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« L'introduction à la géométrie » de Pascal - article ; n°3 ; vol.15, pg 269-286

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Revue d'histoire des sciences et de leurs applications - Année 1962 - Volume 15 - Numéro 3 - Pages 269-286
18 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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Publié le 01 janvier 1962
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Langue Français
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M Jean Itard
« L'introduction à la géométrie » de Pascal
In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1962, Tome 15 n°3-4. pp. 269-286.
Citer ce document / Cite this document :
Itard Jean. « L'introduction à la géométrie » de Pascal. In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1962, Tome
15 n°3-4. pp. 269-286.
doi : 10.3406/rhs.1962.4428
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1962_num_15_3_4428Introduction à la Géométrie
de Pascal
(1™ On éd., lit 1667; dans 2e la éd., préface 1683) : aux Nouveaux Elemens de Géométrie
... Un des plus grands esprits de ce siècle, et des plus célèbres par l'ouverture
admirable qu'il avoit pour les Mathématiques, avoit fait en quelques jours un
essay d'Elemens de Géométrie ; et comme il n'avoit pas cette veuë de l'ordre
[vue qu'avaient Nicole et Arnauld], il s'estoit contenté de changer plusieurs des
démonstrations d'Euclide pour en substituer d'autres plus nettes et plus naturelles.
Ce petit ouvrage étant tombé entre les mains de celuy qui a depuis composé ces
Elemens, il s'étonna qu'un si grand esprit n'eust pas esté frappé de la confusion
qu'il avoit laissée pour ce qui est de la méthode, et cette pensée luy ouvrit en même
temps une manière naturelle de disposer toute la Géométrie, les demonstrations
s'arrangèrent d'elles mêmes dans son esprit, et tout le corps de l'ouvrage que
nous donnons maintenant au public se forma dans son idée.
Pascal, car il s'agit bien de lui, avait ainsi composé « un petit
ouvrage » de Géométrie élémentaire et G. Filleau des Billettes
(1634-1720), familier du duc de Roannès, en communiqua au moins
un passage à Leibniz, probablement lors du séjour de ce dernier à
Paris, entre 1672 et 1676. Le manuscrit de Pascal semble avoir
complètement disparu. Nous ne possédons actuellement que la
copie par Leibniz d'extraits du fragment que lui prêta des Billettes.
Nous donnons pp. 276-7, la photocopie du manuscrit de Leibniz
déposé à la bibliothèque de Hanovre (1). Le contenu en a déjà été
publié par Gehrardt, puis par P. Boutroux (t. IX de la Grande Édi
tion des Œuvres de Pascal, p. 291 ). On peut le trouver aussi dans l'Édi
tion de la Pléiade (p. 575, et pour les additions de Leibniz, p. 1456).
En plus de la photocopie, et afin d'une part d'en faciliter la
lecture, d'autre part de permettre les renvois du commentaire qui
va suivre, nous reproduisons le texte aussi fidèlement qu'il nous a
été possible, ligne à ligne, chaque ligne étant numérotée (2).
Il y a, dans le manuscrit, de nombreuses ratures et surcharges.
Nous donnons les mots raturés ou surchargés, lorsque nous avons
(1) Leibniz Handschriften, Abt. 35 : Mathematica, v. 15, 1, f° 13 ; A. Rivaud, Catal
ogue..., n° 1581.
(2) Nous avons toutefois rétabli l'orthographe actuelle.
T. XV. — 1962 18 270 revue d'histoire des sciences
pu les lire, entre deux accolades : { }. Lorsque la lecture nous a
été impossible, nous avons noté : { — }. Deux grands passages, l'un
de la ligne 8 à la ligne 10, l'autre de la ligne 30 à la ligne 33, sont
biffés en croix sur le manuscrit, bien que déjà surchargés de correc
tions. Nous les avons placés entre des accolades doubles.
1. Extrait d'un Alia Pascalii vide in Conicis.
2. Fragment de l'Introduction a la Géométrie de
Mons. Pascal, que Mons. des Billettes m'a
3. communiqué. { prim } premiers principes et définitions.
4. principe 1. l'objet de la pure Géométrie est V 'espace, dont elle
considère la triple étendue
5. en trois sens divers qu'on appelle dimensions, lesquelles on
distingue par les noms de longueur
6. largeur et profondeur en donnant indifféremment chacun de
{ — } ces noms à chacune de ces
7. dimensions, pourvu qu'on ne donne pas le même à deux
ensemble. Elle suppose que tous ces
8. termes-là sont connus d'eux-mêmes. [+{{ l'espace est une
{ chose } lieu étendu { e } d'une { — } partie
9. { — } en tous sens : ou c'est un lieu { dans lequel un point peut
être pris et } qui a des
10. parties { de tous } en tous sens, d'un point qui y peut être
pris. }} Etendu est
11. ce qui a des parties sensibles tout à la fois. Partie est une chose
laquelle avec une
12. autre chose, est { — } le même qu'une troisième que nous
appelions Tout.
13. Successif est { — } ce qui a { des parties sensibles } toutes ses
parties sensibles, en
14. autant de temps différents. { Le lieu } L'espace est { — } une
chose { — } étendue
15. et rien d'avantage. Un corps est une chose étendue { sensible }
capable d'agir.
16. Agir est { causer } être cause d'un changement. Cause est une
chose { douée d'une certaine qualité }
17. { — } {laquelle} prise { — } dans un certain état dans lequel
elle ne peut être { que — } sans qu'une
18. autre { soit aussi — temps } arrive, et peut être entendue
{ — } parfaitement avant « l'introduction a la géométrie » de pascal 271
19. l'autre. L'autre s'appelle Y effet. { — } Ou : effectus est quicquid
sequitur
20. alio posito, et est natura posterii ipso. Natura prius, { poste-
riusque } est quod ante alterum
21. perfecte intelligi potest { aut non potest } Deux choses sont
continues quand elles ont
22. { des part } une partie commune. { Et elle — } Le { lieu — d'un
corps } et. { Le lieu }
23. est { la partie d'un espace qui sert à trouver une chose dont
l'espace comprend }
24. { contient l'espace d'une autre chose. Comprendre c'est être le
même en tout ou en partie }
25. { — deux ainsi plutôt }. Le Lieu est une chose { laquelle }
dont l'espace { est }
26. a une partie qui est la même avec { une partie } l'espace d'une
autre chose. L'espace
27. d'une { — } chose est dont l'étendue est { — } égale et semblable
28. à celle de la ; et chaque partie de l'une de ces étendues est
aperçue avec chaque partie
29. de l'autre { — l'on peut dire que le corps est dans V espace }
30. {{ Une chose est Dans une autre quand toutes les parties de la
première ne { — }
31. peuvent être aperçues qu'avec autant de parties de l'autre.
Ainsi une { — }
32. partie est dans son tout : { le corps dans un vase creux } on ne
dit pas que l'espace est dans le sujet qui le remplit.
33. Être dans une chose, est être placé en sorte que pour { — } a
{ — } l'un il faut { — } auparavant avec l'autre }}]
34. principe 2. l'espace est infini selon toutes ses dimensions.
princip. 3 et immobile en tout et en chacune
35. de ses parties. Définition du corps géométrique, de la surface
de la ligne du point princip. 4, 5, 6 | Princ. 7 les points
36. { point } ne diffèrent que de situation. 8 les lignes { lign } de
situation, de grandeur de { forme } direction, les droites par le
plus court chemin.
37. Princip. 9, la distance de deux points est la ligne droite. 10 les surfaces peuvent différer de situation de lon-
• gueur de largeur
38. { de forme } de contenu, de direction. Les surfaces planes sont
bornées de toute part par des lignes droites et qui s'étendent 272 revue d'histoire des sciences
39. directement de l'une à l'autre (: { — } minimae superficierum
inter datas lineas — { — } cujus partes quibuslibet { — }
possunt { — } recta)
40. Avertissement, nous ne considérons ici que les plans. Une
ligne est égale à une autre quand l'étendue de l'une
41. est égale à celle de l'autre. Théorèmes connus naturellement I les
lignes droites égales entre elles ne
42. diffèrent que de situation, l'une étant quant au reste toute
semblable à l'autre. 2 les cercles { — } semi-diamètres { — }
égaux
43. sont égaux. Et les cercles égaux ne diffèrent que de situation.
3 Les arcs égaux de mêmes cercles ne que de
4. les
44. Cordes des arcs égaux de deux cercles égaux ou d'un même
cercle ne (diffèrent que de situation) ou sont égales entre elles.
45. 5 tout diamètre divise la circonférence en deux portions
égales dont chacune est appelée demi-cercle. 6 l'intersection de
46. deux lignes est un point. 7 si par un point pris au-dedans d'un
espace borné de toutes parts par une ou par plusieurs
47. lignes passe une ligne droite infinie, elle coupera les lignes qui
bornent cet espace en deux points pour le moins. 8 s'il y a
48. deux points l'un au-deçà l'autre au-delà d'une ligne droite ;
alors une ligne droite qui tend d'un point à l'autre
49. coupe la qui est entre deux, en un point et en un
seul. 9 la ligne droite infinie qui passe par
50. un point qui soit au-dedans d'un cercle coupe la circonférence
en deux points et en deux seulement. 10 la
51. qui passe par deux points l'un au-dedans d'un autre cercle,
et l'autre au-dehors le coupe en deux points, et en
52. deux seulement. 1 1 Si deux circonférences ont réciproquement
des points l'un au-dedans de l'autre elles s'entrecou
53. peront en deux points et en deux seulement. 12 Si une ci
rconférence a un de ses points au-delà d'une ligne droite
54. infinie, et son centre au-delà ou dans la même ligne droite, elle
coupera la même ligne droite en deux
55. points.
L'apport personnel de Leibniz est très révélateur de son carac
tère et de ses méthodes de travail. Comme sa pensée n'y est pas
encore bien systématisée, et apparaît mal dégagée des souvenirs « l'introduction a la géométrie » de pascal 273
de l'École, il y a bien lieu de dater ces extraits de son séjour à Paris.
La partie la plus intéressante débute à la ligne 8 où, dès que Pascal
déclare « la géométrie suppose tous ces termes-là connus d'eux-
mêmes », Leibniz se lance dans une cascade échevelée de tentatives
de définitions jusqu'au moment où, fatigué ou découragé, il s'arrête
ligne 33, pour se remettre d'une main plus calme à la copie du texte
de Pascal. Il n'intervient guère à nouveau qu'à la ligne 39, où le
bref passage latin n'est qu'un souvenir d'école (1). .
Le vocabulaire de Pascal dans ce trop court extrait appelle déjà
quelques remarques. On trouve ici les expressions « premiers prin
cipes », « définitions », « théorèmes connus naturellement ». On peut
constater à ce sujet combien la terminologie de Pascal varie en la
matière au cours de ses divers écrits, où l'on trouve, en français et en.
latin, définition, lemme (plus fréquemment que théorème), scholie,.
postulat, corollaire, canon, avertissement (très fréquent), théorème,,
proposition, axiome.
Cette dernière expression apparaît dans la pièce De l'esprit
géométrique : « Ne demander en axiomes que des choses parfaitement
évidentes d'elles-mêmes. » Faut-il saisir une nuance entre ces
axiomes « parfaitement évidents » et les « théorèmes connus natu
rellement » qui n'apparaissent chez Pascal que dans l'extrait que
nous étudions ?
L'emploi du mot « espace » [ligne 4] paraîtra certainement
banal au lecteur moderne. En fait, et dans le sens précis où Pascal
l'utilise ici, il fait presque scandale au milieu du xvne siècle, dans
une introduction à la géométrie qui se veut élémentaire. Si le mot
est fréquent alors tant en latin (spatium) qu'en français dans les
significations d'intervalle de temps, de distance, d'aire, et si déjà
chez Bradwardine il intervient en mécanique, il est fort rare en-
voire-' stéréométrie où l'on parlera plus volontiers du « solide »,
— — du corps. particulièrement chez les Cartésiens
Mais dans la signification que lui donne ici Pascal, il n'apparaît
jamais les traités de géométrie. La plupart du temps ces
ouvrages ne donnent en effet aucune définition de la science dont
(1) Cf. Clavius, Euclidis Elementorum libri XV (éd., 1603, t. I, pp. 37-38) : « Vel esse
minimam, sive brevissimam omnium, qua eadem habent extrema. Vel cujus omnibus
partibus recta linea accommodari potest, ut placet Heroni antiquo Geometrae. »
ou Campanus [Édition des Éléments, Bâle, 1553] : « Superficies plana, est ab una linea ad
aliam brevissima extensio, in extremitates suas earn recipiens. » Cette définition vient,
évidemment de la tradition archimédienne. revue d'histoire des sciences 274
ils traitent. Lorsque, rarement, ils en donnent une, ils considèrent,
avec Arnault et les Malebranchistes, la géométrie comme une partie
de la science « de la quantité ou grandeur en général, en tant que
ce mot comprend l'étendue, le nombre, le temps, les degrés de
vitesse, et généralement tout ce qui peut s'augmenter en ajoutant
ou multipliant, et diminuer en soustrayant ou divisant ». La géomét
rie est alors plus précisément « la science de l'étendue ». L'expression
« l'espace », au singulier, est, à l'époque, pour le mathématicien,
une sorte de « tabou ». Si, au xive siècle, Oresme a pu écrire :
Et doncques hors le ciel est un espace vuide, incorporate, d'autre manière que
n'est quelconque espace plaine et corporèle, tout aussi comme la duracion appelée
éternité est d'autre manière que n'est duracion temporèle, meisme qui seroit
perpétuéle...
on sent, rien qu'à cette citation, toutes les difficultés que ce mot
peut soulever à lui seul.
En tout cas on en discute fort au xvne siècle comme on peut le
voir, entre autres, dans la correspondance de Mersenne. Celui-ci
écrit par exemple le 28 avril 1638, à Descartes :
Supposé que Dieu n'eust rien créé [Roberval] prétend qu'il y auroit encore le
mesme espace solide réel, qui est maintenant, et fonde la vérité éternelle de la
Géométrie sur cet espace, tel que seroit l'espace où sont tous les corps enfermez
dans le Firmament, si Dieu anneantissoit tous ces corps. Et moy je dis qu'il n'y
auroit nul espace réel, autrement il y auroit quelque Estre réel qui ne dependroit
point de Dieu.
Contre la thèse gassendiste soutenue par Roberval, Descartes
(17-27 mai 1638) vient à la rescousse du P. Mersenne :
Pour la question, sçavoir s'il y auroit un espace réel, ainsi que maintenant,
en cas que Dieu n'eust rien créé, encore qu'elle semble surpasser les bornes de
l'esprit humain, et qu'il ne soit point raisonnable d'en disputer, non plus que de
l'infmy ; toutesfois je croy qu'elle ne surpasse les bornes que de nostre imagination,
ainsi que font les questions de l'existence de Dieu et de l'ame humaine, et que
nostre entendement en peut atteindre la vérité, laquelle est, au moins selon mon
opinion, que non seulement il n'y auroit point d'espace, mais mesme que ces veritez
qu'on nomme éternelles, comme que totum est majus sud parte, etc., ne seroient
point veritez, si Dieu ne l'avoit ainsi estably, ce que je croy vous avoir desja
autresfois écrit.
Lorsque Pascal déclare en toute quiétude [ligne 34 du texte] :
L'espace est infini selon toutes ses dimensions et immobile en tout et en
chacune de ses parties,
il résume en fait toute une longue expérience personnelle, non pas
tant de métaphysicien que de physicien. Si son père, au témoignage
de Pierre Petit, était depuis longtemps un partisan du vide ce n'est « l'introduction a la géométrie » de pascal 275
qu'avec précautions que pour sa part il semble être arrivé à l'ad
mettre. Mais une fois sa décision prise il la défend avec une netteté
qui peut de nos jours paraître banale après le long triomphe des
thèses newtoniennes sur l'espace absolu, mais qui, au milieu du
xviie siècle, dut avoir une résonance scandaleuse, tant aux oreilles
des Péripapéticiens qu'à celles des Cartésiens.
Il explicite ses idées dans sa lettre au P. Etienne Noël, du
29 octobre 1647, qu'il faudrait citer en entier, et il écrit en mai 1648,
à Le Pailleur :
« II faut remarquer que l'espace, en général, comprend tous les corps de la
nature, dont chacun en particulier en occupe une certaine partie ; mais qu'encore
qu'ils soient tous mobiles, l'espace qu'ils remplissent ne l'est pas ; car, quand un
corps est mû d'un lieu à l'autre, il ne fait que changer de place, sans porter avec
soi celle qu'il occupait au temps de son repos. En effet, que fait-il autre chose que
de quitter sa première place immobile, pour en prendre successivement d'autres
aussi immobiles ? Mais celle qu'il a laissée, demeure toujours ferme et inébranlable :
si bien qu'elle devient, ou pleine d'un autre corps si quelqu'un lui succède, ou vide
si pas un ne s'offre pour lui succéder ; mais soit ou vide ou plein, toujours dans un
même repos, ce vaste espace, dont l'amplitude embrasse tout, est aussi stable et
immobile en chacune de ses parties, comme il l'est en son total. »
La géométrie est donc la science de « ce vaste espace, dont l'amplitude embrasse
tout, stable et immobile en chacune de ses parties comme en son total » et qui, s'il
n'est « ni corps, ni esprit, est espace » [même lettre].
Il y a d'ailleurs [lettre au P. Etienne Noël] « autant de différence entre le
néant et l'espace vide, que de l'espace vide au corps matériel, et ainsi l'espace
vide tient le milieu entre la matière et le néant ».
Cette antinomie entre corps matériel et espace vide, si profon
dément étrangère à Descartes, pourrait paraître atténuée dans
l'Introduction où nous lisons [ligne 35] « définition du Corps géo
métrique ». Mais on pourra remarquer, si Leibniz a été un copiste
fidèle, qu'il s'agit, non du corps matériel, mais du « Corps géo
métrique » et que les définitions sont libres. Le libellé de la phrase
laisse d'ailleurs supposer que Leibniz n'a pas ici reproduit le texte
même de Pascal, mais s'est contenté de le résumer. Le mot « Corps
géométrique » pourrait dans ces conditions appartenir non à l'auteur
— on ne le retrouve pas, croyons-nous, dans ses œuvres ou, s'il y
figure, il y est très rare — mais au copiste.
La phrase suivante [lignes 35-36], « Principe 7, les points ne
diffèrent que de situation » est intéressante à plus d'un chef. D'abord
par l'apparition du mot « situation » dans une acception très
rare en géométrie, et que l'on retrouve ici deux autres fois
[lignes 36 et 37].
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Fig. 8. — Photocopie du manuscrit de Leibniz Introduction à la Géométrie de Mons. Pascal... :
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Fig. 8. — Photocopie du manuscrit de Leibniz Introduction à la Géométrie de Mons. Pascal...