On the inversion methods of strong gravitational lensing [Elektronische Ressource] / presented by Jarosław P. Rzepecki

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• Physik

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• Publié par: ruprecht-karls-universitat_heidelberg
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 4 Mo

Extrait

DISSERTATION
SUBMITTED TO THE
COMBINED FACULTIES FOR THE NATURAL SCIENCES AND FOR MATHEMATICS
OF THE RUPERTO-CAROLA UNIVERSITY OF HEIDELBERG, GERMANY
FOR THE DEGREE OF
DOCTOR OF NATURAL SCIENCES
PRESENTED BY
DIPLOM-PHYSIKER JAROSŁAW P. RZEPECKI
BORN IN OLSZTYN, POLAND
ORAL EXAMINATION: DECEMBER 12, 2007ON THE INVERSION METHODS
OF
STRONG GRAVITATIONAL LENSING
REFEREES: PROF. DR. MATTHIAS BARTELMANN
PROF. DR. JOACHIM WAMBSGANSS
SUPERVISORS: DR. MARCO LOMBARDI
DR. PIERO ROSATIZusammenfassung
In dieser Dissertation pra¨sentiere ich eine neue Methode zur Inversion der Linsen-
gleichung. Der pra¨sentierte Algorithmus basiert auf dem Modifizierten Hausdorff-
Abstand zwischen beobachteten und modell- erzeugten Bo¨gen als eine Funktion der
Fit-Gu¨te. Die Minimierung dieser Funktion der Fit-Gu¨te hat sich als sehr erfolgreich
zur Auffindung des Linsenpotentials herausgestellt, da sie relativ einfach zu berech-
nen ist und die volle Information nicht nur der Bogenpositionen sondern auch ihrer
Formentha¨lt. WeitereMinimierungs-Schemata,darunterPowell,MarkovChainMonte
Carlo und Genetische Algorithmen, werden untersucht, und es wird gezeigt, dasz sie
kombiniertdiebestenResultateliefern. Dieentwickelte MethodewirdmitgroszemEr-
folg auf den Starklinsen-Galaxienhaufen RCS0224-0002 angewandt. Das resultierende
Modell ist in der Lage, alle beobachteten Starklinsen-Eigenschaften dieses Haufens im
Detail wiederzugeben, be- vorzugt das NIS radiale Profil gegenueber NFW und sagt
eineverblu¨ffendeVerschiebungumfuenfBogensekundenzwischendemMassenschw-
erpunkt und dem Zentrum der Roentgenemission voraus. Zum Abschlusz wird die
Doku- mentation des Softwarepakets (C++ und IDL) zur Implementierung der Inver-
sionsmethode praesentiert.
Abstract
In this dissertation I present a novel method of inverting the lensing equation. The
presented algorithm is based on Modified Hausdorff Distance between observed and
model produced arcs as a goodness of fit function. Minimizing this goodness of fit
function has proven to be very successful in finding the lensing potential, since it is
relative simple to compute and contains the full information about not only the arcs
positions,butalsotheirshapes. Furthervariousminimizationschemes,includingPow-
ell, Markov CainMonte Carlo and Genetic Algorithms, are investigated andproved to
givethebestresultsifcombinedtogether. Thedevelopedmethodisapplied,withgreat
success, to the strong lensing galaxy cluster RCS0224-0002. The resulting modelis able
toreproduce,indetail,alltheobservedstronglensingfeaturesofthiscluster,favorsthe
NIS radial profile over NFW, and predicts an intriguing 5 arc sec shift between center
ofthemassandtheX-rayemission. Finallythedocumentationofthesoftware package
(C++andIDL)implementingtheinversionmethodispresented.Contents
AbstractoftheDissertation v
Acknowledgments xi
1 IntroductiontoGravitationalLensing 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Importance oflensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Historicalnote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Physicsbehindlensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 BasicLensingTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Computationalmethods 27
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 InversionMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 GeneralizedIsothermalEllipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 GeneralizedNFW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Goodnessoffit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Distance intheimageplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 Minimalsource size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
vii2.3.3 ModifiedHausdorffDistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Minimizationmethods 45
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Powellalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 MCMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 Basictheory ofMarkov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.2 TheMetropolis algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.3 Finite MarkovChains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 GeneticAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.1 crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.2 mutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.3 Real-valuedparametersencoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 StrongLensingAnalysisoftheclusterRCS0224-0002 59
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Arcidentificationandclustermembers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 X-rayemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.1 Massprofiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5.2 Minimizationmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5.3 Extendedimages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.7 Erroranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.9 TheWaytoPerfection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.9.1 Single IsothermalEllipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.9.2 Single IsothermalEllipsoidwithSubstructure . . . . . . . . . . . . 80
4.9.3 TwoIsothermalEllipsoidswithFourSources . . . . . . . . . . . . . 82
4.10 PreliminaryResultsfromGeneticAlgorithmMinimization . . . . . . . . . 845 TheSummary 91
A Software 93
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.2 Classestosupportmodelconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A.3 Classestosupportdataholding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.4 Classestosupporttheminimizationmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.5 Helperfunctionsandutilityfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.6 GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.7 Exampleprogramusage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.7.1 IDLExample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.7.2 C++example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Bibliography 141