Homoclinic bifurcations in reversible systems [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Thomas Wagenknecht

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• Publié par: technische_universitat_ilmenau
• Publié le: 01 janvier 2003
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Deutsch

Extrait

Homoclinic Bifurcations
in Reversible Systems
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
Dr. rer. nat.
vorgelegt von
Dipl.-Math. Thomas Wagenknecht
eingereicht bei der Fakult¨at fur¨ Mathematik und Naturwissenschaften
der Technischen Universit¨at Ilmenau am 17. Juni 2003
offen¨ tlich verteidigt am 12. Dezember 2003
Gutachter: Prof. Dr. A. R. Champneys (University of Bristol)
Prof. Dr. B. Fiedler (Freie Universit¨at Berlin)
Prof. Dr. B. Marx (Technische Universit¨at Ilmenau)Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit untersucht Bifurkationen homokliner L¨osungen in gew¨ohnlichen
Differentialgleichungen. HomoklineL¨osungensindinpositiverundnegativerZeitasymp-
totischzueinerGleichgewichtslage,d.h. zueinerkonstantenL¨osungderDifferentialglei-
chung. DieArbeitbetrachtetsolchehomoklineBifurkationen,dievoneinerVer¨anderung
des Typs dieser assoziierten Gleichgewichtslage herruhren.¨ Verschiedene Szenarien wer-
den in der Klasse der reversiblen Differentialgleichungen analysiert.
DerHauptteilderArbeitbesch¨aftigtsichmitHomoklinenanGleichgewichtslagen,welche
selbst in einer lokalen Bifurkation verzweigen. Dabei ver¨andert sich der Typ der Gleich-
gewichtslagevomreellenSattel(mitfuhrenden¨ reellenEigenwerten)zumSattel-Zentrum
(mit einem Paar rein imagin¨arer Eigenwerte). Das Miteinander lokaler und globaler
Bifurkationseffekte erfordert eine neuartige Behandlung: Durch eine Kombination ana-
lytischer und geometrischer Techniken wird eine Beschreibung verzweigender Homo-
klinen gewonnen. Dabei werden sowohl rein reversible Systeme als auch Systeme mit
zus¨atzlicher Symmetrie und Hamilton-Struktur betrachtet.
ImzweitenTeilderArbeitwerdenhomoklineBifurkationsph¨anomeneuntersucht,dievon
einer Typver¨anderung der Gleichgewichtslage von rellem Sattel zu komplexem Sattel-
Fokus (mit komplexen fuhrenden¨ Eigenwerten) herruhren.¨ Dabei wird die Existenz von
zwei Ausgangshomoklinen in sogenannter Blasebalg-Konfiguration (homoclinic bellows
configuration) vorausgesetzt. Unter Verwendung einer auf Lin zuruc¨ kgehenden analyti-
schen Methode werden Bifurkationsresultate fur¨ verzweigende N-Homoklinen erzielt.
Die allgemeinen Bifurkationsresultate werden auf physikalische Probleme der nichtline-
aren Optik und Wasserwellentheorie, sowie auf zwei mathematischen Modellgleichungen
angewendet und in numerischen Untersuchungen best¨atigt.Abstract
The thesis investigates bifurcations from homoclinic solutions of ordinary differential
equations. Homoclinic solutions are characterised by approaching an equilibrium, i.e.
a constant solution of a differential equation, in both positive and negative time. The
thesis is devoted to the analysis of homoclinic bifurcations that originate from a change
in the type of the associated equilibrium. Several scenarios are considered in the class
of reversible ordinary differential equations.
Themainpartofthethesisdealswithsolutionshomoclinictoequilibriathatthemselves
undergo a local bifurcation. In this process the type of the equilibrium changes from a
real saddle (with real leading eigenvalues) to a saddle-centre (with a pair of imaginary
eigenvalues). The interplay of local and global bifurcation effects requires a new analyt-
ical approach. By a combination of analytical and geometric techniques a description of
bifurcating homoclinic solutions is derived. Thereby both purely reversible systems and
systems with additional symmetry or Hamiltonian structure are considered.
The second part of the thesis discusses a homoclinic bifurcation in which the associated
equilibrium undergoes a transition from real saddle to complex saddle-focus (with com-
plex leading eigenvalues). The existence of two primary homoclinic solutions forming
a so-called bellows structure is assumed. Using an analytical technique known as Lin’s
method results about the bifurcation of N-homoclinic orbits are derived.
The theory is applied to physical problems from nonlinear optics and water wave theory
as well as to two mathematical model systems. Numerical investigations confirm the
general bifurcation results.Contents
1. Introduction 1
1.1. Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Two model systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Homoclinic orbits to degenerate equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. A broom bifurcation of homoclinic bellows . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. The reversible homoclinic pitchfork bifurcation 21
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Basic assumptions and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. One-homoclinic orbits to the centre manifolds . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. The bifurcation scenario for one-homoclinic orbits . . . . . . . . . . . . . 40
2.5. Existence of two-homoclinic solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. Homoclinic orbits to degenerate equilibria - other cases 55
3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. The setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. Bifurcation of one-homoclinic orbits in the general case . . . . . . . . . . 57
3.4. Cases withZ -symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
3.5. Reversible Hamiltonian systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6. Three numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4. Broom bifurcation of a bellows configuration 79
4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2. Basic assumptions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3. Deriving bifurcation equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4. Existence of N-homoclinic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5. Application to the umbilic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5. Discussion 91
iContents
A. The umbilic systems 95
A.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.2. Summary of analytical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A.3. Continuation of a heteroclinic cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Bibliography 117
Zusammenfassung 123
Danksagung (Acknowledgements) 127
ii