Monte Carlo simulations in positron emission tomography reconstruction [Elektronische Ressource] : full matrix, dual matrix, and system matrix compression / vorgelegt von Niklas Sebastian Rehfeld

Sujets

• Gesundheit

Informations

• Publié par: eberhard_karls_universitat_tubingen
• Publié le: 01 janvier 2007
• Nombre de lectures: 17
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 5 Mo

Extrait

Monte Carlo Simulations in Positron
Emission Tomography Reconstruction
Full matrix, dual matrix, and system matrix compression
Dissertation
zur Erlangung des Grades eines Doktors
der Naturwissenschaften
der Fakult¨at fu¨r Mathematik und Physik
der Eberhard-Karls-Universit¨at zu Tu¨bingen
vorgelegt von
Niklas Sebastian Rehfeld
aus Berlin
2007Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 9. Mai 2007
Dekan: Prof. Dr. Schopohl
1. Berichterstatter: Prof. Dr. Dr. Schick
2. Berichterstatter: PD Dr. Sibylle ZieglerSummary
Inpositronemissiontomography(PET)emissiondensityimagesareformedbyphoton
coincidencemeasurements. Thisprocessiscomplicated,particularlywithregardtothe
photonsthatcanbescattered intheinhomogeneous patient. Amethodtoincorporate
Monte Carlo simulations into the image formation process to model the scattering is
presented. This is achieved by simulating the system matrix that describes the map
from emission density to detected coincidences. The problem of the very large size
of the matrix is met by fitting and B-spline compression of Monte Carlo results. A
dedicated Monte Carlo code for system matrix calculation using variance reduction
techniques is presented to reduce simulation time. Other desirable properties like
reducedsensitivity toMonteCarlonoiseandthepossibility forsequential compression
are met by the presented compression method. In proof-of-principle simulations of
single ring scanners it is shown that the matrices compressed by this scheme are good
approximations to the uncompressed matrices and that scatter artifacts in the images
are strongly suppressed. In the last part, noise in the images introduced by the noise
of the Monte Carlo simulated system matrices is investigated and quantified.
Zusammenfassung
In der Photonenemissionstomographie (PET) werden Bilder der Aktivit¨atsverteilung
aus Photonen-Koinzidenzmessungen errechnet. Das ist insbesondere wegen der Streu-
ung der Photonen im inhomogenen Patienten kompliziert. In der vorgestellten Meth-
ode werden Monte Carlo Simulationen in der Bildberechnung benutzt, um die Pho-
tonenstreuung zu bestimmen. Dabei wird die Systemmatrix, die die Abbildung der
Aktivit¨atsverteilung auf meßbare Koinzidenzen beschreibt, mittels Monte Carlo Sim-
ulationen berechnet. Durch Parametrisierung und B-Spline Komprimierung wird die
Gr¨oßederMatrixsoweit reduziert, dassdieSpeicherung imHauptspeicher m¨oglichist.
Es wird ein Monte Carlo Programm vorgestellt, dass auf Systemmatrix Berechnungen
spezialisiert ist und Varianzreduktionsmethoden verwendet. Andere wu¨nschenswerte
Eigenschaften wiegeringeAnf¨alligkeitgegenu¨berMonteCarloRauschen unddieM¨og-
lichkeit einer schrittweisen Kompression werden durch das vorgestellte Kompression-
schema erfu¨llt. In Simulationen von Ein-Ring-Scannern wird beispielhaft gezeigt, dass
diekomprimiertenMatrizenguteN¨aherungenderunkomprimiertenMatrizensindund
dass Streuartefakte in den Bildern stark reduziert sind. In einem letzten Teil wird das
Bildrauschen, das durch das Monte Carlo Rauschen der Matrizen verursacht wird,
untersucht und quantifiziert.
iiiivContents
1. Introduction 1
1.1. Motivation and thesis outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Physics of PET 7
2.1. Positron emission and annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. The detection system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Geometry and interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1. Scattered coincidences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2. Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3. Random correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1. PET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2. PET/CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Image Reconstruction 17
3.1. The Radon transform ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Iterative algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1. The system matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2. The objective function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3. Maximum likelihood expectation maximization . . . . . . . . . 23
3.3. 3D scanners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Scatter correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Monte Carlo Code 27
4.1. Particle tracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1. Linear attenuation coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2. Tracing of particles in voxelized phantoms . . . . . . . . . . . . 29
4.2. Simulated particle detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3. Variance reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.1. Forced detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
vContents
4.3.2. Stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4. Implementation and parallelization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5. System Matrix Compression 43
5.1. Goals and requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2. Properties of the system matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3. Compression scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.1. Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.2. Increasing robustness of compression scheme . . . . . . . . . . . 53
5.3.3. Increasing compression speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.4. Read-out. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.5. Memory saving for 2D scanners and outlook for3D-scanner ma-
trix compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6. Implemented Reconstruction Algorithms 59
6.1. Monte Carlo maximum likelihood expectation maximization . . . . . . 59
6.1.1. Full matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.1.2. No scatter modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.3. Compressed matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2. Dual matrix maximum likelihood expectation maximization . . . . . . 61
6.3. A hybrid approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7. Evaluation 65
7.1. Simulated phantoms and scanner geometries . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2. Measures used for quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.3. Verification of the Monte Carlo code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.4. Compressed matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.4.1. Comparison of full matrix and compressed matrix . . . . . . . . 70
7.4.2. Comparison of reconstructed images . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4.3. B-spline order and grid dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.5. The influence of Monte Carlo noise on the reconstructed images . . . . 79
7.5.1. Propagation of noise in iterative reconstructions . . . . . . . . . 79
7.5.2. Convergence and noise propagation of the full matrix and the
dual matrix algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.5.3. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.6. Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8. Conclusions and Outlook 93
viContents
A. Calculations 111
A.1. Gaussian sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.2. Variance of detected weighted counts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B. Paper: The influence of noise in full Monte Carlo ML-EM and dual ... 113
C. Conference proceedings 125
C.1. Monte Carlo noise in full Monte Carlo ML-EM and dual matrix recson-
tructions in ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
C.2. Reconstruction of PET images with a compressed Monte Carlo based
system matrix ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.3. Compression of a Monte Carlo based system matrix for iterative recon-
struction of PET ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
viiContents
viii