Pascal et l'analyse infinitésimale - article ; n°3 ; vol.15, pg 303-320

François Russo

Description

Revue d'histoire des sciences et de leurs applications - Année 1962 - Volume 15 - Numéro 3 - Pages 303-320
18 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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• Publié par: REVUE_D-HISTOIRE_DES_SCIENCES_ET_DE_LEURS_APPLICATIONS
• Publié le: 01 janvier 1962
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français
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Extrait

François Russo.
Pascal et l'analyse infinitésimale
In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1962, Tome 15 n°3-4. pp. 303-320.
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Russo. François. Pascal et l'analyse infinitésimale. In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1962, Tome 15
n°3-4. pp. 303-320.
doi : 10.3406/rhs.1962.4426
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1962_num_15_3_4426Pascal et l'analyse infinitésimale
Dans l'histoire de l'analyse infinitésimale Pascal occupe chro
nologiquement une place centrale d'un particulier intérêt. Ses
travaux, élaborés entre 1650 et 1660 environ, se situent après
ceux de Stevin, Descartes, Roberval, Cavalieri, Torricelli, Grégoire
de Saint- Vincent, Tacquet. Ils sont à peu près contemporains
de ceux de Fermât et Huygens, qui comptent d'ailleurs parmi ses
correspondants. Ils précèdent ceux de Leibniz et de Newton.
Nous voudrions présenter une vue d'ensemble des conceptions
et contributions de Pascal relatives à l'analyse infinitésimale.
Mais pour en bien saisir le sens et la valeur, il convient d'en préciser
l'originalité et donc de les situer par rapport aux travaux antérieurs
ou concomitants. Cette tâche est d'autant plus nécessaire que
nous voyons à cette époque se multiplier les travaux en ce domaine.
Nous ne pourrons cependant satisfaire qu'imparfaitement à cette
exigence en raison du manque d'études approfondies sur ces
questions et aussi en raison des développements auxquels elle
conduirait qui ne pourraient trouver place dans cet article (1).
* * *
Pour les besoins de l'exposé qui va suivre, il nous paraît néces
saire de donner la liste des travaux de Pascal sur l'analyse infin
itésimale ; nous y joindrons ceux qui concernent l'arithmétique, en
raison des liens assez étroits existant chez Pascal entre ces deux
ordres de problèmes, bien que certains traités d'arithmétique n'aient
qu'un rapport assez lointain avec l'analyse infinitésimale (2).
(1) Nous remercions M. Naux de l'aide précieuse qu'il nous a apportée dans notre
travail, par ses analyses de textes et ses nombreuses suggestions.
(2) Nous donnons les références à l'édition des Grands Écrivains de la France, indi
spensable pour un travail approfondi, du fait des introductions et notes qu'elle comporte
et que l'on ne retrouve pas dans l'édition, plus maniable, de la Pléiade. Dans la suite
de notre étude les références devront être ainsi lues : G.E., III, 45 = t. III de l'édi
tion des Grands Écrivains, p. 45. revue d'histoire des sciences 304
Traité du triangle arithmétique T. III, pp. 433-503
Trouvé imprimé à la mort de Pascal en 1662.
Était achevé en 1654. Première édition en 1665.
Traité des ordres numériques T. III, pp. 504-51 1 des : version différente T. III, pp. 512-527
Texte latin et texte français en regard.
Production des nombres consécutifs T. III, pp. 528-540
Texte latin et texte français en regard.
Résolution générale des puissances numériques T. III, pp. 541-555
Texte latin et texte français en regard.
Combinaisons T. III, pp. 556-592
Des nombres multiples T. III, pp. 312-340
Aurait été composé en 1654. Publié en 1665 à la
suite du Traité du triangle arithmétique. Texte latin et
français en regard.
Sommation des puissances numériques T. III, p. 341-367
Composé sans doute en 1654. Publié en 1665 à la
suite du Traité du triangle arithmétique. Les résultats
de cet écrit seront exposés de façon plus complète
dans le Traité des ordres numériques (cf. supra).
Texte latin et texte français en regard.
Première lettre circulaire relative à la cycloîde (juin 1658) T. VIII, pp. 343-347
Seconde lettre à la (juillet T. pp. 15-20
Troisième lettre circulaire relative à la cycloîde (7 et ' 9 octobre 1658) T. VIII, pp. 149-154
Histoire de la roulette (10 octobre 1658) T. pp. 179-223
Texte latin puis texte français.
Suite de VHistoire de la Roulette T. VIII, pp. 289-320
Texte français puis texte latin.
Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Carcavy T. VIII, pp. 327-384
A la fois titre d'une lettre et titre général d'un
recueil d'écrits, comportant, en plus de cette let
tre, la série suivante de traités, l'ensemble datant
de 1658 :
Traité des trilignes trirectangles et de leurs onglets T. IX, pp. 1-46
Propriétés des sommes simples triangulaires et pyramid
ales T. IX, pp. 47-60
Traité des sinus du quart de cercle T. IX, pp. 61-76 des arcs de cercle T. IX, pp. 77-104
Petit traité des solides circulaires T. IX, pp. 105-115
Traité général de la roulette T. IX, pp. 116-126
Lettre de A. Dettonville à Monsieur Sluze T. IX, pp. 135-149 de A. à A.D.D.S T. VIII, pp. 255-282
Addition à la Suite de VHistoire de la Roulette (20 jan
vier 1659) T. IX, pp. 165-172
De l'esprit géométrique (1658 ou 1659) T. IX, pp. 231-270
Lettre de A. Dettonville à M. Hugguens (février 1659) T. IX, pp. 187-204 PASCAL ET L'ANALYSE INFINITÉSIMALE 305
Les meilleures études sur l'analyse infinitésimale chez Pascal
sont deux articles du P. Bosmans : « La notion des indivisibles chez
Pascal », Archeion, 1923, pp. 369-379; « Sur l'œuvre mathématique de », Rev. des Questions scient., 1924, pp. 130-161 et 424-451.
I. — Allure générale de la pensée infinitésimale de Pascal
Par un « conservatisme » caractéristique, Pascal se refuse à user
du symbolisme et des signes opératoires de l'algèbre, cependant déjà
assez développée et répandue à son époque, à la suite notamment
des travaux de Viète, Descartes, Fermât. Il reste attaché au langage
géométrique et, éventuellement, mécanique, pour tout ce qui touche
les réalités infinitésimales et intégrales. Certes l'imperfection de ce
langage ne l'empêchera pas d'atteindre des résultats remarquables,
dont certains assez généraux. Mais, ce langage géométrique l'obl
igeant à des énoncés lourds et complexes, semble bien être une des
causes principales de la lente diffusion de ses travaux. Il l'a aussi
empêché d'apercevoir certains élargissements de perspectives.
Un autre trait important de l'œuvre infinitésimale de Pascal
concerne la manière dont y intervient la notion de fonction. Certes
cette notion ne se trouve pas nettement explicitée chez lui, mais
l'image qu'il utilise pour la représenter, le triligne rectangle,
constitue une courbe générale, qui répond à la notion générale
de fonction, alors que, chez Descartes, sont seules prises en consi
dération' les courbes ayant une expression algébrique ou, à la
rigueur, mécanique. On ne saurait trop souligner la supériorité
à cet égard de Pascal sur Descartes.
Comme la notion de triligne rectangle est à la base de la plus
grande part des considérations infinitésimales et intégrales de
Pascal, il importe dès maintenant de la définir.
Par triligne rectangle, Pascal entend une courbe monotone
comprise entre deux segments rectangulaires, l'un horizontal,
la base AC = a, l'autre vertical, Yaxe, AB = b (fig. 10). Les segments
parallèles à l'axe et limités par la courbe et la base sont appelés
ordonnées à la base, ou encore sinus sur la base (on remarquera
donc cet usage du terme sinus qui ne correspond pas- au sens
moderne) ou encore distance à la base ; de même les segments
parallèles à la base et limités par la courbe et l'axe sont appelés
ordonnées à Vaxe (1), sinus sur l'axe, distances à l'axe.
(1) Voir notamment : G.E., VIII, 365. REVUE D'HISTOIRE DES SCIENCES 306
Notons enfin une autre caractéristique générale de la pensée
infinitésimale de Pascal, qui distingue nettement en ce domaine
son œuvre de celles de la plupart des mathématiciens du xvne siècle,
à savoir qu'il ne s'occupe pas du problème des tangentes. Son
intérêt se porte à peu près exclusivement sur les sommations, les
intégrations requises pour le calcul des arcs, surfaces, volumes et
centres de gravité. Cette limitation explique, pour une grande
Axe
Ordonnée a l'axe f= sinus sur l'axe, distance à l'axe) M
Base