Non-equilibrium scaling analysis of quantum dots in the kondo regime [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Peter Fritsch

Peter Fritsch

Sujets

• Physik

Informations

• Publié par: ludwig-maximilians-universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 20
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Non-Equilibrium Scaling Analysis of
Quantum Dots in the
Kondo Regime
Peter Fritsch
Munchen 2009Non-Equilibrium Scaling Analysis of
Quantum Dots in the
Kondo Regime
Peter Fritsch
Dissertation
an der Fakult at fur Physik
der Ludwig{Maximilians{Universit at
Munc hen
vorgelegt von
Peter Fritsch
aus Augsburg
Munc hen, den 19. M arz 2009Erstgutachter: Prof. Dr. S. Kehrein
Zweitgutachter: Prof. Dr. U. Gerland
Tag der mundlic hen Prufung: 10. Juni 2009Reality is wrong. Dreams are for real.
Tupac ShakurContents
Deutsche Zusammenfassung 1
Motivation 3
1 Introduction 5
1.1 The Kondo Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Historic Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Equilibrium Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Scaling Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 The Non-Equilibrium Kondo Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Experimental Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 The Coulomb Blockade Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Model and Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Previous Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Decoherence E ects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 General Non-Equilibrium Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Linear Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 The Keldysh Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Scattering State Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 The Flow Equation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 General Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 In nitesimal Unitary Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Tunneling in a Double Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.4 Perturbative Truncation of the Unitary Transformation . . . . . . . 29
1.4.5 Normal-Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.5.1 Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.5.2 Basic Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Flow Equation Treatment of the Kondo Hamiltonian 37
2.1 1-loop Flow Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Basic Commutation Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38viii CONTENTS
2.1.3 Flow Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.4 Scaling Analysis (1-loop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.5 Newly Generated Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 2-loop Flow Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1 Basic Commutation Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.2 Ansatz Hamiltonian and Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.3 Flow Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.4 Diagonal Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.5 Scaling Analysis (2-loop), Isotropic Model . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.5.1 Magnetic eld only . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.5.2 Voltage Bias, Temperature, and Combinations with Mag-
netic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.5.3 Decoherence E ects and Higher Orders . . . . . . . . . . . 60
2.2.6 Scaling Analysis, Anisotropic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.6.1 General 1-loop scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.6.2 2-loop Scaling, Magnetic Field Only . . . . . . . . . . . . 63
2.2.6.3 2-loop Scaling Voltage Bias Temperature and Combinations
with Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Observables 67
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 The Flow Equation Way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.1 Zero Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2 Nonzero Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.3 Non-Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.4 Time Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.5 Zero Temperature Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.6 Nonzero Temperature Functions . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Spin Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
z3.3.1 Transformation of S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.2 Magnetization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.3 Spin-Spin Correlation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
x=y3.3.4 Transformation of S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4 T-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.2 Flow Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.2.1 Lowest Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.2.2 Higher Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5 Temperature vs. Voltage Bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5.1 Spin-Spin Correlation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.1.1 Zero Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89CONTENTS ix
3.5.1.2 Nonzero Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.2 T-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5.3 Magnetization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5.4 Static Spin Susceptibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4 Thermal Non-Equilibrium 101
4.1 Flow Equation Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.1 Basic Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.2 1-loop Scaling Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.3 2-loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.1 E ective Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.2 Static Spin Susceptibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 Conclusion 109
A Numerics Trivia 111
A.1 Solution of the Flow Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.2 Additional Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.2.1 Correlation and Response Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.2.2 Magnetization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.2.3 Static Spin Susceptibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B Math 115
B.1 Momentum Summation, 2-loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B.2 Rewriting the 2-loop Scaling Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
C Commutators 119
C.1 Hamiltonian, 1-loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
C.2 2-loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
zC.3 Trafo S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
xC.4 Trafo S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
C.5 T-Matrix, Lowest Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
C.6 Higher Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
List of Figures 127
Bibliography 131
List of Publications 141
Acknowledgments 143x CONTENTS
Curriculum Vitae 145