Nonlinearity assessment and linear control of nonlinear systems [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Tobias Schweickhardt

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• Publié par: universitat_stuttgart
• Publié le: 01 janvier 2007
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Extrait

Nonlinearity Assessment
and Linear Control of Nonlinear Systems
Von der Fakultät Maschinenbau der Universität Stuttgart
zur Erlangung der Würde eines Doktor–Ingenieurs (Dr.–Ing.)
genehmigte Abhandlung
vorgelegt von
Tobias Schweickhardt
aus Stuttgart
Hauptberichter: Prof. Dr.-Ing. Frank Allgöwer
Mitberichter: Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Marquardt
Prof. Francis J. Doyle III, Ph.D.
Tag der mündlichen Prüfung: 27. November 2006
Institut für Systemtheorie und Regelungstechnik
Universität Stuttgart
2006Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitar-
beiter am Institut für Systemtheorie und Regelungstechnik (IST) der Universität Stuttgart.
Dem Leiter und Hauptberichter dieser Dissertation, Herrn Prof. Dr.-Ing. Frank Allgöwer,
gebührt im Zusammenhang mit der Entstehung dieser Arbeit dreifacher Dank. Dafür, dass
er mich zum Ende meines Studiums für die Wissenschaft gewonnen hat. Dafür, dass er
mir ein interessantes Themengebiet zur Promotion vorgeschlagen hat, mich aber auch an
entscheidenden Stellen das Thema selbst ausgestalten ließ. Und schließlich dafür, dass
er mir mit dem Institut für Systemtheorie und Regelungstechnik ein Arbeitsumfeld be-
reitgestellt hat, das mit seinen hervorragenden Wissenschaftlern und seiner internationalen
Ausrichtung zugleich Ansporn und Unterstützung für die eigene Arbeit war.
Herrn Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Marquardt danke ich für das Interesse an meiner Arbeit und
die Übernahme des ersten Mitberichts, und Herrn Prof. Francis J. Doyle III, Ph.D. danke
ich für die gute Zusammenarbeit und die Übernahme des zweiten Mitberichts. Es sollte
an dieser Stelle auch nicht unerwähnt bleiben, dass die Arbeit teilweise von der Deutschen
Forschungsgemeinschaft gefördert wurde.
Mein Dank richtet sich natürlich auch an alle Kollegen, die das angenehme Arbeitsum-
feld am IST ausmachen. Insbesondere möchte ich Herrn Dr.-Ing. Christian Ebenbauer
danken, ohne dessen Beitrag der Ansatz zur Nichtlinearitätsmaß-Berechnung für poly-
nomiale Systeme sicher nicht Eingang in diese Arbeit gefunden hätte. Der Dank an die
Kollegen bezieht sich jedoch nicht nur auf die interessanten und fruchtbaren fachlichen
Diskussionen, sondern auch auf die freundschaftliche Atmosphäre am Institut.
Schließlich wäre diese Arbeit so nicht denkbar gewesen, hätten mich meine Eltern nicht
immer unterstützt und mir die für diese Arbeit notwendige Ausbildung ermöglicht. Meiner
Frau Adina danke ich dafür, dass ich am Ende von im Verlauf der Promotion immer län-
geren Arbeitstagen einen Grund hatte, frohen Mutes den Heimweg einzuschlagen.
Stuttgart, im Dezember 2006 Tobias Schweickhardt
iiiContents
Abstract vii
Deutsche Kurzfassung ix
Chapter 1. Introduction 1
1.1. Literature Review 2
1.2. Structure and Contributions of the Thesis 13
Chapter 2. Background and Notation 15
Chapter 3. Nonlinearity Measures and Linear Models for Nonlinear Systems 19
3.1. A Unified Framework for Nonlinearity Assessment 19
3.2. Well-Posedness of Interconnections and Existence of Best Models 27
3.3. Operator Derivatives and Local Linear Models 35
3.4. Memoryless Systems and Steady-State Behaviour of Dynamical Systems 40
3.5. More Results on Memoryless Systems and Steady-State Behaviour 47
3.6. Composite Systems 61
3.7. Nonlinearity Measures and Harmonic Analysis 68
3.8. Computational Aspects 71
3.9. Summary 79
Chapter 4. A Small Gain Approach to Linear Control of Nonlinear Systems 81
4.1. Principles of (Non-Global) Robust Control 82
4.2. Stability of Nonlinear Systems with Linear Controllers 85
4.3. Some Remarks on Performance 102
4.4. Application Example: Linear Control of a Nonlinear CSTR 108
4.5. Summary 111
Chapter 5. Conclusions 113
References 117
vAbstract
Linear control may be favorable over nonlinear control because linear design techniques
greatly facilitate the controller design process and because linear controllers impose lower
requirements on the implementation and operation as compared to nonlinear controllers.
It is therefore a tempting idea to use linear models and linear controller design methods
also for nonlinear systems. It is for instance common practice in control engineering to
use models obtained from Jacobi-linearization (i.e. first order Taylor series approximation
of the state space equations) instead of complete nonlinear models. However, in order to
guarantee the suitability of a linear model or the proper functioning of a linear controller
in presence of the model/plant mismatch due to linearization, a rigorous justification is
required. This thesis presents a general framework to design linear controllers for nonlinear
systems based on linear models, that guarantees stability also for the nonlinear closed loop.
How to deal with a model/plant mismatch in a purely linear setup is very well known from
linear robust control theory. Robust stability can be guaranteed if the gain of the modeling
error satisfies a certain bound. This small gain condition remains valid in the case of a
nonlinear plant that is modeled by a linear model. However, the small gain condition
requires a global bound on the gains of the modeling error. Moreover, this bound must
be small enough in order to prove stability. These requirements are often too strong to be
satisfiable for general nonlinear systems. To avoid the conservatism connected to global
analysis, the presented approach makes therefore use of gains over sets in order to be able
to do the analysis and synthesis in a specified region of operation. Corresponding to the
introduction of gains over sets in theory, a saturation block is introduced in the plant or the
controller in implementation. The controller design for nonlinear systems is thus reduced
to the controller design for linear saturated systems. Examples show that the remaining
controller design problem is feasible with standard techniques from the literature.
Prior to controller design, a nominal linear model and the error bound have to be derived.
While the linearization is a common choice as a linear model for a nonlinear system, it
does not need to be the best choice for a given region of operation. Indeed, there are
situations in which other linear models turn out to be better suited for controller design
than the linearization. It is therefore interesting to search for the best linear model for a
nonlinear system, characterized by a minimal modeling error. This minimal modeling error
measures at the same time the disparity between the nonlinear system and the set of linear
systems, and thus provides a way to assess the extend of nonlinearity of the plant. Hence,
viiviii ABSTRACT
the modeling error allows to (i) evaluate the quality of a given linear model, (ii) derive a
best linear model that minimizes the modeling error, and (iii) use the modeling error of the
best system as a measure of nonlinearity of the system. As there are different ways to define
a modeling error, like an additive error, or multiplicative errors at the input or output etc.,
different according nonlinearity measures are defined under a common system-theoretic
framework.
This thesis has two main areas of contribution. The first area is the derivation and assess-
ment of linear models for nonlinear systems, and the second area is the utilization of this
information for controller design. The main contribution of the first part of this thesis is
to introduce a novel unifying framework for nonlinearity assessment, to provide a rigorous
mathematical foundation, and to provide characterizations of the nonlinearity measures and
best linear models for special system classes. The computation of nonlinearity measures
and linear models is also discussed. In the second part of this thesis, stability conditions
and controller design procedures for linear control of nonlinear systems are presented. The
exact form of the nominal closed loop and of the stability condition depends on the type of
modeling error chosen and we present results for all previously defined setups. Examples
show the advantages and disadvantages of the proposed design procedure. In particular,
the possible advantages of regional design and of the use of best models are illustrated.
The results of this thesis build a bridge between nonlinearity assessment and robust control
theory. The key feature of the proposed methods is thereby to bring together nonlinearity
measures, the development and assessment of linear models for nonlinear systems and the
design of linear controllers for nonlinear systems under a unifying framework.Deutsche Kurzfassung
Die lineare Regelung ist gegenüber der nichtlinearen Regelung vorteilhaft, weil lineare
Methoden den Entwurfsprozess vereinfachen und lineare Regler niedrigere Anforderungen
an die technische Umsetzung stellen als nichtlineare Regler. Es ist deshalb erstrebenswert,
lineare Modelle und lineare Reglerentwurfsverfahren auch für nichtlineare Regelstrecken
zu verwenden. So ist es gängige Praxis, statt der vollständigen nichtlinearen Modelle ein-
facherere Modelle zu verwenden, die aus den vollständigen Modellen durch Linearisierung
(d.h. durch Taylor-Approximation erste