Pricing Bermudan options by forward improvement iteration [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Julian Peter Lemburg

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• Publié par: christian-albrechts-universitat_zu_kiel
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

{
Pricing Bermudan Options by
Forward Improvement Iteration
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat
der Christian-Albrechts-Universitat zu Kiel
vorgelegt von
Julian Peter Lemburg
Kiel
Dezember 2010Referent: Prof. Dr. Albrecht Irle
Korreferent: Priv.-Doz. Dr. Volkert Paulsen
Tag der mundlic hen Prufun g: 31.01.2011
Zum Druck genehmigt: Kiel, 31.01.2011
Der Dekan, gez. Prof. Dr. Lutz Kipp
Dissertation Julian Peter Lemburg 2Ich danke Herrn Professor Doktor Albrecht Irle
herzlich fur die gute Betreuung dieser Dissertation.
Dissertation Julian Peter Lemburg 3Mathematical Subject Classi cation MSC2010
62L15
. Statistics
. Sequential methods
. Optimal stopping
60G40
. Probability theory and stochastic processes
. Stochastic processes
. Stopping times; optimal stopping problems
60J05
. Probability theory and stochastic processes
. Markov processes
. with discrete parameter
91G60
. Game theory, economics, social and behavioral sciences
. Mathematical nance
. Numerical methods
Dissertation Julian Peter Lemburg 4Zusammenfassung
Gegenstand dieser Arbeit ist die Vorstellung, Analyse und Erweiterung des 1980 von Irle in
[Irl80] ver o entlichten Forward Improvement Iteration (FII) Algorithmus und ahnlicher Algo-
rithmen aus [BKS08], [BS06], [KS06] und [Pre10], sowie die Angabe von passenden Anwendun-
gen.
Der FII Algorithmusostl Probleme des Optimalen Stoppens in diskreter Zeit, indem er in jedem
Iterationsschritt eine untere Schranke der Snell Envelope und eine untere Approximation einer
optimalen Stoppzeit ausgibt, wobei die Ausgaben gegen die Snell Envelope bzw. eine optimale
Stoppzeit konvergieren.
Die oben genannten, verwandten Algorithmen fuhren teilweise zus atzliche Parameter fur den
jeweils behandelten Spezialfall ein. Diese Arbeit zeigt auf, dass sich alle diese Algorithmen
zu einem einzigen erweiterten FII Algorithmus zusammenfassen lassen, der die zus atzlichen
Parameter ub ernimmt und bei dem die in den jeweils vorgestellten Varianten aufgezeigten
Resultate ebenfalls gelten.
Ferner wird der FII Algorithmus in dieser Arbeit (einschlie lich sinnvoll ub ertragbarer Zu-
satzparameter) auf den Markov-Fall ub ertragen. Abgerundet wird die Arbeit von einigen nu-
merischen Beispielen und der Anwendung auf den Monotonie-Fall sowie auf ein Sekret arinnen-
problem, wobei die L osungen der Spezialf alle aus [Irl80] zu einer allgemeinen L osung erweitert
werden.
Abstract
The object of this thesis is the presentation, analysis and extension of the Forward Improvement
Iteration Algorithm (FII) published 1980 by Irle in [Irl80] and similar algorithms in [BKS08],
[BS06], [KS06] und [Pre10], as well as giving adequate applications.
The FII algorithm solves problems of optimal stopping in discrete time by giving a lower
approximation of the optimal stopping time and a lower bound of the Snell envelope in each
iteration step, which converge to the Snell envelope resp. optimal stopping time.
The similar algorithms already mentioned above introduced additional parameters for the spe-
cial cases they treated. This thesis shows that these algorithms can be put together into a
single extended FII algorithm, inheriting the additional parameters and results.
In this thesis the algorithm is transfered to the Markov case, also inheriting reasonable addi-
tional parameters. We nish the work with some numerical applications and an investigation
of the monotone case and a secretary problem, in which the solutions of the special cases in
[Irl80] are extended to a general solution.
Dissertation Julian Peter Lemburg 5Contents
Zusammenfassung 5
Abstract 5
Thesis Outline 10
Preface 10
1 Setting and De nitions 14
1.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 De nition and Remark: Stopping Rule and Snell Envelope . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Lemma: Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Theorem: Snell Envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Convergence of the Snell Envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Theorem: Backward Dynamic Programming of the Snell Envelope . . . . . . . . 16
1.8 Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Convention: Fixed N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 De nition: (Consistent) N-Suitable Family of Stopping Rules . . . . . . . . . . 16
1.11 Optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.12 Lemma: Consistent, Optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.13 De nition and Theorem:
First and Last Optimal N-Suitable Family of Stopping Rules . . . . . . . . . . 17
2 Forward Improvement Iteration Algorithm 18
2.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 De nition:
N-suitable Adapted Random Set and Generated Family . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 De nition and Theorem: Corresponding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Remark: Corresponding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 De nition: To . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 De nition and Remark: Essential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Lemma: Elements ofT compared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 The Window Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9 Input for FII Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.10 Remark: Input for FII Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.11 Output of FII Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.12 Remarks: Output of FII Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.13 Performing FII Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.14 Remarks: Performing FII Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.15 Comparison with the Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.16 Lemma: Elementary Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.17 Existence of Improvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.18 De nition: Improver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.19 Setting of [Irl80] included . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.20 Remark: In nite Case Includes Finite Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Dissertation Julian Peter Lemburg 63 Finite Time Horizon 28
3.1 Theorem: Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.9 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.10 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.11 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.13 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
03.14 Theorem: Optimal Algorithm Termination for C
. . . . . . . . . . . . . 39
3.15 De nition and Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.16 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.17 Generalized Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.18 Theorem: Algorithm Termination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.19 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.20 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.21 Theorem: In uence of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Di erent Finite Time Horizons Compared 45
4.1 Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 General Case 49
5.1