Involutions of Kac-Moody groups [Elektronische Ressource] / von Max Horn

Max Horn

Description

Involutions of Kac-Moody GroupsVom Fachbereich Mathematikder Technischen Universität Darmstadtzur Erlangung des Grades einesDoktors der Naturwissenschaften(Dr.rer.nat.) genehmigteDissertationvonDipl.-Math. Max Hornaus Darmstadt1. Referent: PD dr. Ralf Gramlich2.t: Prof. Dr. Bernhard Mühlherr3. Referent: Prof. Dr. Karl-Hermann NeebTag der Einreichung: 18. Dezember 2008Tag der mündlichen Prüfung: 17. April 2009Darmstadt 2009D 17iiCONTENTSIntroduction vii1. Preliminaries 11.1. Coxeter systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Roots and root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Involutions and twisted involutions of Coxeter groups . . . . . . . . . 31.4. Chamber systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Buildings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6. Twin Buildings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7. BN-pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8. Twin BN-pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.9. Root group systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10.Moufang sets and pointed Moufang sets . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. Flips 172.1. Building flips and BN-flips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Correspondence between building and BN-flips . . . . . . . . . . . . 262.3.

Sujets

• Mathematics

Informations

• Publié par: technischen_universitat_darmstadt
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

InvolutionsofKac-MoodyGroups

VomFachbereichMathematik
derTechnischenUniversitätDarmstadt
einesGradesdesErlangungzurhaftenNaturwissenscderDoktorsgenehmigtenat.)rer.(Dr.

Dissertation

onvDipl.-Math.HornMaxDarmstadtaus

t:Referen1.t:Referen2.t:Referen3.TagderEinreichung:
TagdermündlichenPrüfung:

PDdr.RalfGramlich
Prof.Dr.BernhardMühlherr
Prof.Dr.Karl-HermannNeeb
18.Dezember2008
2009April17.

Darmstadt200917D

ii

CONTENTS

ductionIntroriesPrelimina1.1.1.Coxetersystems..............................
1.2.Rootsandrootsystems..........................
1.3.InvolutionsandtwistedinvolutionsofCoxetergroups.........
1.4.Chambersystems.............................
1.5.Buildings.................................
1.6.TwinBuildings..............................
1.7.BN-pairs.................................
1.8.TwinBN-pairs..............................
1.9.Rootgroupsystems............................
1.10.MoufangsetsandpointedMoufangsets.................
Flips2.2.1.BuildingflipsandBN-flips........................
2.2.CorrespondencebetweenbuildingandBN-flips............
2.3.Steepdescent...............................
2.4.Strongflips................................
2.5.Stabletwinapartments..........................
2.6.2-divisiblerootgroups..........................
2.7.Doublecosetdecomposition.......................
3.Flipsinrank1and2
3.1.FlipsofSL(F)andPSL(F).......................
223.1.1.ClassifyingflipsofSL(F)....................
23.1.2.Centralizersofflips........................
3.2.FlipsofMoufangsets...........................
3.3.Classicalquadrangles...........................
3.3.1.SomeauxiliaryresultsonMoufangsets.............
3.3.2.Commonsetting.........................
3.3.3.Directdescent...........................
θ3.3.4.Risalmostalwaysconnected..................

vii11234679101131171826280331353841414244454747505255

iii

tstenCon

4.Structureofflip-flopsystems61
4.1.Flip-flopsystems.............................61
4.2.Outlineoftheproof............................64
4.3.MinimalPhanresidues..........................65
4.4.Homogeneityandinheritedconnectedness...............67
4.5.Residualconnectedness..........................69
4.6.Rank2residues..............................71
4.6.1.Risaθ-orthogonalrank2residue................73
4.6.2.Risaθ-acuterank2residue...................73
4.6.3.Risaθ-parallelrank2residue.................76
4.7.Statementofthemaintheorems.....................82
5.Transitiveactionsonflip-flopsystems85
5.1.Transitivity................................85
5.2.Alocalcriterionfortransitivity.....................90
5.3.Transitivityinrank1...........................91
5.3.1.Transitivityinrank1:SLandPSL..............92
225.3.2.Transitivityinrank1:Moufangflips..............95
5.4.Iwasawadecompositions.........................97
5.4.1.FieldsadmittingIwasawadecompositions............101
5.5.Moreonflipsoflocallysplitgroups...................102
6.ApplicationstoalgebraicandKac-Moodygroups105
6.1.Algebraicgroups.............................105
6.1.1.Quasi-flipsofalgebraicgroups..................106
6.1.2.Applicationstoalgebraicgroups.................107
6.1.3.Linearflips............................108
6.1.4.Semi-linearflips..........................108
6.2.GroupsofKac-Moodytype.......................109
6.2.1.LocallyfiniteKac-Moodygroups................111
115resultsComputerA.θA.1.ConnectednessofR:θ-acutequadrangles...............115
θA.2.ConnectednessofR:θ-parallelprojectiveplanes...........115
θA.3.ConnectednessofR:θ-parallelquadrangles..............116
A.4.GAPcode.................................118
B.Openproblems125
C.PhantheoryusingMoufangsets129
133Bibliography143Index

iv

ZusammenfassungheDeutscHistorischsindInvolutionenzweifellosvongroßemInteresse,beispielsweiseimRah-
menderKlassifikationderendlicheneinfachenGruppen(inwelcherZentralisatoren
vonInvolutioneneinegroßeRollespielen)oderzurDefinitionvonsymmetrischen
RiemannschenRäumenbzw.vonsymmetrischenk-Varietäten.Zieldervorliegen-
denArbeitistdasStudiuminvolutorischerAutomorphismenreduktiveralgebraischer
GruppenundzerfallenderKac-Moody-Gruppen(indiesemFallsolldieInvolution
diebeidenKonjugiertenklassenvonBoreluntergruppenvertauschen)inCharakteris-
tikungleich2,sowiederenZentralisatoren.
DiegenanntenGruppenhabengemein,dasssiezueinemZwillingsgebäudeassozi-
iertsind.SeiGnuneinesolcheGruppe.EininvolutorischerAutomorphismusθvon
Ginduzierteinenfast-isometrischenAutomorphismusdesassoziiertenGebäudesC.
Diesermöglichtes,diereichhaltigeStrukturtheorievonGebäudenanzuwenden.
EinwichtigesHilfsmittelhierbeiistdassogenannteFlipflop-SystemCθ,bestehend
ausallenKammernderpositivenHälftedesGebäudes,welchedurchdieinduzier-
teAbbildungθmaximalweitabgebildetwerden(imSinnederKodistanzaufθdem
ZwillingsgebäudeC).AlsTeilkammernsystemdesGebäudesC+kannmanCauch
alssimplizialenKomplexauffassen.DerZentralisatorGθvonθinGwirktaufdiesem
omplex.KSeiGeineGruppemitZwillings-BN-Paar(B+,B−,N)undZwillingsgebäude
C=(C+,C−,δ∗)undθeine(fast-)isometrischeInvolutionvonC.Dieursprüngli-
cheMotivationfürdievorliegendeArbeitbeinhaltetdieBeantwortungderfolgenden
Fragen,welchesunsimWesentlichengelungenist:
•WannkannmanθzueinerInvolution(oderwenigstenseinembeliebigenAu-
tomorphismus)derGruppeliften?
•WannistCθalsKammernsystemzusammenhängend?
•WannistCθeinreinerSimplizialkomplex?Äquivalent,wannistCθKammern-
metrie?Inzidenzgeoeinersystem•Wennθ∈Aut(G)ist:WannwirktderZentralisatorGθtransitivaufCθ?All-
gemeiner,waskönnenwirüberdieBahnstrukturaussagen?
•WannistGθendlicherzeugt?
•WennCθundC+übereinstimmenundGθtransitivwirkt,erhaltenwireine
verallgemeinerteIwasawa-ZerlegungG=GθB+.Wannistdiesmöglich?
Abschließendseierwähnt,dasssichunsereResultateaufweitereGruppenmitei-
nemWurzelgruppendatumimSinnevon[Tit92](wiez.B.endlicheGruppenvom
Lie-Typ)erweiternlassen.IndiesemFallmussdieKlassederbetrachteteninvolut-
orischenAutomorphismenleichteingeschränktwerdenmitderForderung,dasseine
einzelnegewählteBoreluntergruppeBwiederaufeineBoreluntergruppeabgebildet
wird(imFallevonKac-Moody-GruppenaufeinemitentgegengesetztemVorzeichen).
WirsprechendannvoneinemQuasiflipundbezeichnendamitsowohldieAbbildung
aufderGruppewieauchdieaufdemGebäude.

tstenCon

vi

ODUCTIONINTR

Inthisthesiswestudyinvolutoryautomorphismsofreductivealgebraicandsplit
Kac-Moodygroupsoverarbitraryfields,ormoregenerally,ofgroupswitharoot
groupsystem,asdefinedbyTits[Tit92](thisincludesalsofinitegroupsofLietype,
example).forTheunifyingaspectofallthesegroupsisthattoeachofthematwinbuildingis
associated.ItturnsoutthatanyinvolutoryautomorphismθofagroupGaslisted
abouniquevewainducesy.Wanecallalmosttheseinisometricvolutoryautomorphismautomorphismsofthe(botassohofciatedthegroupbuildingandCinthea
.flipsquasibuilding)Thiscorrespondenceisthekeyinsightdrivingthepresentwork.Wecannowex-
ploitderivetheproprichertiestheoryoftheofbuildingbuildingsinautomorphismgeneraland–andoftwinaccordinglybuildings,viaintheparticularcorrespon-to
dencewehintedatabove,alsooftheoriginalinvolutoryautomorphismθ.Wewill
sketchsomeoftheresultsinwhatfollows.

historySomeButfirst,some“historical”background:Inhindsight,thestudyofflips(aspecial
caseofourflips,wherethebuildingmorphismistypepreserving)wasinitiatedinthe
revisionofthePhantheoremsduetoKok-WeePhan(see[Pha77a]and[Pha77b]).
Theseplayacentralroleintheclassificationoffinitesimplegroups.1Duringthis
effortofreprovingandextendingPhan’stheorems,dubbedalso“Phanprogram”,a
seriesofpublicationswasstartedtoreproveandextendtheclassificationtheorems
byPhan.Theoriginalproofswererathernon-conceptualandinvolvedheavycalcu-
lationsinunitarygroupsandwithgeneratorsandrelations,whichoftenwereeven
onlyalludedtobeomitted.Intherevisedprogram,ageometricapproachwasused
instead,wherethegroupsinquestionweredescribedascentralizersofinvolutions–
involutionswhichwetodaywouldcallflips.
ForanoverviewofthegeneralPhanprogram,wereferto[BGHS03]andalsomore
recently[Gra].ThecaseAnwasdealtwithin[BS04],thecaseBnin[BGHS07]and
[GHN07],2thecaseCnin[GHS03],[Gra04],[GHN06]and[Hor05],thecaseDnin
[GHNS05].1Phan’sresultsenteredtheclassificationviaAschbacher’spaper[Asc77].
2TheA3=D3casealsoleadto[Hor08],whereaspecificexceptiontothePhantheoremsisstudied

vii

ductiontroIn

Initially,duringtheabove-mentionedprogram,somewhat“ad-hoc”choicesofsuit-
ableinvolutoryautomorphismsweremade.Butitsoonbecameapparentthata
deepersystematicreasonwashiddenbelowthesurface.Thisconnectionturnedout
tobebuildingtheory.Allinvolutionsthathadbeenusedcouldbeunderstoodin
termsofthebuildingsoftheinvolvedgroups.Withthisinsight,thegrouprecog-
nitionandpresentationresultsdescribedaboveallfollowveryroughlyanargument
alongthefollowinglines:Givena“targetgroup”G(forwhichwewanttoprovea
recognition/presentationresult),findagroupHendowedwithasphericalBN-pair
andaninvolutoryautomorphismθofHsuchthatGisisomorphictothecentralizer
ofθinH,andsuchthatθalsoinducθesaninvolutoryautomorphismonthe(spherical)
buildingofH.DefineasubsetCofthebuilding(theflip-flopsystem)consistingof
allchambersmappedmaximallyfarawaybyθ.IfonecanshowthatCθisconnected
andsimplyconnected(abuildingisasimplicialcomplexandCθcanbeinterpreted
asasubcomplex),andi