Improved interpolating fields in the Schrödinger functional [Elektronische Ressource] / von Heiko Molke

Heiko Molke

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• Physik

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2004
• Nombre de lectures: 25
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Improved interpolating fields in the
Schrodinger Functional¨
D I S S E R T A T I O N
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Physik
eingereicht an der
Mathematisch–Naturwissenschaftlichen Fakultat I¨
Humboldt–Universitat zu Berlin¨
von
Herrn Dipl.–Phys. Heiko Molke
geboren am 01.02.1976 in Frankfurt/Oder
Prasident der Humboldt-Universitat zu Berlin:¨ ¨
Prof. Dr. Jurgen Mlynek¨
Dekan der Mathematisch–Naturwissenschaftlichen Fakultat I:¨
Prof. Dr. Michael Linscheid
Gutachter:
1. Prof. Dr. U. Wolff
2. Dr. R. Sommer
3. Dr. H. Wittig
eingereicht am: 16.01.2004
Tag der mundlic¨ hen Prufung:¨ 26.04.2004Abstract
The general aim of this thesis is to probe several methods to extract low-
energy quantities (masses, decay constants, ...) more reliably in lattice gau-
ge theory. We will investigate how to suppress contributions to correlation
functions from the first excited meson state. We will show how to construct
so-called improved meson interpolating fields, as they have only small con-
tributions from the first excited meson state, from a basis of interpolating
fields at the Schrodinger functional boundaries.¨
The variational principle is applied to correlation matrices that are built
up from boundary-to-boundary correlation functions. It will deliver informa-
tion about the lowest-lying meson states in the considered channel.
We also investigate the possibility to cancel the first excited state contri-
bution by means of an alternative method. Moreover, an alternative way to
extract the mass gap between the ground and the first excited state will be
presented.
Monte-Carlo simulations at several lattice spacings are performed in the
’quenched approximation’. Spectral properties of light-light and static-light
pseudoscalar mesons are investigated.
Thefirsttypeisrealisedbytwomass-degeneratequarksataboutthestrange
quark mass, the second type by a light quark with the mass of the strange
quark and an infinitely heavyb−quark. The light-light channel describes un-
physically heavy pions and the static-light one is an approximation for the
B−meson.s
The investigation of the latter case is particularly interesting since so-called
B–factories, such as BaBar and Belle, are gathering physical information
aboutmasses,decaymodesandCP–violatingeffectsintheB–mesonsystem.
Keywords:
Latticegaugetheory,LatticeQCD,weakmatrixelements,B-physics,HQET,
variational principle, Schr¨odinger FunctionalZusammenfassung
Diese Arbeit befasst sich mit der Konstruktion verbesserter interpolierender
Mesonenfelder in der Gitter-QCD. Sie hat das primar¨ e Ziel, Korrelations-
funktionen mit einem deutlich reduzierten Beitrag des ersten angeregten
Mesonenzustandes zu erhalten, um eine sicherere Bestimmung von Massen
und Zerfallskonstanten der Mesonen zu ermoglichen. Eine Basis solcher in-¨
terpolierender Mesonen-Randfelder wird im Schr¨odinger Funktional in der
gequenchten Approximation benutzt.
Verbesserte interpolierende Felder zur Bestimmung spektraler Eigenschaften
leichterpseudoskalarerMesonensowiedesB–Mesonensystems(letztereswird
infuhrender¨ OrdnungderHQETbehandelt)werdenaufmehrerenWegenge-
wonnen.
Ein Hilfsmittel, verbesserte Felder zu konstruieren, ist das Variationsprinzip.
Es wird auf Matrizen von Rand-Rand-Korrelationsfunktionen angewandt.
Darub¨ erhinauswerdenalternativeAnalysemethodenvorgestellt.Sieerlauben
sowohl die Abschatzungder Grundzustandsenergie als auch der Energielucke¨ ¨
zum ersten radial angeregten Zustand.
Die Untersuchung des B-Mesonensystems ist in vielfacher Hinsicht interes-
sant. Zum einen werden sie in sogenannten B-Fabriken, wie z. B. im BaBar-
und Belle-Experiment, in grosser Zahl erzeugt, um ihre charakteristischen
Eigenschaften (Masse, Zerfallsbreiten, CP-Symmetrie verletzende Zerfalle¨
usw.) genau zu messen. Zum anderen mussen die von der Theorie vorher-¨
gesagten auftretenden Ph¨anomene, wie z. B. die CP-Verletzung, auch ver-
standen werden. Die Methoden der Gittereichtheorie konnen unter ande-¨
remdabeihelfen,bestehendeUnsicherheiteninCKM-Matrixelementendurch
nicht-perturbative Bestimmungen hadronischer Massen, Zerfallskonstanten
usw. zu reduzieren.
Schlagwo¨rter:
Gitter-Eichtheorie, Gitter-QCD, Matrixelemente, B-Physik, HQET,
Variationsprinzip, Schr¨odinger-FunktionalContents
1 Basics of Lattice Gauge Theory 3
1.1 Discretisation of the continuum
SU(N) Yang–Mills Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 The Wilson-Dirac Fermion Action . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 The Symanzik Improvement Programme . . . . . . . . . . . . 7
2 The Schro¨dinger Functional 9
2.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Formal Definition – Pure Gauge Theory . . . . . . . . 10
2.1.3 Formulation with Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4 Lattice Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.5 The Renormalised Coupling g¯(L) . . . . . . . . . . . . 17
2.2 O(a) Improvement Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Gauge Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Fermion Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 The Correlation Functions f ,f and f . . . . . . . . . . . . 20A P 1
2.4 Spectral Representations of Correlation Functions . . . . . . . 23
2.4.1 The QCD Transfer Matrix Formalism in the
Schr¨odinger Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2 Spectral Decomposition of Correlators . . . . . . . . . 25
2.5 Pseudoscalar Masses and Decay Constants . . . . . . . . . . . 28
2.5.1 The Pseudoscalar Mass m of the Ground State . . . 28PS
2.5.2 The Pseudoscalar Decay Constant F of thePS
Ground State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 The PCAC Relation on the Lattice . . . . . . . . . . . . . . . 31
i3 The b−quark on the Lattice 35
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 The Static Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 The Static b−quark in the Schr¨odinger Functional . . . . . . . 38
3.3.1 The Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3 The Static Decay Constant. . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Wave Functions 43
4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 The Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 The Variational in Practice . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 The Program Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.1 General Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.2 Propagators and Correlation Functions . . . . . . . . . 49
4.4.3 Details of used Wave Functions . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.4 Program Tests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.5 Performance and Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.6 A brief Remark on the Static Approximation . . . . . . 58
5 Alternative Extraction Techniques 61
5.1 Ground State Masses and Decay
Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 The First Excited State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
++5.3 The Mass of the 0 −Glueball . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Numerical Results 67
6.1 The Choice of the light Quark Mass . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 The Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2.1 The Relativistic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2.2 The Static Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3 Extraction of Masses with optimal Wave Functions . . . . . . 78
6.3.1 The Relativistic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3.2 The Static Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.3 An Alternative Way without applying the
Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4 Alternative Extraction of the Pseudoscalar Mass Gap . . . . . 88
6.4.1 The Relativistic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4.2 The Static Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.5 Decay Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.1 The Relativistic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.2 The Static Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
++6.6 The Mass of the 0 −Glueball . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.7 Summary and Discussion of the Results . . . . . . . . . . . . . 98
6.7.1 The Relativistic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.7.2 The Static Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Conclusions and Outlook 101
Appendix 103
A Notation 103
B Program Implementation and related Issues 105
B.1 The Quark Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B.2 The Fermionic Generating Functional . . . . . . . . . . . . . . 106
B.3 Quark Two-Point Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
B.4 Correlation Functions in terms of Two-point Functions . . . . 108
B.4.1 The Correlator f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A
B.4.2 The Correlator