Notions de base de statistique descriptive

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3EME PARTIE OUTILS D’AIDE A LA DECISION 1 CHAPITRE 2 : la statistique descriptive Créé par Hélène CHARRIER et Sarah De Gryse Page 1 sur 30 CHAPITRE 2 STATISTIQUE DESCRIPTIVE èreprogramme 1 année INTRODUCTION : GENERALITES Indice des prix à la consommation Besoin de En bref Pouvoir d'achat du franc statistiques ? quels Territoire Indice du coût de la construction sont les domaines Population Smic Travail - Emploi qui vous Indicateurs conjoncturels Revenus - Salaires Analyse conjoncturelle intéressent ? Conditions de vie - Comptes nationaux trimestriels l’économie ? les Société Comptes nationaux annuels Santé enquêtes, sondages Enseignement - d’opinion ? Education vous disposez de Economie Commerce extérieur tellement de sources Entreprises d’informations, qu’il Agriculture - Industrie est difficile de trier ! agro-alimentaire Industrie - un exemple vous est Construction fourni : Commerce le site internet Services « insee.fr ». Equipement et exploitation des salles de cinéma nombre et %% Centre Centre/France 1996 1997 1997Salles actives 152 147 3,2Fauteuils 33 093 31 789 3,34 180 Entrées 4 473 000 3,0000Source : Ministère de la culture et de la communication Les statistiques que l’on nous donne ou que l’on va recueillir concernent une multitude de domaines et il faut en convenir ne sont pas toujours intéressantes et ...

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3EME PARTIE OUTILS D’AIDE A LA DECISION 1
CHAPITRE 2 : la statistique descriptive
Créé par Hélène CHARRIER et Sarah De Gryse
Page 1 sur 30


CHAPITRE 2
STATISTIQUE DESCRIPTIVE
ère
programme 1 année

INTRODUCTION : GENERALITES


Indice des prix à la consommation Besoin de
En bref Pouvoir d'achat du franc statistiques ? quels
Territoire Indice du coût de la construction
sont les domaines Population Smic
Travail - Emploi qui vous Indicateurs conjoncturels
Revenus - Salaires Analyse conjoncturelle intéressent ?
Conditions de vie - Comptes nationaux trimestriels
l’économie ? les Société Comptes nationaux annuels
Santé enquêtes, sondages
Enseignement - d’opinion ?
Education
vous disposez de Economie
Commerce extérieur tellement de sources
Entreprises d’informations, qu’il
Agriculture - Industrie
est difficile de trier ! agro-alimentaire
Industrie - un exemple vous est
Construction fourni :
Commerce
le site internet Services
« insee.fr ».

Equipement et exploitation des salles de cinéma
nombre et %
%
Centre
Centre/France
1996 1997 1997
Salles actives 152 147 3,2
Fauteuils 33 093 31 789 3,3
4 180
Entrées 4 473 000 3,0
000
Source : Ministère de la culture et de la communication

Les statistiques que l’on nous donne ou que l’on va recueillir concernent une multitude de domaines et
il faut en convenir ne sont pas toujours intéressantes et se révèlent parfois fausses lorsqu’il s’agit de
statistiques prévisionnelles ( par exemple, en politique ou en sociologie)..
Mais, force est de constater qu’elles sont très souvent indispensables ou du moins, nécessaires pour
mesurer, connaître tel ou tel phénomène.
Alors lancez-vous car la statistique est incontournable en sciences de gestion !
De toutes façons, si on y réfléchis, mieux vaut trop de connaissances que trop de lacunes. A vous
ensuite en tant que bon gestionnaire et bon concepteur de système d’information de trier les seules
données pertinentes à votre prise de décision.

• Etudes de marché : quelles seront les ventes futures de l’entreprise ? quel est le prix
psychologique des consommateurs ciblés sur un produit ? …. ;
• Comparaison avec d’autres entreprises
• Utilisation des statistiques sur un pays pour s’y implanter : population, conjoncture, économie…
• Etc…






3EME PARTIE OUTILS D’AIDE A LA DECISION 2
CHAPITRE 2 : la statistique descriptive
Créé par Hélène CHARRIER et Sarah De Gryse
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La statistique a pour but d’étudier des événements, des faits ce qui aidera à la prise de décision.
C’est donc un système d’information primordial, une aide au pilotage de toute organisation

VOCABULAIRE

• Population : c’est l’ensemble de référence concerné par l’étude. Lorsque la
population n’est pas complète, on parle d’échantillon ou de sous-ensemble de la
population.
• Individus ou unités statistiques : la taille de la population ou de l’échantillon est le
nombre d’individus qui le composent
• Variable ou caractère qualitatif : il s’agit de caractéristiques propres à chaque
individu qui ne sont pas mesurables
• Variable ou caractère quantitatif : caractéristiques mesurables.

Exemple : les étudiants IUT GEA


ETUDIANTS GROUPE SEXE NOTES DE MATHS

Adrien G1 M 1
Bénédicte G1 F 19
Caroline G6 F 10
Daphnée G2 F 3
Emmanuel G4 M 13
Florence G3 F 9
etc


VARIABLES VARIABLES
QUALITATIVES QUANTITATIVES
INDIVIDUS
DE LA POPULATION
« ETUDIANTS GEA »
ici, on parlera d’échantillon car les 170 étudiants ne sont pas recensés



Il est important de définir avec précision l’ensemble de référence, population ou échantillon, sur lequel vont porter
les analyses statistiques. C’est davantage dans la façon dont sont recueillies les informations que les statistiques
sont critiquées que dans les techniques de dépouillement ou d’analyse (par exemple, lors de sondages ou de
questionnaires : comment être sûr de l’exactitude des réponses fournies par les personnes interrogées ?)

Notre chapitre va porter sur deux points essentiels qui concerne uniquement la statistique descriptive :

• La représentation des statistiques, essentiellement au travers des graphiques,
• Et l’analyse des statistiques qui serviront ensuite d’outil d’aide à la décision, notamment en contrôle
èmebudgétaire ( voir 4 partie)















3EME PARTIE OUTILS D’AIDE A LA DECISION 3
CHAPITRE 2 : la statistique descriptive
Créé par Hélène CHARRIER et Sarah De Gryse
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1- LA PRESENTATION GRAPHIQUE DES RESULTATS

Il est possible de délivrer des données statistiques sous une multitudes de présentations :
tableaux, textes,…, graphiques.
Une représentation graphique comporte plusieurs avantages : clarté, lisibilité, rapidité par
utilisation de grapheurs, synthèse des données.

Prenez n’importe quel grapheur, sous EXCEL par exemple puisqu’en principe nous disposons tous
de ce logiciel, et allez consulter l’assistant graphique. Vous vous rendrez compte qu’il existe de
nombreuses variétés de représentations graphiques !
֠ attention à ne pas faire votre choix de façon arbitraire car vous pourriez alors présenter au
lecteur une synthèse erronée.
Savoir construire des graphiques est utile pour différentes raisons :
• mieux interpréter des graphiques lors de vos lectures économiques, commerciales…
• mieux présenter vos rapports : projets, rapports de stage, compte rendu professionnel…


1-1- schéma de base

Dans le cas d’une variable quantitative, il faut distinguer :
les variables « discrètes » ou « discontinues » : ne peuvent prendre qu’un nombre
fini de valeur
exemple : 7 étudiants du groupe 6 ont eu une note d’anglais égale à 3
les variables « continues » ou intervalles : peuvent prendre toute valeur d’un
intervalle
exemple : 15 étudiants de la promotion IUT GEA ont eu une note d’anglais comprise entre 0 et 3.


1-2- variable statistique quantitative « discrète » ou « discontinue »

EXERCICE D’APPLICATION : la société « MAYALEN »
On vous fournit la série statistique relative à une population de foyers basques dans la région d’HENDAYE : 86 ménages de
moins de 30 ans, sans enfants ont été interrogés sur le nombre d’enfants qu’ils souhaitaient avoir dans un avenir assez proche.
En voici les résultats :

NOMBRE ENFANTS=Xi NOMBRE DE MENAGES= Yi
0 5
1 19
2 31
3 20
4 11
TOTAL 86


1-2-1- le diagramme en « bâtons »
RESOLUTION
• Ici, les valeurs sont déjà classées par ordre METHODOLOGIE
croissant de 0 à 4 • On range les valeurs par ordre croissant et
on leur associe des effectifs.
Un effectif correspond au nombre d’individus D IA G R A M M E B A T O N S
correspondant à la variable étudiée.
3 5Lorsqu’ils sont exprimés en %, on parle de
3 13 0
fréquence. 2 5
2 0 2 01 9Certains parle de fréquences absolues pour
1 5
les effectifs et de fréquences relatives pour les 1 11 0
5 5effectifs exprimés en %.
0
• Si on joint les sommets des bâtons, on
0 1 2 3 4 5
obtient une ligne brisée donnant l’allure X I
générale de la variable étudiée

YI3EME PARTIE OUTILS D’AIDE A LA DECISION 4
CHAPITRE 2 : la statistique descriptive
Créé par Hélène CHARRIER et Sarah De Gryse
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1-2-2- le diagramme en « escaliers » ou diagramme cumulatif d’une variable
discrète

EXERCICE D’APPLICATION : suite de la société « MAYALEN »
reprenez les mêmes données que précédemment pour en faire une représentation cumulée

METHODOLOGIE RESOLUTION
• On effectue le cumul croissant des valeurs D IA G R A M M E E S C AL IE R
de la variable étudiée
1 0 0
8 6• Il suffit ensuite de joindre les points
7 5
5 55 0cumulés soit par des segments de droite
2 4
soit par des « escaliers » 50
0 1 2 3 4 5 6
X I


1-3-variable statistique quantitative « continue »
On est ici en présence de variables quantitatives données sous forme d’intervalles.
1-3-1- l’histogramme
֠ vous devez TOUJOURS vous poser la question de savoir si les intervalles sont égaux. On parle d’amplitude des
classes

Oui, les intervalles sont égaux

EXERCICE D’APPLICATION : la société « GOTCHEA »
La faculté de BAYONNE vous indique les notes de mathématiques de ses étudiants en IUT GEA, promotion 1999 sur un
échantillon de 170 individus.

NOTES DE MATHS = Xi NOMBRE d’ETUDIANTS =Yi
[0.5[ 20
[5.10[ 80
[10.15[ 40
[15.20[ 30

H IS T O G R A M M E
1 0 0 Si on joint le milieu de chaque
8 0 segment supérieur, on obtient le
6 0 polygone des effectifs.
4 0
2 0
0
[0 ,5 [ [5 ,1 0 [ [1 0 ,1 5 [ [1 5 ,2 0 [
X I


même amplitude : les intervalles sont identiques
Toujours faire attention aux intervalles ouverts ou fermés.
Ici, intervalle ouvert signifie que la dernière valeur n’est pas incluse

Non, les intervalles ne sont pas égaux

EXERCICE D’APPLICATION : suite de la société « GOTCHEA »
La faculté de BAYONNE vous indique les notes de mathématiques de ses étudiants en IUT GEA, promotion 1999 sur un
échantillon de 170 individus mais répartis ainsi :

NOTES DE MATHS = Xi NOMBRE d’ETUDIANTS =Yi

[0.4[ 18
[4.6[ 50
[6.10[ 32
[10.14[ 30
[14.20[ 40

Ni
YI CUMULES3EME PARTIE OUTILS D’AIDE A LA DECISION 5
CHAPITRE 2 : la statistique descriptive
Créé par Hélène CHARRIER et Sarah De Gryse
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La surface des rectangles d’un histogramme doit être proportionnelle aux effectifs
représentés. C’est la surface des rectangles et non leur hauteur qui est proportionnelle à la quantité
Nous préconisons la démarche suivante :

• Choisissez une amplitude de référence, Classes = Effectifs = Nombre Effectifs
intervalles Nombre d’amplitudes rectifiées celle que vous voulez ! il est d’usage de
prendre celle qui revient le plus souvent de notes d’étudiants =
en maths (1) (2) (1)/(2) • Comptez le nombre d’amplitudes par
[0.4[ 18 1 18 intervalle
[4.6[ 50 ½ 100 • Déterminez un effectif rectifié en faisant
le rapport : effectif/nombre d’amplitudes [6.10[ 32 1 32
[10.14[ 30 1 30
[14.20[ 40 1.5 26.67
TOTAL 170 206.67

On a choisit l’amplitude qui revient le plus souvent soit une unité de 4 ; nous
allons donc regarder pour chaque intervalle combien de fois il contient cette
Différentes remarques : unité
• Le total des effectifs rectifiés ne sera
jamais identique à celui de départ. Si
vous le faites en %, vous ne
« retomberez » jamais sur 100%
• L’aire des rectangles est
proportionnelles aux effectifs

VOUS POUVEZ ALORS PROCEDER A LA CONSTRCUTION DE L’HISTOGRAMME DE LA MEME FACON QUE
PRECEDEMMENT EN PRENANT EN COMPTE BIEN SUR LES EFFETIFS RECTIFIES COMME POINTS D’ORDONNEES.
1-3-2- le polygone cumulatif d’une variable « continue »

֠ attention à toujours construire le diagramme cumulatif en effectifs non rectifiés !

EXERCICE D’APPLICATION : suite de la société « GOTCHEA »
Reprenons les mêmes données que précédemment données en classes

METHODOLOGIE RESOLUTION

Il est possible de construire un cumul croissant et un cumul décroissant :
• Le cumul croissant est construit à partir des bornes supérieures de chaque intervalle
• Le cumul décroissant est construit à partir des bornes inférieures
Remarque : on verra dans un point ultérieur que l’intersection des deux courbes correspond au point médian de la distribution
statistique

CLASSES EFFECTIFS CUMUL CUMUL
CROISSANT DECROISSANT
0 4 18 18 170
4 6 50 68 152
6 10 32 100 102
10 14 30 130 70
14 20 40 170 40
170 0
Bornes supérieures
Bornes inférieures








3EME PARTIE OUTILS D’AIDE A LA DECISION 6
CHAPITRE 2 : la statistique descriptive
Créé par Hélène CHARRIER et Sarah De Gryse
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REMARQUE : il est tout à fait possible de présenter n’importe quelle distribution statistique en %,
c’est-à-dire en fréquences relatives en faisant le rapport de l’effectif ni sur l’effectif total N :
Fréquences relatives = ni/N

Exemple :
Ni %
[0.5[ 20 20/170=12%
[5.10[ 80 80/170=47%
[10.15[ 40 23%
[15.20[ 30 18%
N=170 100%


1-4- variable statistique qualitative

Il y a une pluralité de graphiques possibles pour représenter une distribution statistique à variable
qualitative : circulaire, en bandes, à barres etc…
Regardons quelques exemples :

BUDGET DE LA FAMILLE
• Graphique circulaire (« camembert »)
SANTE 5,00%
BUDGET FAM ILLE IMPOTS 10%
SA NTE LOISIRS 10%
IMPOTS5%15% HABITAT 30% 10%
LOISIRS10% 10% ALIMENTATION 20%
HA BITA T
SPORT 10%
A LIMENTA TION
20% CHARGES 15% 30%
SPORT
CHA RGES

S A N T EC H A R G E S I M P O T S
S P O R T L O I S I R S
A L I M E N T A
H A B I T A TT I O N

• Anneau
SANTE
5,00%
15% IMPOTS10%
10% 10% LOISIRS
HABITAT
20%
30% ALIMENTATION
SPORT


• Graphique boursier






3EME PARTIE OUTILS D’AIDE A LA DECISION 7
CHAPITRE 2 : la statistique descriptive
Créé par Hélène CHARRIER et Sarah De Gryse
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CAS D’ENTRAINEMENT


Pour réaliser ces application , il est vivement conseillé d’utiliser l’outil informatique.

☺ EXERCICE 1
ère er
Un échantillon d’ étudiants GEA 1 année ont obtenu les notes suivantes aux examens du 1 semestre :

ETUDIANTS GROUPE SEXE EXPRESSSION ANGLAIS MAD

François 1 G 10 10 1
Julia 6 F 5 6 18
Pauline 5 F 8 10 10
Jean Michel 2 G 14 14 14
Grégoire 1 G 2 13 2
Pierre 3 G 7 7.75 8.5
Florence 4 F 3.5 2.75 9
Karine 5 F 16 16 0
Ali 4 G 15 9 20
Xavier 1 G 4.5 5 13

1. Déterminer les fréquences relatives de la variable « EXPRESSION » et faire une représentation
graphique simple puis en données cumulées croissantes
2. regrouper en classes d’amplitude 4 les effectifs de la variable « ANGLAIS » et faire une représentation
graphique simple puis en données cumulatives croissantes et décroissantes
3. regrouper en classes [0.2[, [2.5[,[5,10[,[10,15[,[15.20] les effectifs de la variable « MAD » et faire une
représentation graphique
4. proposer une représentation graphique de la variable « SEXE »

☺ EXERCICE 2
NOMBRE DE PERSONNES NOMBRE DE MENAGES
A CHARGE

1 2 570
2 3 660
3 2 650
4 1 980
5 1 240
6 1 320
TOTAL 13 420

• Indiquer dans un tableau, les fréquences absolues et relatives
• Faire une représentation graphique des fréquences absolues ,et tracer le polygone des fréquences
• Faire un diagramme cumulatif ascendant des fréquences relatives
• Déterminer le nombre de ménages qui comprennent moins de 4 personnes à charge.

EXERCICE 3
On vous fournit la durée de vie de matériels électriques :

Durée de vie (en heures) NOMBRE D’APPAREILS
[300,499] 50
[500,699] 150
[700,1099] 275
[1100 et plus 25
TOTAL 500
• Faire une représentation graphique des fréquences relatives et tracer le polygone des fréquences
• Tracer une courbe des fréquences relatives cumulées croissantes
• Déterminer le nombre d’appareils ayant une durée de vie < 900 heures 3EME PARTIE OUTILS D’AIDE A LA DECISION 8
CHAPITRE 2 : la statistique descriptive
Créé par Hélène CHARRIER et Sarah De Gryse
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EXERCICE 4
On vous fournit la répartition de 67 640 entreprises en fonction de leur chiffre d’affaires en millions € :

CA NOMBRE ENTREPRISES
< 0.25 13 712
[0.25,0.50[ 10 674
[0.50,1[ 11 221
[1,2.5[ 15 496
[2.5,5[ 10 043
[5,10[ 3 347
>10 3 147

• Déterminer les caractéristiques de cette distribution statistique
• Faire une représentation graphique
• Sur un même graphique, faire la représentation des fréquences relatives cumulées croissantes et
décroissantes.

EXERCICE 5

AGE DE L’EPOUSE NOMBRE DE MARIAGES
< 20 55 000
[20,24] 161 000
[25,29] 66 000
[30,34] 17 000
[35,40[ 16 000
[40,49] 17 000
[50, 60[ 7 000
>60 2 000
• Indiquer dans un tableau, les fréquences absolues et les fréquences absolues cumulées
ascendantes et descendantes.
• Faire une représentation graphique des fréquences absolues
☺ EXERCICE 6
Une compagnie d’assurance pour laquelle vous travaillez en stage vous charge de dresser des graphiques pour
représenter ses charges annuelles exprimées en millions
POSTES

VAM 2950.20
Risques autres que VAM 989
Assistance 44.20
Frais généraux 1104.10
Divers 175.10

1. faire une représentation graphique « circulaire »
2. représenter cette série sous forme de graphique « en bandes » dans laquelle vous ferez apparaître les
%.
3. faire une représentation par un graphique en « barres »

☺ EXERCICE 7
Vous possédez quelques titres en Bourse pour arrondir vos fins de mois et vous souhaitez mieux
visualiser votre portefeuille :

TITRES QUANTITES PRIX ACHAT COURS
CARREFOUR 10 50€
ALCATEL 50 150€
CLUB MED 4 100€
WANADOO 6 19€

1. Vous devez dater votre exercice et rechercher le cours de chaque titre à cette date soit dans un
quotidien soit sur un site internet (www.investir.fr ou www.latribune.fr ou www.lesechos.fr .........)
2. Faire une représentation graphique circulaire faisant apparaître la répartition de votre portefeuille en
volume exprimée sous forme de %
3. faire une représentation graphique circulaire faisant apparaître la répartition de votre portefeuille en prix
d’achat exprimée sous forme de %
4. faire une représentation graphique « en barres » faisant apparaître les plus ou moins values latentes en
fonction du cours de la question 1.
S
S
S
-
S
-
S
-
S
-
S
S
S
S
S
S
S
S
3EME PARTIE OUTILS D’AIDE A LA DECISION 9
CHAPITRE 2 : la statistique descriptive
Créé par Hélène CHARRIER et Sarah De Gryse
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2- ANALYSE STATISTIQUE


Nous venons d’étudier les différentes possibilités de représentations graphiques. Voyons, à présent,
l’interprétation des données.
On cherche à déterminer des caractéristiques essentielles telles que :
• Ordre de grandeur des effectifs : LA MOYENNE
• Analyse de la répartition des effectifs autour de cette moyenne : LES ECARTS

2-1- Caractéristiques de valeur centrale : les moyennes

2-1-1- les moyennes de grandeur : moyennes arithmétiques

• La moyenne arithmétique simple

EXERCICE D’APPLICATION :
NOTES DES ETUDIANTS
POUR 6 MATIERES SANS COEFS
12 4 3 8 7 2

METHODOLOGIE RESOLUTION

(12+4+3+8+7+2) / 6 = 36/6 = 6 M= xi/N
La moyenne des notes de ces 36 étudiants est
Il suffit d’additionner les effectifs et de les diviser par de 6 sur 20.
le nombre de valeurs

• la moyenne arithmétique pondérée
Vous pouvez rencontrer deux cas : soit il s’agit d’une variable discrète, soit il s’agit d’une variable
continue auquel cas il faut raisonner en « centres de classes ».


EXEMPLE 1 : variable discrète
NOTES DES ETUDIANTS
DANS 6 MATIERES Xi 12 4 3 8 7 2
COEFFICICENT ni 1 2 2 1 3 3
EXEMPLE 2 : variable continue
NOTES [0 ,5[ [5,10[ [10,15[ [15,20[
NOMBRE
ETUDIANTS 3 12 4 1

METHODOLOGIE RESOLUTION
xi 12 4 3 8 7 2
• Variable discrète ni 1 2 2 1 3 3 12
M= xini/ ni xini 12 8 6 8 21 6 61
M= 61/12 =5.08





classes [0.5[ [5.10[ [10.15[ [15.20[ • Variable continue
Centresxi 2.5 7.5 12.5 17.5 Le calcul reste le même en prenant les centres de
classes comme xi. ni 3 12 4 1 20
Xini 7.5 90 50 17.5 165
M= 165/20= 8.25




3EME PARTIE OUTILS D’AIDE A LA DECISION 10
CHAPITRE 2 : la statistique descriptive
Créé par Hélène CHARRIER et Sarah De Gryse
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֠REFLECHISSONS ensemble ! « Que pensez-vous de la moyenne ? »
• les calculs sont parfois longs
• cela permet d’avoir un ordre de grandeur et de situer par rapport à cette moyenne
• influence des valeurs extrêmes atténuée par la pondération
• la moyenne n’est pas toujours significative du plus grand nombre

2-1-2– les moyennes de position : la médiane

C’est le nombre qui occupe le milieu de la distribution : il y a alors autant d’effectifs en amont qu’en
aval de cette valeur
Vous pouvez rencontrer deux cas : variable discrète ou variable continue.

EXEMPLE 1 : le cas d’une variable discrète
Xi 0 1 2 3 4 5
Ni 1 3 7 15 19 10
CUMUL 1 4 11 26 45 55


METHODOLOGIE RESOLUTION

MEDIANELa médiane Me, est la valeur qui partage en 2 la
série des observations. Il faut donc faire le cumul
croissant de la distribution ce qui nous donne N, le 60
55
total des effectifs. 4540
La fréquence de la médiane se trouve à la moitié
26
20soit :
11
4 10
F(M) = N/2 0 1 2 3 4 5M

NOMBRE DE CHEQUES Xi
Il est possible de déterminer la médiane
• soit par le graphique,
F(M) = 55/2 = 27.5
Sur l’axe des ordonnées, vous pointez 27.5 pour
retomber sur l’axe des abscisses où on peut lire une
médiane comprise entre 3 et 4.
Par le calcul, on encadre F(M) soit 27.5 : • soit par le calcul
Pour 3 cumul de 26
il faut raisonner par « interpolation linéaire »
Pour 4 cumul de 45
Ne vous laisser pas impressionner par le terme
-1 différentiel de (26-45) mathématique car il s’agit d’un simple « produit en croix »
Pour x (27.5-26)

Donc X=[(27.5-26)*-1]/(26-45) = 0.078
La médiane est donc de 3+0.078 =3.078
Il y a autant de jours où moins de 3 chèques
ont été traités que de jours où plus de 3
chèques l’ont été


EXEMPLE 2 : le cas d’une variable continue

CLASSES ni CUMUL CUMUL
CROISSANT DECROISSANT
[10,20[ 5 0 33
[20,30[ 20 5 28
[30,40[ 7 25 8
[40,50|[ 1 32 1
33 0
NOMBRE DE
JOURS Ni