Partitions aléatoires et théorie asymptotique des groupes symétriques, des algèbres d'Hecke et des groupes de Chevalley finis, Random partitions and asymptotic theory of symmetric groups, Hecke algebras and finite Chevalley groups

Pierre-Loïc Méliot

Description

Sous la direction de Philippe Biane
Thèse soutenue le 17 décembre 2010: Paris Est
Au cours de cette thèse, nous avons étudié des modèles de partitions aléatoires issus de la théorie des représentations des groupes symétriques et des groupes de Chevalley finis classiques, en particulier les groupes GL(n,Fq). Nous avons démontré des résultats de concentration gaussienne pour :- les q-mesures de Plancherel (de type A), qui correspondent à l'action de GL(n,Fq) sur la variété des drapeaux complets de (Fq)^n, et sont liées à la théorie des représentations des algèbres d'Hecke des groupes symétriques.- l'analogue en type B du modèle précédent, correspondant à l'action de Sp(2n,Fq) sur la variété des drapeaux totalement isotropes complets dans (Fq)^2n.- les mesures de Schur-Weyl, qui correspondent aux actions commutantes de GL(N,C) et Sn sur l'espace des n-tenseurs d'un espace vectoriel de dimension N.- et les mesures de Gelfand, qui correspondent à la représentation du groupe symétrique qui est la somme directe sans multiplicité de toutes les représentations irréductibles de Sn.Dans chaque cas, nous avons établi une loi des grands nombres et un théorème central limite tout à fait semblable à la loi des grands nombres de Logan-Shepp-Kerov-Vershik (1977) et au théorème central limite de Kerov (1993) pour les mesures de Plancherel des groupes symétriques.Nos résultats peuvent presque tous être traduits en termes de combinatoire des mots, et d'autre part, les techniques employées sont inspirées des techniques de la théorie des matrices aléatoires. Ainsi, on a calculé pour chaque modèle l'espérance de fonctions polynomiales sur les partitions, qui jouent un rôle tout à fait analogue aux polynômes traciaux en théorie des matrices aléatoires. L'outil principal des preuves est ainsi une algèbre d'observables de diagrammes de Young, qu'on peut aussi interpréter comme algèbre de permutations partielles. Nous avons tenté de généraliser cette construction au cas d'autres groupes et algèbres, et nous avons construit une telle généralisation dans le cas des algèbres d'Hecke des groupes symétriques. Ces constructions rentrent dans le cadre très abstrait des fibrés de semi-groupes par des semi-treillis ; dans le même contexte, on peut formaliser des problèmes combinatoires sur les permutations, par exemple le problème du calcul des nombres de Hurwitz
-Partitions aléatoires
-Théorie des représentations
-Groupes symétriques
-Groupes linéaires GL (n Fq)
During this thesis, we have studied models of random partitions stemming from the representation theory of the symmetric groups and the classical finite Chevalley groups, in particular the groups GL(n,Fq). We have shown results of gaussian concentration in the case of:- q-Plancherel measures (of type A), that correspond to the action of GL(n,Fq) on the variety of complete flags of (Fq)^n, and are related to the representation theory of the Hecke algebras of the symmetric groups.- the analogue in type B of the aforementioned model, that corresponds to the action of Sp(2n,Fq) on the variety of complete totally isotropic flags in (Fq)^2n.- Schur-Weyl measures, that correspond to the two commuting actions of GL(N,C) and Sn on the space of n-tensors of a vector space of dimension N.- Gelfand measures, that correspond to the representation of the symmetric group which is the multiplicity-free direct sum of all irreducible representations of Sn.In each case, we have established a law of large numbers and a central limit theorem similar to the law of large numbers of Logan-Shepp-Kerov-Vershik (1977) and to Kerov's central limit theorem (1993) for the Plancherel measures of the symmetric groups. Almost all our results can be restated in terms of combinatorics of words, and besides, the tools of the proofs are inspired by the usual techniques of random matrix theory. Hence, we have computed for each model the expectation of polynomial functions on partitions, that play a role similar to the tracial polynomials in random matrix theory. The principal tool of the proofs is therefore an algebra of observables of diagrams, that can also be interpreted as an algebra of partial permutations. We have tried to generalize this construction to the case of other groups and algebras, and we have constructed such a generalization in the case of the Hecke algebras of the symmetric groups. These constructions belong to the abstract setting of semilattice bundles over semigroups; in the same setting, one can formalize combinatorial problems on permutations, for instance the problem of computing the Hurwitz numbers
-Random partitions
-Representation theory
-Symmetric groups
-Linear groups GL(n Fq)
Source: http://www.theses.fr/2010PEST1033/document

Sujets

• Représentation de groupe

Informations

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• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Thèse de doctorat
pour l’obtention du grade de
Docteur de l’Université Paris-Est
Spécialité Mathématiques
au titre de l’École Doctorale de Mathématiques et des Sciences
et Techniques de l’Information et de la Communication.
Présentéeet soutenue publiquement par
Pierre-Loïc Méliot
le vendredi17 décembre 2010.
Partitions aléatoires et théorie asymptotique des
groupes symétriques, des algèbres d’Hecke et
des groupes de Chevalley finis
Sous la direction de
Philippe Biane,
et devantle jury composé par
Rapporteurs : Alexei Borodin,
Cédric Lecouvey,
Examinateurs : Philippe Bougerol,
Ashkan Nikeghbali,
Jean-Yves Thibon,
Directeur : Philippe Biane.
tel-00587770, version 1 - 21 Apr 2011Kit meanwhile had begun to frequent the Applied Mechanics Institute. Since Prandtl’s recent dis-
covery of the boundary layer, things over there had been hopping, with intense inquiry into matters
of lift and drag, powered flight poised like a new-feathered bird at the edge of history. Kit had
not thought much about aerodynamics since his brainless sojourn in the Vibe embrace, when in the
course of golfing parties out on Long Island he had become acquainted with the brambled guttie, a
gutta-perchaballsystematicallyroughenedawayfromtheperfectlysphericalbymoldinglittleknobs
alloverthe surfacearea. Whathecouldnothelpnoticingthen, eventhoughhe wasnotallthatcrazy
for the game, so inordinately populated by the likes of Scarsdale Vibe, was a particular mystery of
flight—the undeniable lift of heart in seeing a struck ball—a tee shot especially—suddenly go into
a steep ascent, an exhilarated denial of gravity you didn’t have to be a golfer to appreciate. There
being enough otherworldliness out on the links already. Finding himself more and more drawn to
the microcosm on the other side of the Bürgerstraße, Kit soon understood that the brambling of the
golf-ball surface had been a way to keep the boundary layer from detaching and falling apart into
turbulence which would tend to drag the ball down, denying it its destiny in the sky. When he
mentioned this in conversations at the saloons along the Brauweg frequented by engineering and
physics students, some immediately suggested implications for the Earth, a brambled spheroid on
the grand scale, in its passage through the Æther, being lifted not in the third dimension but on a
euphoric world-line through Minkowski’s “four-dimensional physics.”
“What happened to vectorism?” Yashmeen teased.
“There are vectors,” Kit replied, “and vectors. Over in Dr. Prandtl’s shop, they’re all straightfor-
wardliftanddrift,velocityandsoforth. Youcandrawpictures,ofgoodoldthree-dimensionalspace
if you like, or on the Complex plane, if Zhukovsky’s Transformation is your glass of tea. Flights of
arrows, teardrops. In Geheimrat Klein’s shop, we were more used to expressing vectors without
pictures, purely as an array of coefficients, no relation to anything physical, not even space itself,
and writing them in any number of dimensions—according to Spectral Theory, up to infinity.”
“And beyond,” added Günther, nodding earnestly.
InHilbert’sclassoneday,sheraisedherhand. Hetwinkledathertogoahead. “HerrGeheimrat—”
“’Herr Professor’is good enough.”
“The nontrivial zeroes of the z-function...”
“Ah.”
She was trembling. She had not had much sleep. Hilbert had seen that sort of thing before, and
rather a good deal of it since the turn of the century—since his own much-noted talk at the Sor-
bonne, he supposed, in which he had listed the outstanding problems in mathematics which would
be addressedin the coming century, among them that of the zeroes of the z-function.
“Might they be correlated with eigenvalues of some Hermitian operator yet to be determined?”
The twinkle, as some reported later, modulated to a steady pulsation. “An intriguing suggestion,
Fräulein Halfcourt.” Usually he addressed her as “my child.” “Let us consider why this should
be so.” He peered, as if she were an apparition he was trying to see more clearly. “Apart from
eigenvalues, by their nature, being zeroes of some equation,” he prompted gently.
“There is also this... spine of reality.” Afterward she would remember she actually said “Rückgrat
von Wirklichkeit.” “Though the members of a Hermitian may be complex, the eigenvalues are real.
1The entries on the main diagonal are real. The z-function zeroes which lie along Real part = /2, are
symmetrical about the real axis, and so...” She hesitated. She had seen it, for the moment, so clearly.
“Let us apply some thought,” said Hilbert. “We will talk about this further.” But she was to leave
Göttingen shortly after this, and they would never have the chance to confer. As years passed, she
would growdim for Hilbert, her words those of an inner spritetoo playful to frame a formal propo-
sition, or to qualify as a fully habilitated Muse. And the idea itself would evolve into the celebrated
Hilbert-Pólya Conjecture.
T. Pynchon, AgainsttheDay,p.678-679,2006.
tel-00587770, version 1 - 21 Apr 2011Remerciements
Mes premiers remerciements sont bien sûr adressés à mon directeur de thèse, Philippe
Biane, qui m’a proposé il y a trois ans de travailler sur ce sujet. Il m’a laissé une liberté totale
dansmestravaux, toutenprodiguantdeprécieuxconseils.Lemeilleurqu’ilait pumedonner
fut sans doute de regarderdes exemples de petite taille, et de faire des calculs explicites dans
ces cas; à peu près tous les résultats de cette thèse ont été découverts à partir du moment
où j’ai suivi ce simple précepte. Au-delà de l’aspect mathématique, j’ai eu un grand plaisir à
travailler sous la direction d’une personne si agréable et joyeuse.
À l’autre bout de la frise chronologique, je remercie Alexei Borodin et Cédric Lecouvey
qui ont accepté le rôle de rapporteur et qui ont pris la peine de lire ce mémoire et de m’aider
à le corriger et à l’améliorer. Je remercie également Philippe Bougerol, Ashkan Nikeghbali et
Jean-Yves Thibon, qui ont accepté de se joindre aux rapporteurs pour constituer mon jury de
thèse, et de se déplacer pour assister à ma soutenance.
Au cours de ma thèse, l’équipe de combinatoire algébrique de Marne-La-Vallée m’a con-
stamment soutenu, et les séminaires du vendredi matin m’ont beaucoup appris. Les discus-
sions qui s’y déroulent n’ont rien à envier à l’avalanche scientifico-baroque décrite dans le
passage de [Pyn06] cité ci-contre; et de nombreuses idées me sont venues aux cours de
ces échanges. Je remercie donc tout particulièrement Florent Hivert, Alain Lascoux, Jean-
Christophe Novelli, Jean-Yves Thibon, Nicolas Thiéry, et tous les autres participants de cette
formidable assemblée. Je remercie également tous les thésards de l’équipe, qui ont grande-
mentcontribuéàfairedemathèseunmomentagréable:AdrienBoussicault,Jean-PaulBultel,
Hayat Cheballah, Valentin Féray, Samuele Giraudo, Viviane Pons et Marc Sage. Un remercie-
mentparticulierdoitêtreadresséàValentin,avecquij’ai coécritmonpremierarticle ([FM10]).
C’est lui qui m’a suggéré l’utilisation des observables de diagrammes pour l’étude asympto-
tiquedesdiagrammesdeYoung,etquim’amontrél’importancedel’algèbredespermutations
partielles; et ma thèse aurait sans doute été bien moins fructueuse sans ces suggestions.
Une partie de ma thèsequi n’est quasiment pas évoquéedans ce mémoire est l’écriture de
programmes permettant de tirer au hasard des partitions selon les mesures de Plancherel et
leursdiversesdéformations,etdefairedescalculs dansdiversesalgèbrescombinatoires.Dans
ce cadre, j’ai profité pleinement de l’émergence et du développement du système de calcul
formel sage; j’en remercie donc les développeurs, et plus particulièrement Florent Hivert et
Nicolas Thiéry, qui m’ont aidé à corriger certains de mes programmes.
Durant ces trois années, j’ai eu plusieurs fois la possibilité de voyager pour assister à
des conférences et rencontrer d’autres chercheurs : c’est une autre partie de la thèse n’est
pas relatée ici, et ce fut pourtant l’une des plus agréables, puisque j’ai eu la chance de dé-
couvrir (dans cet ordre) Montréal, Cargese, Zürich, San Francisco, Bielefeld, et en chacun
iii
tel-00587770, version 1 - 21 Apr 2011de ces lieux des personnalités étonnantes et des mathématiques rafraichissantes (ou récipro-
quement). Je remercie ainsi Kürsat Aker, Gérard Ben Arous, Marek Bozejko, Maciej Dołega,
´Ashkan Nikeghbali, Eric Nordenstam, Piotr Sniady et Anatoli Vershik pour les discussions
que j’ai eues avec eux lors de ces voyages. Je remercie également infiniment Sylvie Cach et
Line Fonfrede pour leur aide efficace dans l’organisation de ces voyages. J’ai également pu
participer à quelques conférences ou séminaires tenus à Paris même; concernant ceux-ci, je
remercie Florent Benaych-Georges, qui m’a laissé exposerles résultats d’Okounkov ([Oko00])