Mirror symmetry, toric branes and topological string amplitudes as polynomials [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Murad Alim

Murad Alim

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• Physik

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• Publié par: ludwig-maximilians-universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 6
• Langue: English

Extrait

Mirror Symmetry, Toric Branes and Topological String
Amplitudes as Polynomials
Murad Alim
Munc¨ hen 2009Mirror Symmetry, Toric Branes and Topological String
Amplitudes as Polynomials
Murad Alim
Doktorarbeit
an der Fakult¨at fur¨ Physik
der Ludwig–Maximilians–Universit¨at
Munc¨ hen
vorgelegt von
Murad Alim
aus Alexandria
Munc¨ hen, den 8. Juni 2009Erstgutachter: Prof. Dr. Peter Mayr
Zweitgutachter: Prof. Dr. Dieter Lus¨ t
Tag der mundlic¨ hen Prufung¨ : 13. Juli 2009to all the close ones who haven’t seen much of me because of thisviContents
Zusammenfassung xi
Abstract xiii
1 Introduction 1
2 Mirror Symmetry 11
2.1 N = 2 superconformal field theory (SCFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 N = 2 superconformal algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Chiral ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Deformation families . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4 The vacuum bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.5 Geometric realization of SCFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Topological string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Topological field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Topological strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Mirror symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Quantum cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Variation of Hodge structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 The Quintic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.4 Including D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Holomorphic Anomaly 29
3.1 Special geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
∗3.1.1 tt equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Geometry ofM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3 Variation of Hodge structures revisited . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Holomorphic anomaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Anomaly equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Solving the anomaly equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3 Extension of the anomaly equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Background independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 Wave-function property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Large phase space anomaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3 Shift relating open and closed strings . . . . . . . . . . . . . . . . . 40viii Contents
4 Mirror Symmetry for Toric Branes on Compact Hypersurfaces 41
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Toric brane geometries and differential equations . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.1 Toric hypersurfaces and branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.2 N = 1 special geometry of the open/closed deformation space . . . 46
4.2.3 GLSM and enhanced toric polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.4 Differential equations on the moduli space . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.5 Phases of the GLSM and structure of the solutions of 4.19 . . . . . 51
4.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
(1,1,1,1,1)
4.3.1 Branes on the quintic X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
(1,1,1,6,9)
4.3.2 Branes on X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5818
(1,1,1,3,3)
4.3.3 Branes on X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
4.4 Summary and outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Polynomial Structure of Topological String Amplitudes 65
5.1 Introduction and summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Polynomial method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.1 Holomorphic anomaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.2 Initial correlation functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.3 Non-holomorphic generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.4 Polynomial recursion relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.5 Constructing the propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.6 Holomorphic ambiguity and boundary conditions . . . . . . . . . . 74
5.3 Application to the real quintic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4n to local mirror symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
25.4.1 Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4.2 Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820
5.4.3 Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872
5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
A Toric Branes 95
A.1 One parameter models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
(2,1,1,1,1)
A.1.1 Sextic X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
A.1.2 Octic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1,1,1,3,3
A.2 Invariants for X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989
B The Real Quintic 101
B.1 The polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B.2 Ooguri-Vafa invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
FPFContents ix
C Local Mirror Symmetry 105
C.1 Ambiguities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2C.1.1 Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
C.1.2 Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050
C.1.3 Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062
C.2 Gopakumar-Vafa and orbifold Gromov-Witten invariants . . . . . . . . . . 107
2C.2.1 Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
C.2.2 Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080
C.2.3 Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092
Acknowledgements 121
Curriculum vitae 123
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