Numerical simulation of relativistic laser plasma interaction [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Julia Maria Schweitzer

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Numerical Simulation ofRelativistic Laser-PlasmaInteractionI n a u g u r a l - D i s s e r t a t i o nzurErlangung des Doktorgrades derMathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨atder Heinrich-Heine-Universit¨at Dus¨ seldorfvorgelegt vonJulia Maria Schweitzeraus KrefeldJuni 2008Mathematisches Institutder Heinrich-Heine-Universit¨at Dus¨ seldorfGedruckt mit der Genehmigung derMathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at derHeinrich-Heine-Universit¨at Dusse¨ ldorfReferent: Prof. Dr. Marlis HochbruckKoreferent: Prof. Dr. Karl-Heinz SpatschekTag der mundlic¨ hen Prufung¨ : 03.07.2008Numerical Simulation ofRelativistic Laser-PlasmaInteractionAbstractIn this thesis, we consider the numerical simulation of problems arising in relativistic laser-plasma physics.In a short introduction to the physical problem we derive the model equations, which turnout to be nonlinear wave equations and nonlinear Schr¨odinger equations. In this thesis, weconsider exponential integrators of two different types for the solution of these equations.First we consider Gautschi-type exponential integrators to solve nonlinear wave equations.We present a short overview on the theoretical properties of such methods. Then we detaila one- and two-dimensional implementation for our particular application. To achievean efficient implementation, we employ physical properties of the solution.

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Publié le 01 janvier 2008
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Numerical Simulation of
Relativistic Laser-Plasma
Interaction
I n a u g u r a l - D i s s e r t a t i o n
zur
Erlangung des Doktorgrades der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at
der Heinrich-Heine-Universit¨at Dus¨ seldorf
vorgelegt von
Julia Maria Schweitzer
aus Krefeld
Juni 2008Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universit¨at Dus¨ seldorf
Gedruckt mit der Genehmigung der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at der
Heinrich-Heine-Universit¨at Dusse¨ ldorf
Referent: Prof. Dr. Marlis Hochbruck
Koreferent: Prof. Dr. Karl-Heinz Spatschek
Tag der mundlic¨ hen Prufung¨ : 03.07.2008Numerical Simulation of
Relativistic Laser-Plasma
Interaction
Abstract
In this thesis, we consider the numerical simulation of problems arising in relativistic laser-
plasma physics.
In a short introduction to the physical problem we derive the model equations, which turn
out to be nonlinear wave equations and nonlinear Schr¨odinger equations. In this thesis, we
consider exponential integrators of two different types for the solution of these equations.
First we consider Gautschi-type exponential integrators to solve nonlinear wave equations.
We present a short overview on the theoretical properties of such methods. Then we detail
a one- and two-dimensional implementation for our particular application. To achieve
an efficient implementation, we employ physical properties of the solution. In the one-
dimensionalcase,weperformextensivecomparisonstoastandardmethodanddemonstrate
the superior performance of the exponential integrator for this problem. For the two-
dimensional case, we consider different geometries and present a parallelized scheme. The
means of parallelization are tailored to the problem and the different modifications of the
integrator in use. We give some comparisons to a standard method, too. Moreover, we
present a physical application, where our code was used to optimize the setup of a plasma
lens to focus the laser pulse.
In the second part of this thesis, we propose and analyze exponential Rosenbrock-type
integrators for the solution of stiff or oscillatory first order systems of differential equations
such as the Schr¨odinger equation. For these methods, we present a thorough convergence
and stability analysis in a semigroup framework and study the influence of perturbations
on the method. Moreover, we detail a variable step size implementation employing Krylov
subspace techniques to evaluate the matrix functions times some vectors. We present an
extensive comparison to other methods used for such problems and demonstrate, that our
implementationiscompetitive. Finally, wesolvethenonlinearSchr¨odingerequationarising
in the laser-plasma context with the exponential Rosenbrock-type integrator.
iiiNumerical Simulation of
Relativistic Laser-Plasma
Interaction
Zusammenfassung
In dieser Arbeit betrachten wir die numerische L¨osung von Problemen aus der relativisti-
schen Laser-Plasma-Physik.
In einer kurzen Einleitung in das physikalische Problem leiten wir die Modellgleichungen
her. DabeihandeltessichumnichtlineareWellengleichungenundnichtlineareSchr¨odinger-
Gleichungen. Zu deren L¨osung stellen wir zwei verschiedene Typen von exponentiellen
Integratoren vor.
Im ersten Teil der Arbeit betrachten wir exponentielle Verfahren vom Gautschi-Typ, um
¨nichtlineare Wellengleichungen zu l¨osen. In einem kurzen Uberblick fassen wir die theoreti-
schen Resultate zu diesen Verfahren zusammen. Dann stellen wir eine ein- und zweidimen-
sionaleImplementierungfur¨ unsereAnwendungimDetailvor. UmeineeffizienteImplemen-
tierungzuerhalten,habenwirunsphysikalischeEigenschaftenderL¨osungzunutzegemacht.
Im eindimensionalen Fall zeigen wir ausfuhr¨ liche Vergleiche mit einem Standardverfahren
¨unddamitdieUberlegenheitdesexponentiellenVerfahrensfur¨ dieseAnwendung. Imzweidi-
mensionalen Fall betrachten wir verschiedene Koordinatensysteme und passen die Methode
den verschiedenen F¨allen an. Außerdem zeigen wir, wie man das Programm effizient pa-
rallelisieren kann, indem man auch hier die verschiedenen Modifizierungen beruc¨ ksichtigt.
Dieses Programm vergleichen wir ebenfalls mit einem Standardverfahren. Zum Schluss
zeigen wir Ergebnisse unseres Programms, mit denen eine Plasmalinse zur Fokussierung
eines Laserpulses optimiert wurde.
Im zweiten Teil der Arbeit stellen wir exponentielle Verfahren vom Rosenbrock-Typ vor.
Diese kann man zur L¨osung von steifen oder oszillatorischen Systemen von Differentialglei-
chungen erster Ordnung benutzen. Zu diesen geh¨oren unter anderem auch Schr¨odinger-
Gleichungen. Wir geben eine detailierte Konvergenz- und Stabilit¨atsanalyse in einem theo-
retischen Rahmen von Halbgruppen an. Zus¨atzlich wird der Einfluss von St¨orungen un-
tersucht. Wir zeigen außerdem, wie man diese Methoden mit variabler Schrittweite und
Krylov-Verfahren zur Approximation von Matrix-Vektor-Multiplikationen implementiert.
Diese Implementierung vergleichen wir ausfuhrlic¨ h mit anderen Methoden, die fur¨ diese
Probleme benutzt werden und zeigen, dass das neue Verfahren konkurenzf¨ahig ist. Zum
Schluss l¨osen wir die Schr¨odinger-Gleichung aus der physikalischen Anwendung mit dem
exponentiellen Rosenbrock-Verfahren.
iiiivContents
Preface 1
Chapter 1 Physical problem 3
1.1. Introduction to laser-plasma physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Hydro-dynamic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Klein-Gordon equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. Vector and scalar potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2. Reduction of the equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3. Different geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Schr¨odinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1. Comoving frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2. Slowly-varying envelope approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chapter 2 Integrators for wave equations 19
2.1. St¨ormer-Verlet leap-frog method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Gautschi-type exponential integrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Two-step formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2. One-step formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chapter 3 1D Simulation 25
3.1. Physical example in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
v3.2. Numerical schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1. Spatial discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2. Time discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3. Choice of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.4. Quasi-envelope approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.5. Multilevel approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.6. Overall numerical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3. Exemplary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1. Description of the simulated problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2. Effect of different time integration schemes . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.3. Effect of choice of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.4. Effect of quasi-envelope approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.5. Effect of two-level approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.6. Comparison with PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chapter 4 2D Simulation 41
4.1. Numerical schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1. Gautschi-type exponential integrator for time-discretization. . . . . . 41
4.1.2. Implementation of exponential integrators . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.3. Spatial discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.4. Adaptivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.5. Moving simulation window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.6. Parallelization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2. Exemplary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.1. Laplacian splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.2. Effect of different time integration schemes . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.3. Parallelization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
vi4.2.4. Example for a physical application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Chapter 5 Exponential Rosenbrock-type methods 63
5.1. Exponential integrators for 1st order systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.1. Method class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1.2. Reformulation of the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2. Analytic framework and preliminary error analysis . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.1. Defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.2. Preliminary error bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.3. Stability bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3. Error bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4. Methods of order up to four . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5. Non-autonomous problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.6. Error bounds for perturbed methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6.1. General perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6.2. Inexact Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.7. Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.7.1. Step size control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.7.2. Matrix functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.8. Numerical Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.9. Nonlinear Schr¨odinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.10.Analytic semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
viiviii