Physique Statistique

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Paris 7 Physique Statistique
PH 402
EXERCICES
–
Feuille 2 : Densit´es d’´etats d’une particule quantique
1 Densit´e d’´etats d’une partiqule “libre”
1. Calculer la densit´e ´energ´etique des ´etats stationnaires d’une partiqule “libre”, “non relativiste”, de
masse m, spin nul, dont les d´eplacements sont restreints `a un segment de longueur L. Comparer avec
la densit´e d’´etats ...

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Paris 7 PH 402 
PHYŝIQUe STaTIŝTIQUe EXERCICES Feuille2:Densite´sde´tatsduneparticulequantique
1ILRbeT´ŝIeNDaTeT´edaeNUdŝeLUQITR 1.aCcllure´e´energladensite´sestatite´deuqreaiusdatstnnioilrbluetrqienapiviselatnonre,ed,et massemiert`stnsnuaemgecelantmeonssestrntdelongueurips,epd´estlon,dulnnL. Comparer avec ladensit´ed´etatsdansunesituationencoreplusarticielle:lapartiqulesede´placesurunedroite innie,quasilibrementa`celapr`esquelonimposea`safonctiondondedˆetrep´eriodiqueavecla pe´riodeL. 2.emacpl´entsotsenniertsersenua`sttsde´etaemeplamˆuqelraiteldsodtnu´refdacnesrietctaDnegularie d’aireS? .lovedeuqide`pipeeumete´obıˆusendna´el´rallhepatanct´si´edatetelsdrapauqitlelerbiDneV? .sontmeomCapenqitrpstnuruonedulpiesseelrse´tnomid´r´ec´edesultatsps? .lp)exemere´me,fn´elielhurlumpoerarzagedsnosid(dasecsledomatunanDanednvsuumole ordinairementquotidien(disons1litre),a`tempe´raturedesaison(estimerl´energiemoyenneεde latome),estimerlenombred´etatsstationnairesd´energiecompriseentreεet 1,01ε. (Patrimoine 11 culturel de la physicienne standard : volume molaire d’un gaz parfait22 l,R8,K ,3 J mole 2334 NA6×10 ,h¯10 SI.)
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DeNŝITe´de´TaTŝdUNeaRTIQULeReLaTIVIŝTe Onconsid`ereunepartiqulelibrerelativistedansuneboıˆtee´tanche.Dansun´etatpropredela quantite´demouvement~p, la fonction d’onde correspondant est encore de la forme exp(i~p~r/h¯) et 2 2 2 2 4 l´energievautε=c p+m csnedalreluclaC.rnontalesivi.ettielamielre´ir.Envtatsd´eit´e
PaRTIQULedeŝIN1/2eNR´eŝeNcedUNcHaMMagN´eTIQUe −→ Unepartiqulecharge´edespin1/2´evoluedansunchampmagn´etiqueBuniforme et constant, dans uneboıˆtee´tanche.L´energiedune´tatstationnaireapourexpression 2 p ε=¨µB, 2m −→ selonquesonmomentmagne´tiqueestdansun´etatpropreparall`eleouantiparalle`lea`B. Calculer les densit´esde´tatscorrespondantesρ±(εsiupedaltisnote´leta)ρ(ε).
DeNŝIT´ed´eTaTŝ´eLecTRONIQUeŝdaNŝUNcRIŝTaL Une´lectronestmobiledansuncristal`aunedimensiondelongueurL, comportantN-satome´sqeiuid tants.Ladistanceentredeuxatomesconse´cutifsesta=L/N. Dans l’approximation dite des “liaisons fortesapplicableaucaso`ulese´lectronsrestentfortementli´esauxnoyaux,onmontrequela relationentrele´nergieetlenombredondedele´lectronestdonn´eepar
ε=Wcoska,
π/a < k < π/a.
Les conditions aux limites imposent par ailleursk=n2π/L, ounest un entier surnaturel. Calculer ladensit´ed´etatsρ(εorecspredaone.ntrbouacrlceratt,enortcele´led)
5ŝdeNeD´TIŝ´deTaTeNaRTIQULeŝ Onconside`reunsyst`emedeNseefnee´mrplequtiarserbilsrapzag()etdfaitrnabisce)!s,el(sip,nnass dans une boˆıte de volumeV. −→ 1.reuqu´nMnortionnaireetatstatractseeme`tsysudnvrupa´eisert´acruceetKenpsdua3ace`N −→ dimensions,de´niparsescomposantesK= (k1x, k1y, . . . , kN z). 2.rertnoMmoneleuqledu3dunoanriseodtnelombred´etatsstatiNvecteur d’onde est dans le domaine (K, K+ dK) est donn´e par · ¸ N V 3N1 N(K,dK) =S3N(1)KdK, 3 (2π)
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Paris7,Phy.Stat.2:densite´sde´tats.
o`uS3N3enunon´eitredereyaedalps`hstlaire(1)eNdimensions. .dnEude´(ensdasteeinmadoleltnodserigrene´tsst´etannaiatioeuelriqeerdonbmE, E+ dE) est donn´epar µ ¶ N S3N(1) 2m N N1 Ω(E,dE) =VEdE. 3N2 2(2π)h¯
.egraint´eslrentsaGsueleddedentlacualncEe´idsere`inamxu Z Z ++  (x+x+∙∙∙+x) 1 n In= dx1. . .dxne , −∞ −∞ montrerquelexpressiondelairedelasphe`rederayonunit´eenndimensions est n/2 π Sn(1) = 2. Γ(n/2)
.Endude´lerineda´tis´edatetsρ(Egezaapfria,tiasniquesonexpressioanpporhce´denalsecasec)d NÀ1.