Novel simulation methods for Coulomb and hydrodynamic interactions [Elektronische Ressource] / Igor Pasichnyk

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• Publié par: johannes_gutenberg-universitat_mainz
• Publié le: 01 janvier 2004
• Nombre de lectures: 24
• Langue: English

Extrait

Novel simulation methods for
Coulomb and hydrodynamic interactions
Dissertation
zur Erlangung des Grades
“Doktor der Naturwissenschaften”
am Fachbereich Physik
der Johannes Gutenberg-Universit¨at
in Mainz
Igor Pasichnyk
geb. in Maksimovka (Ukraine)Abstract
This thesis presents new methods to simulate systems with hydrodynamic and
electrostatic interactions.
Part 1 is devoted to computer simulations of Brownian particles with hydrody-
namicinteractions. ThemaininfluenceofthesolventonthedynamicsofBrownian
particles is that it mediates hydrodynamic interactions. In the method, this is sim-
ulated by numerical solution of the Navier–Stokes equation on a lattice. To this
end,theLattice–Boltzmannmethodisused,namelyitsD3Q19version. Thismodel
is capable to simulate compressible flow. It gives us the advantage to treat dense
systems, in particular away from thermal equilibrium. The Lattice–Boltzmann
equation is coupled to the particles via a friction force. In addition to this force,
acting on point particles, we construct another coupling force, which comes from
the pressure tensor. The coupling is purely local, i. e. the algorithm scales linearly
with the total number of particles. In order to be able to map the physical prop-
erties of the Lattice–Boltzmann fluid onto a Molecular Dynamics (MD) fluid, the
case of an almost incompressible flow is considered. The Fluctuation–Dissipation
theorem for the hybrid coupling is analyzed, and a geometric interpretation of the
friction coefficient in terms of a Stokes radius is given.
Part 2 is devoted to the simulation of charged particles. We present a novel
method for obtaining Coulomb interactions as the potential of mean force between
charges which are dynamically coupled to a local electromagnetic field. This al-
gorithm scales linearly, too. We focus on the Molecular Dynamics version of the
method and show that it is intimately related to the Car–Parrinello approach,
while being equivalent to solving Maxwell’s equations with freely adjustable speed
of light. The Lagrangian formulation of the coupled particles–fields system is de-
rived. The quasi–Hamiltonian dynamics of the system is studied in great detail.
For implementation on the computer, the equations of motion are discretized with
respect to both space and time. The discretization of the electromagnetic fields on
a lattice, as well as the interpolation of the particle charges on the lattice is given.
The algorithm is as local as possible: Only nearest neighbors sites of the lattice are
interacting with a charged particle. Unphysical self–energies arise as a result of the
lattice interpolation of charges, and are corrected by a subtraction scheme based
on the exact lattice Green’s function. The method allows easy parallelization using
standard domain decomposition. Some benchmarking results of the algorithm are
presented and discussed.iiZusammenfassung
Die vorliegende Dissertation stellt neue Methoden zur Simulation von Systemen
mit hydrodynamischer und elektrostatischer Wechselwirkung vor.
Teil 1 widmet sich der Computersimulation von Brown’schen Teilchen mit hy-
drodynamischer Wechselwirkung. Der wichtigste Einfluß des L¨osungsmittels auf
die Dynamik der Brown’schen Teilchen besteht darin, daß es hydrodynamische
Wechselwirkungen vermittelt. In der vorgestellten Methode wird dies simuliert
durch numerische L¨osung der Navier–Stokes–Gleichung auf einem Gitter. Hi-
erzu wird die “Lattice Boltzmann”–Methode benutzt, und zwar in ihrer sogenan-
nten “D3Q19”–Version. Dieses Modell ist imstande, kompressible Str¨omungen zu
simulieren. Dies hat den Vorteil, daß dichte Systeme studiert werden k¨onnen, ins-
besondere auch unter Nichtgleichgewichtsbedingungen. Die “Lattice Boltzmann”–
Gleichung wird mit den Teilchen ub¨ er eine Reibungskraft gekoppelt. Zus¨atzlich
zu dieser Kraft, die auf Punktteilchen wirkt, konstruieren wir eine weitere Kraft,
die vom Drucktensor herruhrt.¨ Diese Kopplung ist streng lokal, d. h. der Al-
gorithmus skaliert linear mit der Gesamtzahl der Teilchen. Um imstande zu
sein, die physikalischen Eigenschaften der “Lattice Boltzmann”–Flussigk¨ eit auf
diejenigen einer Molekulardynamik–Flussigk¨ eit abzubilden, wird der Fall einer fast
inkompressiblenStr¨omungbetrachtet. DieAnalysedesFluktuations–Dissipations–
Theorems fur¨ die Hybridkopplung fuhrt¨ auf eine geometrische Interpretation des
Reibungskoeffizienten im Sinne eines Stokes–Radius.
Teil2widmetsichderSimulationgeladenerTeilchen. Wirpr¨asentiereneineneue
Methode, um Coulomb–Wechselwirkungen als das “potential of mean force” zwis-
chen Ladungen zu erhalten, die dynamisch an ein lokales elektromagnetisches Feld
angekoppelt werden. Dieser Algorithmus skaliert ebenfalls linear. Wir konzentri-
erenunsaufdieMolekulardynamik–VersionderMethode,undzeigen,daßeinenger
Zusammenhang zum Car–Parrinello–Verfahren besteht. Außerdem wird gezeigt,
daß die Methode auf die L¨osung der Maxwell–Gleichungen mit frei anpaßbarer
Lichtgeschwindigkeit hinausl¨auft. Die Lagrange’sche Formulierung des gekoppel-
ten Systems Teilchen–Felder wird hergeleitet. Die quasi–Hamilton’sche Dynamik
des wird im Detail studiert. Zur Implementation auf dem Computer wer-
den die Bewegungsgleichungen sowohl r¨aumlich als auch zeitlich diskretisiert. Die
Diskretisierung der elektromagnetischen Felder auf dem Gitter sowie die Interpo-
lation der Teilchenladungen auf das Gitter werden angegeben. Der Algorithmus
ist so lokal wie nur m¨oglich: Nur die n¨achsten Nachbarn des Gitters wechselwirken
mit einem geladenen Teilchen. Die Gitter–Interpolation der Ladungen fuhrt¨ zu
unphysikalischen Selbstenergien; diese werden durch ein Subtraktionsverfahren ko-
rrigiert, welches auf der exakten Gitter–Greensfunktion beruht. Die Methode l¨aßt
sich mit Standard–Gebietszerlegung leicht parallelisieren. Einige “Benchmark”–
Testergebnisse des Algorithmus werden vorgestellt und diskutiert.ivContents
Introduction 3
I. Simulation of hydrodynamics 5
1. Local hybrid method for hydrodynamic interactions 7
1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Lattice-Boltzmann method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. A 3D model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Equilibrium distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Collision operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3. External forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4. Fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Decay rate of longitudinal waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Simulations of sound modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6. Realization of the coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7. Diffusion properties of LJ and LB mixture . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8. Modification of the coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.1. Pressure and counter pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.2. Modification of the stochastic force . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9. Fluctuation–Dissipation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.Technical details and numerical tests . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II. Simulation of electrostatics 31
2. Trying to understand the evolution of charged systems 33
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Car–Parrinello method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1. Kohn-Sham equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2. Molecular Dynamics in the coupled electron–ion parameter
space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Analysis of current simulation methods . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1. Optimized Ewald summation . . . . . . . . . . . . . . . . . 38vi Contents
2.3.2. Fast multipole method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3. Lattice methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4. Various drawbacks of the present day simulation schemes for
Coulomb interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4. Monte Carlo method for constrained electrostatics . . . . . . . . . . 42
2.4.1. Lattice Gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.2. Formulation of Quantum Electrodynamics on a lattice . . . 45
2.4.3. Electrostatics as a variational problem with constraint . . . 51
2.5. What one should definitely not do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1. The Lagrangian of the constrained system . . . . . . . . . . 55
2.5.2. Introducing units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.3. The simulation technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3. Maxwell equations Molecular Dynamics 67
3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2. Lagrangian treatment of dynamics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3. Hamiltonian description of the coupled system . . . . . . . . . . . . 73
3.4. A Liouville like theorem for non-Hamiltonian dynamics . . . . . . . 74
3.5. Thermalized electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6. Discretized electromagnetic La