Principe local-global pour les zéro-cycles, Local-global principle for zero-cycles

Yongqi Liang

Description

Sous la direction de David Harari
Thèse soutenue le 04 octobre 2011: Paris 11
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude de l’arithmétique (le principe de Hasse, l’approximation faible, et l’obstruction de Brauer-Manin) des zéro-cycles sur les variétés algébriques définies sur des corps de nombres. Nous introduisons la notion de sous-ensemble hilbertien généralisé. En utilisant la méthode de fibration, nous démontrons que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse et à l’approximation faible pour les zéro-cycles de degré 1; et établissons l’exactitude d’une suite de type global-local concernant les groupes de Chow des zéro-cycles, pour certaines variétés qui admettent une structure de fibration au-dessus d’une courbe lisse ou au-dessus de l’espace projectif, où les hypothèses arithmétiques sont posées seulement sur les fibres au-dessus d’un sous-ensemble hilbertien généralisé.De plus, nous relions l’arithmétique des points rationnels et l’arithmétique des zérocycles de degré 1 sur les variétés géométriquement rationnellement connexes. Comme application, nous trouvons que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse et à l’approximation faible pour les zéro-cycles de degré 1 sur- les espaces homogènes d’un groupe algébrique linéaire à stabilisateur connexe,- certains fibrés en surfaces de Châtelet au-dessus d’une courbe lisse ou au-dessus de l’espace projectif (en particulier, les solides de Poonen).
-Zéro-cycle de degré 1
-Principe de Hasse
-Approximation faible et forte
-Obstruction de Brauer-Manin
-Groupe de Chow des zéro-cycles
-Variété rationnellement connexe
-Espace homogène
-Méthode de fibration
This Ph. D. thesis studies the arithmetic properties (the Hasse principle, the weak approximation, and the Brauer-Manin obstruction) for zero-cycles on algebraic varieties defined over number fields. We introduce the notion of generalized Hilbertian subset. By using the fibration method, we prove that the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction tothe Hasse principle and to the weak approximation for zero-cycles of degree 1; and establish the exactness of a sequence of global-local type concerning Chow groups of zero-cycles, for certain varieties which admit a fibration structure overa smooth curve or over the projective space, where the arithmetic hypotheses are only posed on the fibers over a generalized Hilbertian subset. Moreover, we relate the arithmetic of rational points and that of zero-cycles of degree 1 on geometrically rationally connected varieties. As an application, we find that the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to the Hasse principle and to the weak approximation for zero-cycles of degree 1 on- homogeneous spaces of a linear algebraic group with connected stabilizer,- certain varieties fibered into Chatelet surfaces over a smooth curve or over the projective space (in particular, Poonen's threefolds).
-Zero-cycle of degree 1
-Hasse principle
-Weak and strong approximation
-Brauer-Manin obstruction
-Chow group of zero-cycles
-Rationally connected variety
-Homogeneous space
-Fibration method
Source: http://www.theses.fr/2011PA112190/document

Sujets

• Principe local-global
• Espace homogène

Informations

• Publié par: Thesee
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

oN d’ordre
UNIVERSITÉ PARIS-SUD
FACULTÉ DES SCIENCES D’ORSAY
THÈSE
Présentée pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES
DE L’UNIVERSITÉ PARIS XI
Spécialité : Mathématiques
par
Yongqi LIANG
Principe local-global pour les zéro-cycles
Soutenue le 4 octobre 2011 devant la Commission d’examen :
M. Jean-Louis Colliot-Thélène
Mme Hélène Esnault
M. David Harari (Directeur de thèse)
M. Bruno Kahn
M. Per Salberger (Rapporteur)
M. Olivier Wittenberg
Rapporteur absent le jour de la soutenance :
M. Bjorn Poonen
tel-00630560, version 1 - 10 Oct 2011Thèse préparée au
Département de Mathématiques d’Orsay
Laboratoire de (UMR 8628), Bât. 425
Université Paris-Sud 11
91 405 Orsay CEDEX, France
tel-00630560, version 1 - 10 Oct 2011Résumé - Abstract
Principe local-global pour les zéro-cycles
Résumé. Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude de l’arithmétique (le prin-
cipe de Hasse, l’approximation faible, et l’obstruction de Brauer-Manin) des zéro-cycles
sur les variétés algébriques définies sur des corps de nombres.
Nous introduisons la notion de sous-ensemble hilbertien généralisé. En utilisant la
méthode de fibration, nous démontrons que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule
au principe de Hasse et à l’approximation faible pour les zéro-cycles de degré 1; et éta-
blissons l’exactitude d’une suite de type global-local concernant les groupes de Chow des
zéro-cycles, pour certaines variétés qui admettent une structure de fibration au-dessus
d’une courbe lisse ou au-dessus de l’espace projectif, où les hypothèses arithmétiques
sont posées seulement sur les fibres au-dessus d’un sous-ensemble hilbertien généralisé.
De plus, nous relions l’arithmétique des points rationnels et l’arithmétique des zéro-
cycles de degré 1 sur les variétés géométriquement rationnellement connexes.
Comme application, nous trouvons que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule
au principe de Hasse et à l’approximation faible pour les zéro-cycles de degré 1 sur
- les espaces homogènes d’un groupe algébrique linéaire à stabilisateur connexe,
- certains fibrés en surfaces de Châtelet au-dessus d’une courbe lisse ou au-dessus
de l’espace projectif (en particulier, les solides de Poonen).
Mots clés : zéro-cycle de degré 1, principe de Hasse, approximation faible et forte,
obstruction de Brauer-Manin, groupe de Chow des zéro-cycles, variété rationnellement
connexe, espace homogène, méthode de fibration.
Classification AMS 2010 : 14G25 (11G35, 14D10).
Local-global principle for zero-cycles
Abstract. This Ph. D. thesis studies the arithmetic properties (the Hasse principle,
the weak approximation, and the Brauer-Manin obstruction) for zero-cycles on algebraic
varieties defined over number fields.
tel-00630560, version 1 - 10 Oct 2011iv Résumé - Abstract
We introduce the notion of generalized Hilbertian subset. By using the fibration
method, we prove that the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to the
Hasse principle and to the weak approximation for zero-cycles of degree 1; and establish
the exactness of a sequence of global-local type concerning Chow groups of zero-cycles,
for certain varieties which admit a fibration structure over a smooth curve or over the
projective space, where the arithmetic hypotheses are only posed on the fibers over a
generalized Hilbertian subset. Moreover, we relate the arithmetic of rational points and
that of zero-cycles of degree 1 on geometrically rationally connected varieties.
As an application, we find that the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction
to the Hasse principle and to the weak approximation for zero-cycles of degree 1 on
- homogeneous spaces of a linear algebraic group with connected stabilizer,
- certain varieties fibered into Châtelet surfaces over a smooth curve or over the
projective space (in particular, Poonen’s threefolds).
Keywords: zero-cycle of degree 1, Hasse principle, weak and strong approximation,
Brauer-Manin obstruction, Chow group of zero-cycles, rationally connected variety, ho-
mogeneous space, fibration method.
2010 Mathematical Subject Classification: 14G25 (11G35, 14D10).
tel-00630560, version 1 - 10 Oct 2011Remerciements
Je tiens tout d’abord à exprimer ma gratitude la plus profonde envers mon directeur
de thèse, David Harari. Avec sa gentillesse et sa grande patience, il a consacré beaucoup
de temps à discuter avec moi, à lire, à vérifier, et à corriger mes textes mathématiques et
non mathématiques. Je voudrais le remercier vivement aussi pour ses encouragements
constants pendant la préparation de ma thèse.
Je souhaite remercier chaleureusement Bjorn Poonen et Per Salberger, qui m’ont
fait l’honneur d’accepter d’être rapporteurs de cette thèse. Je remercie aussi sincère-
ment Jean-Louis Colliot-Thélène, Hélène Esnault, Bruno Kahn, Per Salberger et Olivier
Wittenberg pour leur participation à mon jury de thèse.
Je souhaite remercier Jean-Louis Colliot-Thélène et Olivier Wittenberg de leurs
discussions avec moi, dont mes travaux se sont beaucoup inspirés. Je remercie Philippe
Gille, qui m’a invité à expliquer mon premier résultat dans le séminaire « Variétés
Rationnelles ».
Cette thèse a été effectuée au département de mathématiques d’Orsay qui m’a fourni
des conditions agréables de travail, j’en remercie tous ses membres. J’ai pu faire mes
études en France grâce au programme Erasmus (ALGANT), j’exprime ici ma gratitude
à tous ceux qui y ont participé; en particulier, mon ancien directeur en Chine - Fei Xu,
qui m’a encouragé à étudier à l’étranger.
J’adresse égalementdes remerciementssincères à tous mes amis en France, qui m’ont
apporté de la chaleur et m’ont rendu heureux : Ramla Abdellatif, Yinshan Chang, Ke
Chen, Li Chen, Miaofen Chen, Zongbin Chen, Qing Chu, Cyril Demarche, Yong Hu,
Yongquan Hu, Wei Huang, Arno Kret, Tingyu Lee, Wen-Wei Li, Xiangyu Liang, Ling-
min Liao, Chengyuan Lu, Peng Shan, Shu Shen, Xu Shen, Fei Sun, Shenghao Sun, Zhe
Sun, Jilong Tong, Chunhui Wang, Haoran Wang, Jing Wang, Shanwen Wang, Hao Wu,
Weizhe Zheng, Guodong Zhou, et plus particulièrement Shun Tang, qui m’a accompa-
gné pendant toute la période de mes études à l’étranger et qui a coorganisé avec moi le
«SéminaireMathjeunes» à Orsay. Grâce à vous, je suis devenu une meilleure personne.
Je témoigne aussi ma gratitude au Prof. Xiaonan Ma pour son aide à ma vie en France.
Enfin, ma reconnaissance toute particulière s’adresse à toute ma famille, surtout mes
parents, pour leur soutien constant.
tel-00630560, version 1 - 10 Oct 2011vi
À ...
tel-00630560, version 1 - 10 Oct 2011Table des matières
Résumé - Abstract iii
Remerciements v
Table des matières vii
Introduction générale 1
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I Zéro-cycles sur certaines fibrations au-dessus d’une courbe 11
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Théorèmes principaux et quelques applications . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Preuves des théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
nII Zéro-cycles sur certaines fibrations au-dessus deP 33
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1 Notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Quand le PH et l’AF valent pour les fibres . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 l’obstruction de BM est la seule pour les fibres . . . . . . . . . . 44
2.4 Fibrations au-dessus de l’espace projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5 Points rationnels versus zéro-cycles de degré 1 . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6 Quelques applications et un problème ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III Astuce de Salberger et zéro-cycles 71
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.0 Conventions et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
13.1 Les fibres sont géométriquement intègres et B =P . . . . . . . . . . . . 75
13.2 (Abélienne-Scindée) est vérifiée et B =P . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4 La suite exacte (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5 Fibré en surfaces de Châtelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Bibliographie 97
tel-00630560, version 1 -