Macroscopic diffusion models for precipitation in crystalline gallium arsenide [Elektronische Ressource] : modelling, analysis and simulation / von Sven-Joachim Wolfgang Kimmerle

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Macroscopic diffusion models for precipitation incrystalline gallium arsenide– Modelling, analysis and simulation –D I SS E R TAT I O Nzur Erlangung des akademischen Gradesdoctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)im Fach Mathematikeingereicht an derMathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät IIHumboldt-Universität zu BerlinvonDipl.-Math. Sven-Joachim Wolfgang Kimmerle28.10.1977 in FilderstadtPräsident der Humboldt-Universität zu Berlin:Prof. Dr. Dr. h.c. Christoph MarkschiesDekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:Prof. Dr. Peter FrenschGutachter:1. Prof. Dr. Barbara Niethammer2. Prof. Dr. Wolfgang Dreyer3. Prof. Dr. Jürgen Sprekelseingereicht am: 20. April 2009Tag der mündlichen Prüfung: 21. September 2009"Die Mathematiker sind eine Art Franzosen:redet man zu ihnen,so übersetzen sie es in ihre Sprache,und dann ist es alsobald ganz etwas anders."Johann Wolfgang von GoetheAbstractBased on a thermodynamically consistent model for precipitation in gallium arsenide crystalsincluding surface tension and bulk stresses by Dreyer and Duderstadt [DD08], we propose twodifferent mathematical models to describe the size evolution of liquid droplets in a crystallinesolid. The first model treats the diffusion-controlled regime of interface motion, while the secondmodel is concerned with the interface-controlled regime of in motion. Our models takecare of conservation of mass and substance.

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Publié le 01 janvier 2009
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Macroscopic diffusion models for precipitation in
crystalline gallium arsenide
– Modelling, analysis and simulation –
D I SS E R TAT I O N
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Dipl.-Math. Sven-Joachim Wolfgang Kimmerle
28.10.1977 in Filderstadt
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Dr. h.c. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr. Peter Frensch
Gutachter:
1. Prof. Dr. Barbara Niethammer
2. Prof. Dr. Wolfgang Dreyer
3. Prof. Dr. Jürgen Sprekels
eingereicht am: 20. April 2009
Tag der mündlichen Prüfung: 21. September 2009"Die Mathematiker sind eine Art Franzosen:
redet man zu ihnen,
so übersetzen sie es in ihre Sprache,
und dann ist es alsobald ganz etwas anders."
Johann Wolfgang von GoetheAbstract
Based on a thermodynamically consistent model for precipitation in gallium arsenide crystals
including surface tension and bulk stresses by Dreyer and Duderstadt [DD08], we propose two
different mathematical models to describe the size evolution of liquid droplets in a crystalline
solid. The first model treats the diffusion-controlled regime of interface motion, while the second
model is concerned with the interface-controlled regime of in motion. Our models take
care of conservation of mass and substance. These models generalise the well-known Mullins-
Sekerka model [MS63] for Ostwald ripening. We concentrate on arsenic-rich liquid spherical
droplets in a gallium arsenide crystal. Droplets can shrink or grow with time but the centres of remain fixed. The liquid is assumed to be homogeneous in space.
Due to different scales for typical distances between droplets and typical radii of liquid droplets
we can derive formally so-called mean field models. For a model in the diffusion-controlled
regime we prove this limit by homogenisation techniques under plausible assumptions. These
mean field models generalise the Lifshitz-Slyozov-Wagner model, see [LS61], [Wag61], which
can be derived from the Mullins-Sekerka model rigorously, see [Nie99], [NO01], and is well-
understood.
Mean field models capture the main properties of our system and are well adapted for numerics
and further analysis. We determine possible equilibria and discuss their stability. Numerical
evidence suggests in which case which one of the two regimes might be appropriate to the
experimental situation.
vZusammenfassung
AusgehendvoneinemthermodynamischkonsistentenModellvonDreyerundDuderstadt[DD08]
für Tropfenbildung in Galliumarsenid-Kristallen, das Oberflächenspannung und Spannungen
im Kristall berücksichtigt, stellen wir zwei mathematische Modelle zur Evolution der Größe
flüssiger Tropfen in Kristallen auf. Das erste Modell behandelt das Regime diffusionskontrol-
lierter Interface-Bewegung, während das zweite Modell das Regime Interface-kontrollierter Be-
wegung des Interface behandelt. Unsere Modellierung berücksichtigt die Erhaltung von Masse
und Substanz. Diese Modelle verallgemeinern das wohlbekannte Mullins-Sekerka-Modell [MS63]
für die Ostwald-Reifung. Wir konzentrieren uns auf arsenreiche kugelförmige Tropfen in einem
Galliumarsenid-Kristall. Tropfen können mit der Zeit schrumpfen bzw. wachsen, die Tropfen-
mittelpunkte sind jedoch fixiert. Die Flüssigkeit wird als homogen im Raum angenommen.
Aufgrund verschiedener Skalen für typische Distanzen zwischen Tropfen und typischen Radien
der flüssigen Tropfen können wir formal so genannte Mean-Field-Modelle herleiten. Für ein Mo-
dell im diffusionskontrollierten Regime beweisen wir den Grenzübergang mit Homogenisierungs-
techniken unter plausiblen Annahmen. Diese Mean-Field-Modelle verallgemeinern das Lifshitz-
Slyozov-Wagner-Modell, siehe [LS61], [Wag61], welches rigoros aus dem Mullins-Sekerka-Modell
hergeleitet werden kann, siehe [Nie99], [NO01], und gut verstanden ist.
Mean-Field-Modelle beschreiben die wichtigsten Eigenschaften unseres Systems und sind gut für
Numerik und für weitere Analysis geeignet. Wir bestimmen mögliche Gleichgewichte und dis-
kutieren deren Stabilität. Numerische Resultate legen nahe, wann welches der beiden Regimes
gut zur experimentellen Situation passen könnte.
viiContents
1. Introduction 1
1.1. A real world problem in the production of semi-insulators . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Classical models for phase transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1. Phase-field models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2. Sharp interface models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3. Models of Becker-Döring type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.4. Models of Lifshitz-Slyozov-Wagner type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Outline of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Thermodynamically consistent model for gallium arsenide 7
2.1. Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Some thermodynamics of mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1. Basic variables for the solid and liquid phases of GaAs . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2. Chemical constitution of GaAs in the solid and liquid phases . . . . . . . . . 10
2.2.3. Motion and strain in the solid and liquid phases . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Side conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1. Balance of particle numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2. Side conditions on the free boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3. Global conservation laws of mass and substance . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Available free energy of the system and approach of a thermodyn. system to equilib. 15
2.5. Constitutive model for GaAs and further assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.1. Reference system and reference configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.2. Constitutive laws for GaAs: Cauchy stress and pressure . . . . . . . . . . . . 21
2.5.3.e laws for Chemical potentials . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.4. Sphericity of the system and the droplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6. Exploitation of the availability inequality and the constitutive laws . . . . . . . . . . 24
2.6.1. Reduction of variables by chemical equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.2. Mechanical boundary value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.3. Boundary conditions on the interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.4. Diffusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.5. Stefan conditions and outer boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.6. Differences for the regime (IC) in Subsections 2.6.3 – 2.6.5 . . . . . . . . . . . 35
2.6.7. Dissolution of a droplet and the minimal radius . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7. Problem B and Problem BI – Many droplet problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8. Available free energy – A Lyapunov function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. Relevant scales and formal homogenisation 45
3.1. Dimensional analysis and scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1. Dedimensionalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ixContents
3.1.2. Problem C and Problem CI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3. Determination of the scaling exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. The Problems D, DI and DCR for the different scaling regimes . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1. Rescaled differential equations in the dilute regime (Problems D and DI) . . 51
3.2.2.tial in the critical regime (Problem DCR) . . . . . 52
3.3. Formal homogenisation for regime (DC) in the dilute scaling . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1. Monopole approximation of the mechanical BVP . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2.ole of the diffusion problem and Stefan condition . . . 56
3.3.3. Mean field formula and outer boundary radius . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.4. ODEs for mean field and for outer boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.5. Formally homogenised problem for (DC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4. Formal homogenisation for regime (IC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5. The relation of an experimental situation to the scaling . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4. Existence and uniqueness for a class of models 67
4.1. The abstract problem E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Transformation of the problem on a fixed domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3. Local existence and uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1. Mechanical boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.2. Diffusion problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.3. Radii evolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.4. The coupled problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4. Global existence and uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5. Rigorous Homogenisation 105
5.1. Droplet distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2. Uniform estimates for the displacement and the velocity . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3. Uniform for the radii distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4. Uniform estimates for the chemical potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5. Existence of the homogenisation limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.6. Homogenised problem with kinetic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.7. Analysis of the homogenised problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.8. Special initial data for the homogenised problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6. Analysis of mean field models 133
6.1. The mean field problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2. Available free energy for mean field models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.3. Stability and instability of a finite number of liquid droplets . . . . . . . . . . . . . . 137
6.4. Convergence to equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.5. Typical time-lags, within droplets vanish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.6. Numerical simulations of mean field models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7. Conclusion 153
7.1. Relation to classical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1.1. Comparison with classical sharp-interface models . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1.2. with Lifshitz-Slyozov-Wagner model . . . . . . . . . . . 154
7.2. Consequences for experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.2.1. Regime (DC) or regime (IC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.2.2. How to enforce droplets to disappear? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3. Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.3.1. Generalisation on precipitation in other crystalline solids . . . . . . . . . . . 156
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