Modification of Simpson moduli spaces of 1-dimensional sheaves by vector bundles [Elektronische Ressource] : an experimental example / Oleksandr Iena

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• Publié le: 01 janvier 2009
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Extrait

Modiflcation of Simpson moduli spaces of 1-dimensional
sheaves by vector bundles, an experimental example
Oleksandr Iena
Vom Fachbereich Mathematik der Technischen Universit˜at Kaiserslautern
zur Verleihung des akademischen Grades Doktor der Naturwissenschaften
(Doctor rerum naturalium, Dr. rer. nat.)
genehmigte Dissertation
1. Gutachter: Prof. Dr. Gun˜ ther Trautmann
2.hter: Prof. Dr. Alexander Tikhomirov
Vollzug der Promotion 07.05.2009
D 386ii
Oleksandr Iena. \Modiflcation of Simpson moduli spaces of 1-dimensional sheaves by vector
bundles, an experimental example".
Abstract. Thisthesisdealswiththefollowingquestion. Givenamodulispaceofcoherent
sheaves on a projective variety with a flxed Hilbert polynomial, to flnd a natural construction
thatreplacesthesubvarietyofthesheavesthatarenotlocallyfreeontheirsupport(wecallsuch
sheaves singular) by some variety consisting of sheaves that are locally free on their support.
WeconsiderthisproblemontheexampleofthecoherentsheavesonP withHilbertpolynomial2
3m+1.
Given a singular coherent sheaf F with singular curve C as its support we replace F by
locallyfreesheavesE supportedonareduciblecurveC [C ,whereC isapartialnormalization0 1 0
of C and C is an extra curve bearing the degree of E. These bundles resemble the bundles1
consideredbyNagarajandSeshadri(cf.[19], [20], [26]). Manypropertiesofthesingular3m+1
sheaves are inherited by the new sheaves we introduce in this thesis (we call them R-bundles).
We consider R-bundles as natural replacements of the singular sheaves.
R-bundlesreflnetheinformationabout3m+1sheavesonP . Namely,foreveryisomorphism2
class of singular 3m+1 sheaves there areP many equivalence classes of R-bundles.1
fThere is a variety M of dimension 10 that may be considered as the space of all the isomor-
phism classes of the non-singular 3m+1 sheaves onP together with all the equivalence classes2
of all R-bundles. This variety is obtained by blowing up the moduli space of 3m+1 sheaves
onP along the subvariety of singular sheaves.2
We modify the deflnition of a 3m + 1 family and obtain a notion of a new family over
an arbitrary variety S. In particular 3m + 1 families of the non-singular sheaves on P are2
families in this sense. New families over one point are either 3m+1 sheaves or R-
bundles. For every variety S we introduce an equivalence relation on the set of all new families
over S. The notion of equivalence for families over one point coincides with isomorphism for
non-singular 3m+1 sheaves and with equivalence for R-bundles.
fWe obtain a moduli functor M : (Sch) ! (Sets) that assigns to every variety S the set
of the equivalence classes of the new families over S. There is a natural transformation of
f ffunctors M ! M that establishes a relation between M and the moduli functor M of the
f f3m + 1 moduli problem on P . There is also a natural transformation M ! Hom( ;M),2
f »f finducing a bijectionM(pt) M, which means that M is a coarse moduli space of the moduli=
fproblemM.iii
Oleksandr Iena. \Modiflzierung von Simpson-Modulr˜aumen 1-dimensionaler Garben durch
Vektorbundel,˜ ein experimentelles Beispiel".
Zusammenfassung. In dieser Dissertation wird die folgende Frage er˜ortert. Gegeben sei
ein Modulraum von koh˜arenten Garben auf einer projektiven Variet˜at mit festem Hilbertpoly-
nom, zu flnden ist eine naturlic˜ he Konstruktion, die die Untervariet˜at der Garben, die nicht
lokal frei auf ihrem Tr˜ager sind (solche Garben nennen wir singul˜ar), durch eine andere, aus
lokal freien Garben bestehende Variet˜at ersetzt. Wir betrachten diese Frage am Beispiel der
koh˜arenten Garben aufP mit Hilbertpolynom 3m+1.2
Sei F eine singul˜are koh˜arente Garbe mit singul˜arer Kurve C als Tr˜ager. Wir ersetzen
F durch 1-dimensionale lokal freie Garben E, deren Tr˜ager eine reduzible Kurve C [C ist,0 1
so dass C eine partielle Normalisierung von C ist und C eine zus˜atzliche, den Grad von E0 1
tragende Kurve ist. Diese Vektorbundel˜ ˜ahneln den von Nagaraj und Seshadri betrachteten
Vektorbundeln˜ (siehe [19], [20], [26]). Die in dieser Dissertation eingefuhrten˜ neuen Garben
(wir nennen sie R-Bundel)˜ behalten viele Eigenschaften der singul˜aren 3m+1 Garben. Wir
betrachten R-Bundel˜ als einen naturlic˜ hen Ersatz fur˜ die singul˜aren Garben.
R-Bundel˜ pr˜azisieren die Informationen ub˜ er 3m+1 Garben auf P . Es gibt n˜amlich P2 1
˜viele verschiedene Aquivalenzklassen fur˜ jede Isomorphieklasse von singul˜aren 3m+1 Garben.
fEs gibt eine Variet˜at M der Dimension 10, die als Raum aller Isomorphieklassen der nicht
˜singul˜aren Garben und aller Aquivalenzklassen von R-Bundeln˜ betrachtet werden kann. Diese
Variet˜at entsteht durch die Aufblasung des Modulraums von 3m+1 Garben aufP entlang der2
Untervariet˜at der singul˜aren Garben.
Wir modiflzieren die Deflnition einer 3m+1 Familie und bekommen fur˜ jede Variet˜at S
einen neuen Begrifi einer Familie ub˜ er S. 3m+1 Familien der nicht singul˜aren Garben aufP2
sindFamiliendieserArt. NeueFamilienub˜ ereinemPunktsindentwedernichtsingul˜are3m+1
Garben oder R-Bundel.˜ Fur˜ jede Variet˜at S wird auf der Menge aller R-Bundel˜ ub˜ er S eine
˜ ˜Aquivalenzrelationeingefuhrt.˜ DerAquvalenzbegrififur˜ dieFamilienub˜ ereinemPunktstimmt
˜mit dem Isomorphiebegrifi fur˜ nicht singul˜are 3m+1 Garben und mit dem Aquivalenzbegrifi
fur˜ R-Bundel˜ ub˜ erein.
fWir konstruieren einen Modulfunktor M : (Sch)! (Sets), der jeder Variet˜at S die Menge
˜ fder Aquivalenzklassen von R-Bundeln˜ ub˜ er S zuordnet. Eine Beziehung zwischen M und
dem Modulfunktor M des 3m+1 Modulproblems auf P wird durch eine naturlic˜ he Trans-2
fformation der Funktoren M ! M festgelegt. Es gibt auch eine naturlic˜ he Transformation
f f f »f fM! Hom( ;M), die eine BijektionM(pt) M induziert, was M zu einem groben Modul-=
fraum des ModulproblemsM macht.ivAcknowledgements
I thank my adviser Prof. Dr. Gun˜ ther Trautmann for providing me with the theme of
this dissertation. The results of this thesis would not have been possible without his support,
advices, and our fruitful discussions. I wish to thank him for being my teacher.Contents
Basic notations viii
Introduction ix
1 Construction of R-bundles 1
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 3m+1 sheaves, overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Review of [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Singular sheaves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 R-bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Construction of new one parameter families. . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 First properties of new one . . . . . . . . . . . . . . . 18
^1.3 New objects onP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
1.3.1 Invertible sheaves on Z and their cohomology. . . . . . . . . . . . . . . . 220
^1.3.2 R-bundles onP , their properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
1.3.3 The inverse constructions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Equivalence of R-bundles 60
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.1 Classes of isomorphism of R-bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.1.1 Isomorphism classes as orbits of a group action. . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.2 Orbit space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2 A description of equivalence classes of R-bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.1 Group action on D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
2.2.2 Main result. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.3 R-bundles with singular curve C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3.1 Generic case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3.2 The case of a cuspidal curve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3.3 Three lines with simple intersections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.3.4 Transversal intersection of a line with a smooth conic. . . . . . . . . . . . 86
2.3.5 Tangent in of a line with a smooth conic. . . . . . . . . . . . . 89
2.3.6 Point on a double line. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.3.7 Three lines through one point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.3.8 Intersection of a line with a double line. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.3.9 A line with multiplicity 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
vivii
3 Families 97
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1 Spaces Bl X and Bl M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97X M8 8