Numerical methods for axisymmetric equilibrium magnetic fluid shapes [Elektronische Ressource] / von Olga Lavrova

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• Mathematics
• Physik

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• Publié par: otto-von-guericke-universitat_magdeburg
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Deutsch
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Extrait

Numerical methods
for axisymmetric equilibrium
magnetic- uid shapes
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr.rer.nat.)
von Dipl.-Math. Olga Lavrova
geb. am 24. April 1979 in Minsk, Wei russland
genehmigt durch die Fakult at fur Mathematik
der Otto-von-Guericke-Universit at Magdeburg
Gutachter:
Prof. Dr. rer. nat. habil. Lutz Tobiska
Prof. Dr. Viktor Polevikov
Prof. Dr. rer. nat. habil. Eberhard B ansch
eingereicht am: 01. M arz 2006
Verteidigung am: 03. Juli 2006i
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit leistet einen Beitrag zur Modellierung und Numerik freier Randwert-
probleme mit kapillaren Ober achen. Die Problematik, die in der Arbeit betrachtet wird, ist die
Entwicklung, Untersuchung und Umsetzung numerischer Methoden zur Berechnung von in der
Gleichgewichtslage eingestellten axialsymmetrischen Ober achenformen von Ferro uiden unter
dem Ein u eines station aren au eren Magnetfeldes. Die entwickelten mathematischen Mod-
elle und numerischen L osungsmethoden werden an konkreten Beispielen erprobt und veri ziert.
Als Beispiele betrachten wir die Ober achenform eines Ferro uidtropfens, die Ober achenform
einer Luftblase in magnetischen Flussigk eit und die Entstehung von einzelnen Stacheln auf der
Ober ache einer horizontal unendlich ausgedehnten Ferro uidsc hicht.
Die axialsymmetrischen statischen Ober achenformen von Ferro uiden lassen sich mathema-
tisch mit Hilfe eines gekoppelten Modells beschreiben. Das Modell besteht aus den Maxwell-
Gleichungen im Gebiet, das vom Ferro uid und der umgebenden Luft eingenommen wird,
sowie der Young-Laplace-Gleichung auf der freien Grenz ache. Die Grenz ache zwischen Fer-
ro uid und Luft ist a-priori unbekannt und wird durch die Weckselwirkung von Magnetfeld und
Ober achenform bestimmt. Es wird eine iterative teilproblem-orientierte Entkopplungsstrate-
gie angegeben, mit deren Hilfe das Gesamtproblem in ein magnetostatisches Problem in einem
Gebiet mit bekannter Grenz ache und ein Ober achenproblem mit bekanntem Magnetfeld zer-
legt wird. Die unterschiedliche Struktur der beiden Teilprobleme setzt verschiedene numerische
Approximationstechniken voraus.
Die entwickelte gekoppelte BEM-FEM-Strategie ist gut fur die Untersuchung und Berech-
nung der Maxwell-Gleichungen geeignet. Aufgrund der Fernfeld-Randbedingung wird eine
Randelement-Methode (BEM) zur Diskretisierung der Maxwell-Gleichungen im Gebiet der
umgebenden Luft bevorzugt. Die Nichtlinearit at des magnetostatischen Problem im Gebiet, das
vom Ferro uid eingenommen wird, erfordert den Einsatz der Finite-Elemente-Methode (FEM).
Eine direkte Darstellung von Randintegralgleichungen und ihre Diskretisierung mit Hilfe der
Kollokationsmethode bieten ein geeignetes numerisches Verfahren zur Laplace-Gleichung an, die
die Maxwell-Gleichungen im Gebiet der umgebenden Luft in Form eines Potenzials beschreibt.
Die Konvergenz der stuc kweise konstanten Kollokation-Randelementmethode fur exakt darge-
stelltem Rand sowie fur Approximationen des Randes mit stuc kweise linearen Funktionen und
kubischen Splines wird untersucht. Die Kopplung der Kollokation-Randelementmethode im Ge-
biet der umgebenden Luft und der Galerkin-Finite-Elemente-Methode im Gebiet, das vom Fer-
ro uid eingenommen wird, wird programmtechnisch umgesetzt. Eine Approximation des Poten-
zials mittels stuc kweise linearer Funktionen und eine Approximation der Normalenableitung des
Potenzials auf der freien Grenz ache mittels stuc kweise konstanter Funktionen werden verwen-
det. Die Untersuchung der numerischen Konvergenz des magnetostatischen Problems auf einer
2 2Sph are liefert die Absch atzung in der r-gewichtetenL -Norm mit der Konvergenzrateh .
Die Anwendung von Finite-Elemente-Methoden erfordert die Konstruktion geeigneter Gitter.
Bei der Konstruktion der Gitter werden eine Delaunay-Technik sowie ein Verfahren der har-
monischen Erweiterung eingesetzt. Beide Vorgehensweisen werden im Hinblick auf die Qualit atii
der generierten Gitter sowie auf die Rechenzeiten zur Gittergenerierung verglichen.
Die Ober achenformen werden bezuglic h der Bogenl ange parametrisiert. Aufgrund der para-
metrischen Darstellung der freien Ober achen wird die Young-Laplace-Gleichung in ein System
von gew ohnlichen Di eren tialgleichungen umgeschrieben. Dieses System wird mit einer Finite-
Di erenzen-Metho de oder mit der Spline-Methode diskretisiert. Beide Diskretisierungsmeth-
oden fuhren auf algebraische Gleichungssysteme. Die Stabilit at der iterativen Verfahren zur
L osung der algebraischen Gleichungssysteme wird im Hinsicht auf eine Unter-Relaxation-Tech-
nik numerisch untersucht.
Eine spezielle Methode zur Konstruktion der Gitter auf der Grenz ache wird dargestellt. Die
Methode basiert sich auf Daten fur die Ober achenkrumm ung und erlaubt eine gute Approxi-
mation der Grenz acheform, falls starke Deformationen auftreten.
Numerische Ergebnisse zum gekoppelten Modellproblem der Berechnung von in der Gleich-
gewichtslage eingestellten axialsymmetrischen Ober achenformen von Ferro uidtropfen unter
dem Ein u eines station aren Magnetfeldes werden gezeigt und diskutiert. Die numerischen
Ergebnisse werden insbesondere mit elliptischen Ober achenformen aus der Literatur ver-
glichen, die analytisch durch Minimierung der Energie bestimmt wurden. Statische Ober a-
chenformen mit gespitzten Endpunkten werden bei der numerischen Testrechnungen beobach-
tet. Das fuhrt auf wesentlichen Abweichungen von der elliptischen Form. Der Ubergang zwis-
chen Ober achen mit abgerundeten Endpunkten und kegelf ormigen Formen wird numerisch
gezeigt. Die Ober achenformen von Ferro uidtropfen werden in einem breiten Bereich der Mag-
netfeldst arke numerisch berechnet. Aufgrund der Randelementmethode zur Diskretisierung des
axialsymmetrischen Potenzialproblems treten Schwierigkeiten bei der numerischen Berechnung
in der N ahe der Symmetrieachse auf.
Numerische Ergebnisse zum Modellproblem der Berechnung der Ober achenform einer Luft-
blase in magnetischer Flussigk eit unter dem Ein u eines station aren au en Magnetfeldes wer-
den gezeigt und diskutiert. Das Verhalten eines Ferro uidtropfens wird mit dem Verhalten
einer Luftblase in magnetischer Flussigk eit verglichen.
Numerische Ergebnisse zum Modellproblem der Berechnung einzelner Stachel auf der Ober a-
che einer horizontal unendlich ausgedehnten Ferro uidsc hicht werden gezeigt und diskutiert.
Die Ergebnisse werden mit den mit der linearen Stabilit atsanalyse hergeleiteten theoretis-
chen Aussagen verglichen. Die statische Ober achenformen werden fur verschiedene Werte
der Magnetfeldst arke und fur verschiedene Typen von Ferro uiden numerisch berechnet. Die
axialsymmetrischen numerischen Ergebnisse werden mit Ergebnissen fur das dreidimensionalen
Modell verglichen. Ein axialsymmetrisch einzelnes Obe achenmuster, das sich von dem bei der
Rosensweig-Instabilit at bekanntem Muster unterscheidet, wird numerisch bestimmt.iii
Acknowledgement
I am very grateful to Prof. Dr. Lutz Tobiska for having supervised my research work. I
am highly thankful for his constant inspiration and thank sincere for the invaluable experience,
gained from working with him.
Many ideas of the research is due to a fruitful collaboration with Ass. Prof. Viktor Polevikov
from the Belarusian State University. I am very grateful to him for the numerous discussions,
valuable advises and support.
I am grateful to Prof. Dr. Eberhard B ansch and Ass. Prof. Viktor Polevikov for refereeing
the thesis.
I express my sincere gratitude to all colleagues at the Institute for Analysis and Numerical
Mathematics for the pleasant working environement. I thank Univ.-Prof. Dr. Volker John, Dr.
Gunar Matthies, Dr. Teodora Mitkova and Dipl.-Math. Piotr Skrzypacz for their help in the
research and the fruitful cooperation. A special acknowledgement goes to Dr. Gunar Matthies
for his assistance. I am grateful to Dr. Teodora Mitkova for reading the thesis in draft form
and o ering constructive suggestions for its improvement.
I acknowledge for the nancial support the State Sachsen-Anhalt and the German Research
Foundation (DFG) within the DFG-priority program \Colloidal Magnetic Fluids: Basics, De-
velopment and Application of New Ferro uids".
I thank my husband, parents and my brother for their moral and warm-hearted encourage-
ment, giving a power to bring the e orts to conclusion.Contents
1 Introduction 1
2 Mathematical model 7
2.1 Maxwell’s equations for magnetostatic eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Young-Laplace equation for magnetic uids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Cylindrical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Decoupling strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Boundary element and nite element methods for the magnetostatic problem 13
3.1 Boundary element method for the Laplace equation . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Direct formulation of boundary integral equations . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.2 Boundary discretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.3 Collocation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Boundary elementd for magnetostatic problem . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Finite element method for the . . .