Probabilités et statistique
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Probabilit´es et statistique
Benjamin JOURDAIN
6 octobre 2009 2 i ii `A Anne Pr´eface
Ce livre est issu du polycopi´e du cours de probabilit´es et statistique de premi`ere ann´ee
´de l’Ecole des Ponts ParisTech dont je suis responsable depuis 2002. Du fait de la nature
inconnue ou chaotique de leur ´evolution, de nombreux ph´enom`enes (m´et´eorologie, cours
debourse,volumedevented’unepi`eced´etach´eeautomobile,...)fontnaturellementl’objet
d’une mod´elisation al´eatoire, ce qui explique la place de plus en plus grande accord´ee aux
probabilit´es dans les formations d’ing´enieurs et dans les cursus universitaires. L’objec-
tif du cours est de permettre aux ´etudiants de comprendre comment construire de tels
mod`eles al´eatoires et comment identifier leurs param`etres `a partir de donn´ees.
`Aladiff´erencedenombreuxcoursdeprobabilit´esdeniveaulicence,ilnefaitpasappel`ala
´th´eoriedelamesure.Eneffet,danslap´edagogied´evelopp´ee`al’EcoledesPonts,lesnotions
detribuetdemesurabilit´enesont´etudi´eesqu’endeuxi`emeann´eepourpouvoirintroduire
lesmartingales.Encons´equence,lepr´erequispourlalecturedecelivreestl´eger:maˆıtrise
des notions de s´erie et d’int´egrale et du calcul matriciel. Et l’accent est mis sur les no-
tions centrales en probabilit´es et statistique que sont la loi, l’ind´ependance, l’esp´erance,
la variance, la fonction caract´eristique, les convergences, l’estimateur du maximum de
vraisemblance, les intervalles de confiance et les tests d’hypoth`eses plutˆot que sur ...

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Probabilit´es et statistique Benjamin JOURDAIN 6 octobre 2009 2 i ii `A Anne Pr´eface Ce livre est issu du polycopi´e du cours de probabilit´es et statistique de premi`ere ann´ee ´de l’Ecole des Ponts ParisTech dont je suis responsable depuis 2002. Du fait de la nature inconnue ou chaotique de leur ´evolution, de nombreux ph´enom`enes (m´et´eorologie, cours debourse,volumedevented’unepi`eced´etach´eeautomobile,...)fontnaturellementl’objet d’une mod´elisation al´eatoire, ce qui explique la place de plus en plus grande accord´ee aux probabilit´es dans les formations d’ing´enieurs et dans les cursus universitaires. L’objec- tif du cours est de permettre aux ´etudiants de comprendre comment construire de tels mod`eles al´eatoires et comment identifier leurs param`etres `a partir de donn´ees. `Aladiff´erencedenombreuxcoursdeprobabilit´esdeniveaulicence,ilnefaitpasappel`ala ´th´eoriedelamesure.Eneffet,danslap´edagogied´evelopp´ee`al’EcoledesPonts,lesnotions detribuetdemesurabilit´enesont´etudi´eesqu’endeuxi`emeann´eepourpouvoirintroduire lesmartingales.Encons´equence,lepr´erequispourlalecturedecelivreestl´eger:maˆıtrise des notions de s´erie et d’int´egrale et du calcul matriciel. Et l’accent est mis sur les no- tions centrales en probabilit´es et statistique que sont la loi, l’ind´ependance, l’esp´erance, la variance, la fonction caract´eristique, les convergences, l’estimateur du maximum de vraisemblance, les intervalles de confiance et les tests d’hypoth`eses plutˆot que sur les fon- dements th´eoriques de ces disciplines. Des exercices sont ins´er´es au cœur des chapitres pour permettre aux ´etudiants de mettre en application les diff´erents concepts au fur et `a mesure de leur introduction. Mais des exercices et probl`emes en nombre plus important sont´egalement r´eunis `a la fin de chaque chapitre. Certains font l’objet d’une correction dans le chapitre 10. Enfin, apr`es chaque chapitre, un r´esum´e d’une page environ reprend les notions importantes qui viennent d’ˆetre d´evelopp´ees. Apr`es un chapitre introductif sur les espaces de probabilit´e finis ou` les calculs se ram`enent `a du d´enombrement, l’esp´erance et ses propri´et´es, dont la lin´earit´e, sont pr´esent´ees en d´etail au chapitre 2 dans le cadre des variables al´eatoires discr`etes. La g´en´eralisation de la lin´earit´e de l’esp´erance au cas des vecteurs al´eatoires `a densit´e est ´enonc´ee sans preuve dans le chapitre 3. Ces deux chapitres pr´ecisent ´egalement la notion de loi d’une variable al´eatoires et fournissent les outils n´ecessaires (loi marginale, formule de changement de variable pour les int´egrales multidimensionnelles) pour d´eterminer la loi d’une variable al´eatoire d’int´erˆet dans un mod`ele probabiliste sp´ecifique. Le chapitre 4 est consacr´e aux techniques permettant de simuler sur ordinateur les va- riables al´eatoires discr`etes et `a densit´e introduites auparavant. La simulation sur ordina- teurpermetdemieuxappr´ehenderlesdeuxgrandsth´eor`emeslimitesdelath´eoriedespro- babilit´esquiformentlecœurduchapitre5: la loi forte des grands nombres et le th´eor`eme de la limite centrale. Les diff´erentes notions de convergence de variables al´eatoires et leurs liens font ´egalement l’objet d’un traitement d´etaill´e dans ce chapitre. L’objectif est que les ´etudiants acqui`erent suffisamment de maˆıtrise sur les th´eor`emes limites pour bien comprendre ensuite les propri´et´es asymptotiques des estimateurs, intervalles de confiance v vi et tests d’hypoth`eses dans la partie statistique du cours. Le th´eor`eme de la limite cen- trale explique le rˆole fondamental en th´eorie des probabilit´es de la loi gaussienne et plus g´en´eralement des vecteurs gaussiens, auxquels le chapitre 6 est consacr´e. Enraisondesonimportance,lemod`elegaussiensertd’exemplecl´edanstoutelapartie statistique du livre. Le chapitre 7 introduit l’estimation de param`etres dans le mod`ele statistiqueparam´etrique.L’accentestmissurl’estimateurdumaximumdevraisemblance et ses propri´et´es et sur la construction d’intervalles de confiance permettant de mesurer la pr´ecision de l’estimation. La notion de test d’hypoth`eses est pr´esent´ee sur l’exemple du mod`elegaussiendanslechapitre8quiexplique´egalementcommentv´erifiersidesdonn´ees sont issues d’une loi de probabilit´e fix´ee. Le livre s’ach`eve sur un chapitre consacr´e `a la r´egression lin´eaire qui fournit un cadre pour l’´etude de l’influence de certains facteurs explicatifs sur des grandeurs mesur´ees ou des donn´ees exp´erimentales. Remerciements Je tiens `a remercier les membres de l’´equipe enseignante du cours de probabilit´es et ´statistique de l’Ecole des Ponts, Aur´elien Alfonsi, Mohamed Ben Alaya, Anne Dutfoy, MicheldeLara,JulienGuyon,TonyLeli`evre,Jean-MichelMarin,MohamedSbaietAlain Toubol qui ont apport´e de nombreuses am´eliorations `a ce livre par leurs remarques et qui ont contribu´e `a la compilation de corrig´es d’exercices du chapitre 10. Je suis ´egalement tr`es reconnaissant `a Jean-Franc¸ois Delmas pour les emprunts qu’il m’a permis de faire au polycopi´e [6] de son cours de premi`ere ann´ee `a l’ENSTA et au recueil d’exercices de ´son cours de statistique de seconde ann´ee `a l’Ecole des Ponts. Je dois beaucoup `a Jean- Philippe Chancelier pour son aide pr´ecieuse concernant l’utilisation des logiciels Latex et Scilab. Ma gratitude va encore `a tous les membres de l’´equipe de probabilit´es appliqu´ees du CERMICS et en particulier `a Bernard Lapeyre pour nos discussions sur la p´edagogie, qui, je l’esp`ere, ont trouv´e leur prolongement dans ce livre. Je tiens `a remercier tous mes coll`egues du CERMICS pour l’ambiance de travail conviviale et stimulante qui r`egne au sein de ce laboratoire. Mes pens´ees vont enfin `a Anne, Erwan et Alexy pour le bonheur que je partage avec eux au quotidien. Benjamin Jourdain Table des mati`eres 1 Introduction : probabilit´e sur un espace fini 1 1.1 Probabilit´e sur un espace fini, ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Probabilit´es uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Probabilit´e conditionnelle et ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Variables al´eatoires discr`etes 11 2.1 Espace de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1 Rappel sur les manipulations de s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.3 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.4 Lois discr`etes usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.5 Loi marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1 Esp´erance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Fonction g´en´eratrice des variables al´eatoires enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Loi et esp´erance conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Variables al´eatoires `a densit´e 35 3.1 Manipulation d’int´egrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1 Th´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Variables al´eatoires r´eelles `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 vii `viii TABLE DES MATIERES 3.2.2 Densit´es r´eelles usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.3 Esp´erance, variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.4 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Vecteurs al´eatoires `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.2 Densit´e marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.4 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.5 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.6 Loi et esp´erance conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Lois b´eta, gamma, du chi 2, de Student et de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4 Simulation 59 4.1 Simulation de variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.1 Loi de Bernoulli de param`etre p∈ [0,1] . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ∗4.1.2 Loi binomiale de param`etres n∈N et p∈ [0,1] . . . . . . . . . . . 60 4.1.3 Loi g´eom´etrique de param`etre p∈]0,1] . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.4 Simulation suivant une loi discr`ete quelconque . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Simulation de variables al´eatoires `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.1 Loi uniforme sur [a,b] avec a
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