Numerical treatment of the Black-Scholes variational inequality in computational finance [Elektronische Ressource] / von Karin Mautner

Mautner Karin

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 15
• Langue: English
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Extrait

Numerical Treatment of the Black-Scholes Variational
Inequality in Computational Finance
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Frau Dipl.Ing. Karin Mautner
geboren am 17.07.1979 in Wien
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr. Wolfgang Coy
Gutachter:
1. Prof. Dr. Carsten Carstensen
2. Prof. Dr. Ralf Kornhuber
3. Prof. Dr. Martin Brokate
eingereicht am: 22. Mai 2006
Tag der mündlichen Prüfung: 15. Dezember 2006Abstract
Among the central concerns in mathematical finance is the evaluation of American options.
An American option gives the holder the right but not the obligation to buy or sell a certain
financial asset within a certain time-frame, for a certain strike price. The valuation of
Americanoptionsisformulatedasanoptimalstoppingproblem. Ifthestockpriceismodelled
byageometricBrownianmotion, thevalueofanAmericanoptionisgivenbyadeterministic
parabolic free boundary value problem (FBVP) or equivalently a non-symmetric variational
inequality on weighted Sobolev spaces on the entire real lineR.
To apply standard numerical methods, the unbounded domain is truncated to a bounded
one. Applying the Fourier transform to the FBVP yields an integral representation of the
solution including the free boundary explicitely. This integral representation allows to prove
explicit truncation errors.
Since the variational inequality is formulated within the framework of weighted Sobolev
spaces, we establish a weighted Poincaré inequality with explicit determined constants. The
truncation error estimate and the weighted Poncaré inequality enable a reliable a posteriori
error estimate between the exact solution of the variational inequality and the semi-discrete
solution of the penalised problem onR.
Asufficientregularsolutionprovidestheconvergenceofthesolutionofthepenalisedproblem
to the solution of the variational inequality. An a priori error estimate for the error between
theexactsolutionofthevariationalinequalityandthesemi-discretesolutionofthepenalised
problem concludes the numerical analysis.
The established a posteriori error estimates motivates an algorithm for adaptive mesh re-
finement. Numerical experiments show the improved convergence of the adaptive algorithm
compared to uniform mesh refinement. The choice of different truncation points reveal the
influence of the truncation error estimate on the total error estimator.
This thesis provides a semi-discrete reliable a posteriori error estimates for a variational
inequality on an unbounded domain including explicit truncation errors. This allows to
determine a truncation point such that the total error (discretisation and truncation error)
is below a given error tolerance.
Keywords:
American options, variational inequality, Finite Element discretisation, error analysisZusammenfassung
In der Finanzmathematik hat der Besitzer einer amerikanische Option das Recht aber nicht
die Pflicht, eine Aktie innerhalb eines bestimmten Zeitraums, für einen bestimmten Preis zu
kaufen oder zu verkaufen. Die Bewertung einer amerikanische Option wird als so genanntes
optimale stopping Problem formuliert. Erfolgt die Modellierung des Aktienkurses durch eine
geometrische Brownsche Bewegung, wird der Wert einer amerikanischen Option durch ein
deterministisches freies Randwertproblem (FRWP), oder eine äquivalente Variationsunglei-
chung auf ganzR in gewichteten Sobolev Räumen gegeben.
Um Standardmethoden der Numerischen Mathematik anzuwenden, wird das unbeschränkte
Gebiet zu einem beschränkten Gebiet abgeschnitten. Mit Hilfe der Fourier-Transformation
wird eine Integraldarstellung der Lösung die den freien Rand explizit beinhaltet hergeleitet.
Durch diese Integraldarstellung werden Abschneidefehlerschranken bewiesen.
Da die Variationsungleichungin gewichteten Sobolev Räume formuliert wird, werden gewich-
tete Poincare’ expliziten Konstanten bewiesen. Der Abschneidefehler und die gewichtete
Poincare’ Ungleichung ermöglichen einen zuverlässigen a posteriori Fehlerschätzer zwischen
der exakten Lösung der Variationsungleichung und der semidiskreten Lösung des penalisier-
ten Problems aufR herzuleiten.
Eine hinreichend glatte Lösung der Variationsungleichung garantiert die Konvergenz der
Lösung des penaltisierten Problems zur Lösung der Variationsungleichung. Ein a priori Feh-
lerschätzer für den Fehler zwischen der exakten Lösung der Variationsungleichung und der
semidiskreten Lösung des penaltisierten Problems beendet die numerische Analysis.
DieeingeführtenaposterioriFehlerschätzermotiviereneinenAlgorithmusfüradaptiveNetz-
verfeinerung.NumerischeExperimentezeigendieverbesserteKonvergenzdesadaptivenVer-
fahrens gegenüber der uniformen Verfeinerung. Die Wahl von unterschiedlichen Abschneide-
punktenillustrierendenAnteildesAbschneidefehlerschätzersandemGesamtfehlerschätzers.
Diese Arbeit präsentiert einen zuverlässigen semidiskreten a posteriori Fehlerschätzer für
eine Variationsungleichung auf einem unbeschränkten Gebiet, der den Abschneidefehler be-
rücksichtigt. Dieser Fehlerschätzer ermöglicht es, den Abschneidepunkt so zu wählen, daß
der Gesamtfehler (Diskretisierungsfehler plus Abschneidefehler) kleiner als einer gegebenen
Toleranz ist.
Schlagwörter:
Amerikanische Optionen, Variationsungleichung, Finite Elemente Diskretisierung,
FehleranalysisTo my parents and ChristofContents
1 Introduction 1
2 Option Pricing 8
2.1 Pricing European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 The Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Options on Dividend Paying Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Pricing American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 An Optimal Stopping Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 A Free Boundary Value Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 A Linear Complimentary Formulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 Some Properties of American options . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Mathematical Analysis 15
3.1 European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Black-Scholes Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.2 Existence and Uniqueness of the Solution . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 The Black-Scholes inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Variational Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3 Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.1 American Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2 Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Truncation Error Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.1 Some Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.2 Decay Behaviour for American Put Options . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.3 Decay Behaviour of the First and Second Spatial Derivative . . . . . 42
3.4.4 Decay Behaviour for American Call Options . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Transformations 52
4.1 The Black-Scholes Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 The Black-Scholes Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.1 First Approach – Homogenous Initial Condition . . . . . . . . . . . . 59
4.2.2 Second Approach – Obstacle ψ≡ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Numerical Analysis 62
5.1 Continuous Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Semi-discrete Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
ixx Contents
5.2.1 American Put Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.2 American Call O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
15.3 Approximation in H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68η
5.4 A posteriori Error Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5 A priori Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.5.1 Penalisation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.5.2 Discretisation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Numerics 95
6.1 Method of Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Adaptive Mesh Refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.1 Refinement Indicator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.2 Adaptive Finite Element Method . .