On the topology and geometry of Kac-Moody groups [Elektronische Ressource] / von Andreas Mars

Description

On the topology and geometry ofKac–Moody groupsVom Fachbereich Mathematikder Technischen Universität Darmstadtzur Erlangung des Grades einesDoktors der Naturwissenschaften(Dr.rer.nat.)genehmigteDissertationvonDipl.-Math. Andreas Marsaus Frankfurt am MainTag der Einreichung: 21.10.2010Tag der Prüfung: 03.02.2011Referent: PD dr. Ralf Gramlich1. Korreferent: Prof. Dr. Nils Scheithauer2. Kt: Prof. Dr. Linus KramerDarmstadt 2011D 17Contents1. Introduction 11.1. Structure of this thesis and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Definitions and Basics 92.1. RGD systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. (Twin) BN-pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3. (Twin) buildings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Topological twin buildings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5. Kac–Moody groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6. The adjoint representation of a Kac–Moody group . . . . . . . . . . . . . . 212.7. Group actions on buildings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.8. Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.9. Flips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.10.Amalgams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.11.

Sujets

• Mathematics

Informations

• Publié par: technischen_universitat_darmstadt
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 34
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

OnthetopKac–Moologyoadyndgroupsgeometryof

VomFachbereichMathematik
derTechnischenUniversitätDarmstadt
einesGradesdesErlangungzurhaftenNaturwissenscderDoktorsrer.(Dr.nat.)genehmigte

Dissertation

t:Referent:orreferenK1.t:orreferenK2.

TagderEinreichung:
agTPrüfung:der

onvMarsAndreasDipl.-Math.MainamrankfurtFaus

21.10.201003.02.2011

hGramlicRalfdr.PDheithauerScNilsDr.Prof.KramerusLinDr.Prof.

2011Darmstadt17D

Contents

ductionIntro1.1.1.Structureofthisthesisandmainresults...................

csBasiandDefinitions2.2.1.RGDsystems..................................
2.2.(Twin)BN-pairs................................
2.3.(Twin)buildings................................
2.4.Topologicaltwinbuildings...........................
2.5.Kac–Moodygroups...............................
2.6.TheadjointrepresentationofaKac–Moodygroup..............
2.7.Groupactionsonbuildings...........................
2.8.Topology.....................................
2.9.Flips.......................................
2.10.Amalgams....................................
2.11.Centralextensions...............................
2.12.Openproblem..................................

3.TheKac–Petersontopology
3.1.PropertiesoftheKac–Petersontopology...................
3.2.AnequivalentdescriptionoftheKac–Petersontopology...........
3.3.Theinducedtopologyontheunitaryform..................
3.4.Openproblems.................................

yRigidit4.4.1.Assumptionsandpreliminaries.........................
4.2.Conjugacyclassesoftori............................
4.3.ToridefinedoverR...............................
4.4.Asufficientconditionfortheisomorphismtheorem.............
4.5.Theisomorphismtheorem...........................
4.6.Openproblems.................................

12

991012141521232425272829

3131363839

41414447505255

iii

tstenCon

5.Orbitstructuresintopologicalbuildings
5.1.BuildingsofsplitKac–Moodygroupsoverk-fields.............
ω5.2.OrbitsofBorelsubgroups...........................
5.3.Orbitsoftheunitaryform...........................
5.4.Concludingremarks&openproblems.....................

6.CentralextensionsofKac–Moodygroupsoverrings
6.1.Assumptionsandcomments..........................
6.2.TheSteinberggroupascentralextension...................
6.3.TheSchurmultiplier..............................
6.4.Openproblems.................................

A.Topologicaltwinbuildings
A.1.Theprojectionmap...............................
A.2.ThetwinbuildingofasplitKac–Moodygroup................
A.3.Somebasictopology..............................

Bibliography

Index

ryGlossa

iv

5757616670

7373748389

19919396

99

107

114

ZusammenfassungDeutsche

DieinnerhalbvorliegendederTheorieArbeitdberescKac–Mohäftigtosichmitdy-Grupptopen.ologiscDiesehensindundnatürlicgeometrischeVhenFerallgemeinerungenragestellungen
vonjektesChevwardiealley-GruppBeantwenortungüberkommfolgenderutativFenRingenragestellungenmitvonEins.zenImtralerLaufedesBedeutung.Promotionspro-

•SeiGD(F)eineKac–Moody-Gruppe,definiertübereinemtopologischenKörperF,
welchereinkω-Körper1ist.MachtdieKac–Peterson-TopologieaufGD(F)dieGruppe
zueinerHausdorffschentopologischenGruppe?IstdieseGruppekω?

DieseFrageergabsichnatürlicherweiseausderArbeit[GGH10].Dortwurdegezeigt,
dassdieKac–Peterson-TopologiereelleundkomplexeKac–Moody-Gruppenzukω-Gruppen
macht.DiesesResultatwirdinKapitel3verallgemeinert.

•SeiGD(R)eineKac–Moody-GruppeübereinemIntegritätsbereichR.Istesmöglich,
dieIsomorphismenzwischenzweiKac–Moody-GruppenGD(R)undGD(R)zuklassi-
fizieren?FallsGD(R)=∼GD(R),sinddannauchdiezugehörigenWurzeldatenDund
Disomorph?WieverhaltensichdieAutomorphismenvonGD(R)imVergleichzu
denenvonGD(F),wobeiFderQuotientenkörpervonRist?

In[Cap09]wurdendieIsomorphismenzwischenzweiKac–Moody-GruppenüberKörpern
bestimmt.DerBeweisbenutztdieWirkungaufdemzugehörigenZwillingsgebäude.Ich
verwende,dassKac–Moody-GruppenüberIntegritätsbereichenaufdenGebäudenderKac–
Moody-GruppenüberdenQuotientenkörpernwirkenundbestimmedieIsomorphismenmit
ts.al-zu-global-ArgumenlokeinesHilfe

•IstdasnatürlicheZwillingsgebäudeeinerKac–Moody-GruppeGD(F)(ausgestattet
mitderKac–Peterson-Topologie)übereinemkω-KörperFeintopologischesZwillings-
gebäudeimSinnevon[Har06,Definition3.1.1]?Fallsja,wiesiehtdietopologische
BahnenstrukturspeziellerUntergruppenvonGD(F)aufdemGebäudeaus?
1ZurErinnerung:EinHausdorffschertopologischerRaumisteinkω-Raum,wennerdirekterLimeseiner
Körper,aufsteigendendessenzuabzählbarenGrundeFliegendolgeverontopkologompakisctehernTRaumeilmengeneinkωist.-RaumEinkist.ω-Körperisteintopologischer

v

ImsphärischenFallwurdein[BS87]einZusammenhangzwischenLie-Gruppenund
sphärischentopologischenGebäudennachgewiesen.DieArbeit[Har06]verallgemeinertdie
Resultate,welchewiederumhierinnochallgemeineremKontextbewiesenwerden.
DieseFragenwerdenindervorliegendenArbeitdiskutiertundgelöst,einigeweiterführende
FragestellungenwerdenformuliertundmöglicheVerallgemeinerungenderpräsentierten
skizziert.Resultate

tswledgemenknocAIwouldliketoexpressmysincerethankstomanypeople.Firstofall,Iwouldliketo
nameRalfGramlich.Iamgratefulnotonlyforthesupervisionofthisthesis,butalsofor
the“supervision”inmanyotheraspects;especiallyforallthecake:-)
Second,RafaelDahmen,JanEssert,MaxHorn,Markus-LudwigWermerandStefan
Witzelhavedoneagreatjobinproofreadingofthisthesis.Also,Iwouldliketothank
Ralf,Max,MarkusandStefanforuncountablymanydiscussionsonthetopicofthisthesis.
Further,KarlHeinrichHofmann,HelgeGlöcknerandKai-UweBuxhadsomeinfluence
onthecontentsofthisthesis;eitherbyaskingquestions,orbyhelpingtosolvethem(or
oth).benevsometimesIalsothankmyfamilyandfriends,especiallythosewhoarenotnamedhere,forgivingme
supportinwhicheverwaytheydid.GerlindeGehringdealtwithalmostalladministrative
issueswhicharoseduringthisproject,forwhichIamverygrateful.
Also,IgratefullyacknowledgepartialfundingfromtheDeutscheForschungsgemeinschaft
(DFG)viaresearchgrantGR-2077/7.
Lastbutfarfromleast,IexpressmygratitudetoSonjaFriedrich.Perhapsyoudid
nothavemuchdirectinfluenceonthecontentsofthisthesis–butcertainlyonmylife.
!youThank

vi

1CHAPTER

ductionIntro

ThetopicofthisthesisaretopologicalKac–Moodygroups,theirtopologicalandgeometrical
propertiesandrelatedproblems.Weshallfirstgiveashorthistoricaloverview,thensketch
themainresultsofthisthesis.

Thereisawell-establishedtheoryofcomplexsemisimpleLiegroupsandtheircorres-
pondingcomplexLiealgebras.Moreover,exponentiationanddifferentiation,respectively,
provideacloseconnectionbetweenthesetwoconcepts.Asgeneralisationofcomplexfinite-
dimensionalsemisimpleLiealgebras,Kac–Moodyalgebrasoverfieldsofcharacteristiczero
werefirstintroducedindependentlyofeachotherbybothV.Kac[Kac68]andR.Moody
[Moo68]inthelate1960’s.Asiswellknown,acomplexfinite-dimensionalsemisimpleLie
algebramaybereconstructedfromitsCartanmatrix,acertainpositivedefiniteintegral
matrix.ItwasobservedomittingtheassumptionpositivedefinitestillyieldsaLiealgebra
usingthesamemethodofconstruction,however,theresultingLiealgebrawillnolongerbe
general.infinite-dimensionalSoonafterin[KP83b],[KP85]and[Kac85],Kac–Moodygroupsweredefined.Firstly,
thegroupswereobtainedusingintegrationoftheadjointrepresentationofaKac–Moody
algebraonitselfinafashionsimilartotheoneusedwhen(re)constructingadjointLiegroups
oralgebraicgroupsfromtheirLiealgebras.Inthissense,Kac–Moodygroupsassociatedto
Kac–MoodyalgebrasbehavelikeLiegroupsassociatedtoLiealgebras.Themaindifference
comparedtofinite-dimensionalLiegroupsisthattheunderlyingrootsystemisnolonger
assumedtobespherical,orequivalently,finite.
Anotherwell-knowngeneralisationof(linear)Liegroupsarealgebraicgroupsover
arbitraryfieldsandChevalleygroupsoverarbitrarycommutativerings.Fromthispoint
ofview,itseemsnaturaltoaskifonecanalsogeneraliseKac–Moodygroupstoother
fields,ormaybeevencommutativerings.Tryingtogeneralisetheoriginaldefinition
inthestraightforwardmannerhitsuponaseriousobstacle:Integrationoftheadjoint
representationontheKac–Moodyalgebraonlyworksinthecasewheretheunderlyingfield
isofcharacteristiczero,otherwisethedenominatorintheexponentialseriesmaybecome
zero.Assolutiontothisproblem,J.TitsgaveafunctorialdescriptionofKac–Moody

1

ductiontroIn1.Chapter

groupsthesis).ovFerorthefieldsofcategorycofharacteristiccommutativzeroetheseunitaltworingsinapproac[Tit87hes](seecoincidealso(cf.[SectionTit872.5]),ofhencethis
thefunctorialdefinitiongeneralisestheconstructionsketchedabove.
groups,Manysee[resultsTit87ab]orout[KP83aKac–Mo].oFordyexamgroupsple,havebgeneratorseenandobtainedrelationstreatinghavebthemeenascomputedabstract
in[KP85]and[DMGH09].Moreover,P.-E.CapraceandB.Mühlherrgaveasolutionto
theanalogytoisomorphismthesphericalproblemcaseforofsplitChevKaalleyc–Moogroupsdygroupsdefinedino[verCM06fi],elds.[CM05This]andresult[hasCap09b]eenin
extendedrecentlytoquasi-splitgroupsincharacteristiczeroin[Hai10].
Inaseriesofpapers(amongstothers[KP83b],[KP85]andlater[Kit08],[Kum02])
toptopologyologyonenteredsplittheKac–Mopicture.odygIn[roupsKP83b],definedtheoverauthorsinalgebraicallytroducetheclosedweakfieldsandofcstrongharacteristicZariski
zeroandproveaPeter–Weyl-typeTheorem,butasinthecaseofalg