relative symplectic fibrations and their properties . . . . . . . . . . 26
2.5 The main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 The standardisation 33
3.1 Conveniently fibered Lagrangian tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Standardisation of the symplectic fibration near a fiber . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Standardisation of the symplectic form . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Standardisation of the symplectic foliation near the fiber . . . . . . 37
3.3 Standardisation of the symplectic fibration near the sections . . . . . . . . 53
3.3.1 Topological Standardisation of the sections . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 Standardisation of the symplectic form near the sections . . . . . . 55
3.3.3 Standardisation of the symplectic foliation near the sections . . . . 59
3.3.4 Trivialising the fibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Topological standardisation of the torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Killing the monodromy 67
4.1 Suitable coordinates on the base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Monodromy is Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 A special contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
vvi CONTENTS
4.4 Construction of a suitable Hamiltonian function . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5 Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5.1 The inflation procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.2 Symplecticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.3 Lagrangian monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6 Killing the monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6.1 Killing the monodromy along circles of latitude . . . . . . . . . . . 85
4.6.2 Killing all the monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Hamiltonian isotopy of fibered monotone Lagrangian tori 91
5.1 Killing the monodromy by a homotopy of relative symplectic fibrations . . 91
5.2 Hamiltonian isotopy to the Clifford torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 A.Ivrii’s result and its relation to the Main Theorem 99
6.1 The Chekanov-Schlenk Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.1 The construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2 A.Ivrii’s result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3 Relation to the Main Theorem and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A The standard form ω and stereographic projection 107std
B Proofs of results in chapter 2 111
C Proofs of results in chapter 3 119
D Proofs of results in chapter 4 129
E Homotopy groups of some diffeomorphism groups 143
F Homology of (M,L) 151
G Maslov index for the symplectomorphism group and the Lagrangian Grassmanian153Chapter 1
Introduction
The classification of Lagrangian submanifolds in symplectic manifolds up to Lagrangian,
symplectic or Hamiltonian isotopy is an interesting problem. Mainly, the known results
concern Lagrangian spheres or tori in symplectic manifolds of dimension four. Results in
the area are R. Hinds classification up to Hamiltonian isotopy of Lagrangian 2-spheres
2 2in S ×S with the standard product symplectic form in 2004 [22] and very recently,
J. Evans paper [21] on the Lagrangian unknottedness of Lagrangian spheres in certain
Del-Pezzo surfaces.
Another result whic