On the chirally rotated Schrödinger functional with Wilson fermions [Elektronische Ressource] / Jénifer González López. Gutachter: Michael Müller-Preussker ; Karl Jansen ; Giancarlo Rossi

Frau Dipl.-Phys. Jenifer Gonzalez Lopez

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• Publié le: 01 janvier 2011
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• Langue: English
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Extrait

On the chirally rotated Schrödinger functional
with Wilson fermions
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Physik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen
Fakultät I
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Frau Dipl.-Phys. Jenifer González López
geboren am 14.06.1982 in Cacabelos Spanien
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Jan-Hendrik Olbertz
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen
Fakultät I:
Prof. Dr. Andreas Herrmann
Gutachter:
1. Prof. Dr. Michael Müller-Preussker
2. Dr. habil. Karl Jansen
3. Prof. Dr. Giancarlo Rossi
eingereicht am: 25. März 2011
Tag der mündlichen Prüfung: 25. Mai 2011To my parents
a mis padresv
Abstract
There are many phenomena in nature, such as the appearance of hadrons as bound states
ofquarksandgluonsorspontaneouschiralsymmetrybreaking, whicharecloselylinkedtothe
low energy regime of QCD. From a theoretical point of view, these low energy phenomena
can be dealt with only by means of non-perturbative methods. Often, as in the case of
quark masses or the strong coupling constant, a non-perturbative renormalization of QCD
is required. It is the central goal of this thesis to provide a framework for such a non-
perturbative renormalization. For that purpose, we employ a 4-dimensional lattice as a
regulator of QCD. As a renormalization scheme, we propose a finite volume Schrödinger
functional scheme and here in particular, the chirally rotated Schrödinger functional (χSF).
We first perform analytical studies of the χSF at tree-level of perturbation theory, in the
continuum and on the lattice. We study the eigenvalue spectrum of the continuum Dirac op-
erator, equipped with chirally rotated SF boundary conditions, and derive the corresponding
quark propagator. We then determine the tree-level quark propagator on the lattice, employ-
ing massless Wilson fermions as a regulator of the theory. Beyond tree-level, all studies are
performed in the quenched approximation of QCD, as a first, computationally much simpler
step to understand the properties of the newly proposed χSF scheme.
One of the main targets of the present work, has been to perform the non-perturbative
tuning of the two required coefficients of theχSF scheme, such that a well defined continuum
limit can be reached. We demonstrate, as the first main result of this thesis, that the tuning
is feasible and that, moreover, physical quantities are insensitive to the particular
condition. As in any lattice regularization with SF-like boundary conditions, there are also
in theχSF a couple of counterterms at the boundaries, whose coefficients need to be tuned in
ordertoremovetheO(a)discretizationeffectsoriginatedattheboundaries. However, besides
these boundary O(a) effects, the χSF is expected to be compatible with bulk automatic
O(a)-improvement. We show here that, indeed, the scaling behavior of physical quantities is
2
consistent with leading O(a ) discretization effects. This result, furthermore, indicates that
2
the boundary effects do not spoil the O(a ) scaling behavior of physical observables.
The other most important achievement of this thesis, has been to demonstrate that the
χSF scheme, with the here computed tuning coefficients, leads to the correct continuum
limit. For this purpose, we have performed universality tests of the continuum limit, at
three different values of the renormalization scale and through the computation of several
physical quantities of interest. These are the renormalization group invariant mass of the
strange quark and the step scaling functions of the pseudo-scalar density and the non-singlet
twist-2 operators, O and O . The final results in the continuum limit are compared to12 44
those obtained using the SF scheme in its standard form, with two different regularizations,
standard and clover Wilson fermions. We clearly find an agreement, in the continuum limit,
between the results from the χSF and the two regularizations of the standard SF. This
agreement is another evidence of the universality of the continuum limit.
The conclusion of these results is that the χSF is a promising scheme to perform non-
perturbative renormalizations while maintaining bulk automatic O(a)-improvement. This
opens the most relevant prospect that theχSF can be safely used in future non-perturbative
computations of renormalization factors also beyond the quenched approximation.
Keywords:
Lattice QCD, renormalization, improvement, chiral symmetryvi
Zusammenfassung
Viele Phänomene in der Natur, wie etwa das Auftreten der Hadronen als gebundene Zu-
stände von Quarks und Gluonen oder die Brechung der chiralen Symmetrie, sind eng ver-
knüpft mit dem Niederenergieverhalten der QCD. Diese Niederenergie-Phänomene können
allerdings von der theoretischen Seite her nur mit rein nicht-perturbativen Methoden behan-
delt werden. Es ist dabei oft der Fall, dass wichtige Größen der QCD, wie die Quarkmassen
oder die starke Kopplungskonstante, eine nicht-perturbative Renormierung benötigen. Es
ist das zentrale Thema dieser Dissertation, einen Rahmen für solch eine nicht-perturbative
Renormierung bereitzustellen. Zu diesem Zweck werden wir ein 4-dimensionales Gitter als
eine Regularisierung der QCD verwenden. Als Renormierungsschema schlagen wir vor, das in
einem endlichen Volumen definierte Schrödingerfunktional, und hier insbesondere das chiral
gedrehte Schrödingerfunktional (chirally rotated, χSF), als Renormierungsschema einzuset-
zen.
Auf dem Baumgraphenniveau werden wir als ersten Schritt eine analytische Rechnung im
Kontinuum und auf dem Gitter durchführen. Dabei werden wir das Eigenwertspektrum des
Dirac-Operators mit chiral gedrehten Randbedingungen im Kontinuum betrachten und den
entsprechenden Propagator ableiten. Wir werden dann diesen Propagator auf einem Git-
ter bestimmen, wobei wir masselose Wilson-Fermionen benutzen. Sämtliche Untersuchungen
über das Baumgraphenniveau hinaus werden als ersten Schritt in der wesentlich Computer-
zeit günstigeren Valenzquark-Approximation der QCD durchgeführt, um die Eigenschaften
des erst kürzlich vorgeschlagenen χSF, besser zu verstehen.
Eines der Hauptziele ist es dabei, die im χSF benötigten Koeffizienten nicht-perturbativ
so einzustellen, dass ein wohl-definierter Kontinuumlimes durchgeführt werden kann. Als ein
erstes Hauptresultat dieser Dissertation zeigen wir, dass solch eine Feineinstellung der Para-
meter desχSF durchführbar ist und dass physikalische Größen nicht sensitiv auf die spezielle
Wahl der Bedingung zur Einstellung der Parameter sind. Wie in jeder Gitter-Regularisierung
mitSF-artigenRandbedingungengibtesauchimχSFzweiGegentermeamRand,dessenKo-
effizienten nicht-perturbativ eingestellt werden müssen, um die O(a)-Diskretisierungseffekte,
die von den Rändern herrühren, zu kürzen. Allerdings kann erwartet werden, dass neben
diesen O(a) Effekten am Rand, das χSF vollständig verträglich mit der O(a)-Verbesserung
ist. Wir zeigen hier, dass in der Tat das Skalierungsverhalten physikalischer Größen konsis-
2
tent mit führendenO(a ) Diskretisierungseffekten ist. Dieses Resultat deutet darüberhinaus
2
darauf hin, dass die Randeffekte dasO(a ) Skalierungsverhalten physikalischer Observablen
nicht verletzt.
Das andere, sehr wichtige Ergebnis dieser Arbeit ist der Nachweis, dass das χSF Schema
mit den hier berechneten Verbesserungskoeffizienten, zu einem korrekten Kontinuumlimes
führt. Zu diesem Zweck haben wir Universalitätstests des Kontinuumlimes durchgführt, wo-
bei wir drei unterschiedliche Werte der Renormierungsskala verwendet und mehrere uns
interessierende physikalische Größen berechnet haben. Dies sind die renormierungsgruppen-
invariante Masse des Strange-Quarks, sowie die Stufenskalierungsfunktionen (SSF) der pseu-
doskalaren Dichte und der nicht-singlett, Twist-2 Operatoren O und O . Die endgültigen12 44
Resultate für diese Observablen werden dann im Kontinuumlimes mit denjenigen verglichen,
wie sie mit dem Standard Schrödingerfunktional-Schema erzielt wurden, wobei zwei Regula-
risierungen, reine Wilson und clover verbesserte Wilson Fermionen verwendet wurden. Die
Übereinstimmung der Ergebnisse ist eine weitere Evidenz der Universalität des Kontinuum-
limes.
Wir können deshalb den Schluss ziehen, dass das χSF ein viel versprechendes Renormie-
rungsschema darstellt, um eine nicht-perturbative Renormierung vorzunehmen und dabei
gleichzeitig die automatische O(a)-Verbesserung aufrecht erhalten. Dies eröffnet den sehr
wichtigen Ausblick, dass das χSF in zukünftigen nicht-perturbativen Berechnungen von Re-
normierungskonstanten auch über die Valenzquark-Approximation hinaus eingesetzt werden
kann.
Schlagwörter:
Gitter QCD, Renormierung, Verbesserung, Chirale Symmetrievii
Contents
1 Introduction 1
2 QCD on the lattice 5
2.1 The QCD action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Gauge fields on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 QCD path integral on the lattice . . . . . . . .