Quelques problèmes de convergence et de récurrence multiple en théorie ergodique, Some problems of multiple convergence and recurrence in ergodic theory

Qing Chu

Description

Sous la direction de Bernard Host
Thèse soutenue le 06 juillet 2010: Paris Est
Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines questions de convergence et de récurrence multiples en théorie ergodique. Nous distinguons les systèmes munis d'une transformation et ceux munis de plusieurs transformations qui commutent. Dans les premiers, le mécanisme de facteurs caractéristiques et les nilsystèmes jouent un rôle important dans l'étude de convergence et de récurrence multiples. À l'aide de ces outils, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiquesmultiples pondérées de Host et Kra pour le cas linéaire au cas polynômial. En conséquence, nous montrons que pour toute fonction $f$ mesurable bornée sur un système ergodique, la suite $(f(T^n x))$ est universellement bonne pour presque tout $x$. Quand il y a plusieurs transformations qui commutent, à l'aide de la machinerie des systèmes magiques introduite récemment par Host et développée dans cette thèse, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiques multiples sur les cubes de Host et Kra avec une transformation à plusieurs transformations qui commutent. Nous obtenons aussi un résultat de récurrence multiple quantitatif pour deux transformations qui commutent, similaire en faveur du cas d'une transformation établi par Bergelson, Host et Kra
-Convergence
-Suites récurrentes
-Théorie ergodique
-Polynômes
This thesis is devoted to the study of some questions of multiple convergence and recurrence in ergodic theory. We distinguish between systems endowed with a single transformation and systems endowed with several commuting transformations. In the former, characteristic factors and nilsystemsplay an important role in the study of multiple convergence and recurrence. Using these tools, we extend results on convergence of weighted multiple ergodic averages of Host and Kra for the linear case to the polynomial case. As a consequence, we show that for any bounded measurable function $f$ on an ergodic system, the sequence $f(T^n x)$ is universally good for almost every $x$. In systems endowed with several commuting transformations, we use the machinery of magic systems introduced recently by Host and further properties of magic systems developed in this thesis,to extend results of Host and Kra on convergence of multiple ergodic averages along cubes with a single transformation to commuting transformations. We obtain a quantitative multiple recurrence result for two commuting transformations, similar in flavour to that of a single transformationestablished by Bergelson, Host and Kra, but with a different conclusion
-Convergence
-Recurrent sequences
-Ergodic theory
-Polynomials
Source: http://www.theses.fr/2010PEST1014/document

Sujets

• Théorie ergodique

Informations

• Publié par: Thesee
• Nombre de lectures: 25
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

?THESEde DOCTORAT
¶de l’Universite Paris-Est
pr¶esent¶ee par
Qing CHU
pour obtenir le grade de
¶Docteur de l’Universite Paris-Est
Sp¶ecialit¶e : Math¶ematiques
Quelques probl?emes de convergence
et de r¶ecurrence multiple
en th¶eorie ergodique
Soutenue le 6 Juillet 2010 devant le jury compos¶e des professeurs :
M. Bernard HOST Directeur de these?
Mme Bryna KRA Examinateur
M. Emmanuel LESIGNE Rapporteur
M. Alejandro MAASS Examinateur
M. Mathieu MEYER
M. Jean-Paul THOUVENOT Rapporteur
tel-00587631, version 1 - 21 Apr 2011Remerciements
Je tiens tout d’aborda? exprimer ma tres? profonde reconnaissancea?
Bernard Host, qui m’a fait l’honneur d’accepter de diriger cette these.?
Sadisponibilit¶eetsat¶enacit¶eontpermia?cestravauxdesed¶erouler
dans les meilleures conditions possibles. Sa rigueur math¶ematique et
ses conseils avis¶es m’ont ¶et¶e d’une grande aide, de m^eme que son in-
vestissement scientiflque et humain.
Je remercie ¶egalement sa femme Bati Ch¶etanian pour son hospi-
talit¶e ainsi que son soutien.
Pour l’attention minutieuse qu’ils ont port¶ee a? mon travail, pour
leursremarquespertinentes,etpourm’avoirfaitl’honneurderapporter
cette these,? je tiensa? remercier Emmanuel Lesigne ainsi que Jean-Paul
Thouvenot, qui a suivi l’¶evolution de mes recherches avec attention.
Je souhaiterais ¶egalement remercier Bryna Kra; ses conseils judi-
cieux et ses commentaires constructifs m’ont ¶et¶e d’un grand secours.
Je suis tres? honor¶ee par sa pr¶esence dans le jury, ainsi que par celle
d’Alejandro Maass et Mathieu Meyer.
Magratitudeva¶egalementa?NikosFrantzikinakis,poursag¶en¶erosit¶e
en temps et en id¶ees, et dont le dynamisme et la perspicacit¶e m’ont
constamment stimul¶ee.
JeremercieAihuaFan,monancienprofesseur,quim’aaid¶eea?venir
en France et m’a permis de rencontrer Bernard Host.
Ungrandmercia?l’ensembleduLaboratoired’AnalyseetdeMath¶e-
matiques Appliqu¶ees de l’Universit¶e Paris-Est - Marne-la-Vall¶ee pour
leuraccueilchaleureux,ainsiqu’ aAnneRaskineetPascalRomonpour
m’avoir permis d’enseigner. Pour leurs encouragements et leur aide, je
remercie ¶egalement Fran»cois Blanchard, Marco Cannone et Damien
Lamberton. Merci enfln a? Christiane Lafargue pour sa gentillesse et
son e–cacit¶e.
Merci a? Barbera Goossen et a? l’ensemble du Bureau international
des chercheurs invit¶es de l’Universit¶e Paris-Est, qui m’ont bien aid¶ee
alors que j’¶etais un peu perdue a? mon arriv¶ee.
¶Merci ¶egalement a? Sylvie Cach, responsable de l’Ecole Doctorale
de l’Universit¶e Paris-Est, pour m’avoir guid¶ee dans mes d¶emarches ad-
ministratives.
Cetravailn’a¶et¶epossiblequegr^aceausoutienflnancierdelabourse
du gouvernement Chinois.
Je voudrais tout particuli?erement exprimer ma reconnaissance a?
l’ensemble des doctorants du LAMA, a? mes amis et a? toutes les per-
sonnes qui m’ont soutenue par leur gentillesse et leur d¶evouement.
Enfln, un grand merci a? mes parents, qui n’ont eu de cesse de
m’encourager durant ces trois ann¶ees.
i
tel-00587631, version 1 - 21 Apr 2011Avant-propos
Dans cette th?ese, nous nous int¶eressons a? certaines questions de
convergence et de r¶ecurrence multiple en th¶eorie ergodique. Elle est
compos¶ee de cinq chapitres.
Le premier chapitre pr¶esente l’historique. Nous rassemblons des
r¶esultats de convergence et de r¶ecurrence multiple dans un systeme?
munid’uneoudeplusieurstransformationsquicommutent,etenm^eme
temps, nous introduisons le contexte dans lequel nous travaillons.
Le deuxieme? chapitre donne une pr¶esentation de la m¶ethode et des
outils que nous utilisons a? plusieurs endroits dans cette th?ese. En par-
ticulier, nous d¶etaillons le m¶ecanisme de facteurs caract¶eristiques et
le r^ole des nilsyst?emes que nous employons souvent pour les systemes?
munisd’unetransformation, ainsiquelamachineriedessyst?emesmag-
iques que nous employons pour les systemes? munis de plusieurs trans-
formations qui commutent.
Lestroischapitressuivantssontconsacr¶esrespectivementaux¶etudes
de trois questions ind¶ependantes, chacune de ces questions donne lieu
a? un article.
Dans le troisi?eme chapitre, nous consid¶erons des moyennes ergodi-
ques multiples pond¶er¶ees le long de polyn^omes, dont la convergence
pour le cas lin¶eaire a ¶et¶e d¶emontr¶ee par Host et Kra. Nous ¶etablissons
la convergence pour ces moyennes et comme une cons¶equence, nous
montrons que pour toute fonction f mesurable born¶ee sur un systeme?
nergodique, la suite (f(T x)) est universellement bonne pour la con-
vergence de moyennes ergodiques multiples le long de polyn^omes pour
presque tout x.
Dans les deux derniers chapitres, nous nous int¶eressons tout parti-
culieremen? t aux systemes? munis de plusieurs transformations qui com-
mutent. Nousconsid¶eronsunequestiondeconvergenceetunequestion
der¶ecurrence,maispourlespreuves,nousutilisonstoutelamachinerie
des systemes? magiques introduite r¶ecemment par Host.
Le quatri?eme chapitre concerne des moyennes sur les cubes, dont
la convergence dans le cas ou? toutes les transformations sont ¶egales a
¶et¶e d¶emontr¶ee par Host et Kra. Nous proposons une preuve pour la
convergence g¶en¶erale.
Le cinquieme? chapitre est consacr¶e a? une ¶etude de la r¶ecurrence
multiple d’aspect quantitatif pour deux transformations qui commu-
tent. Nous obtenons un r¶esultat qui est similaire mais pas identique a?
celui en cas d’une transformation ¶etabli par Bergelson, Host et Kra.
Lesr¶ef¶erencesbibliographiquesrenvoienta?labibliographieg¶en¶erale
en fln de th?ese.
ii
tel-00587631, version 1 - 21 Apr 2011Table des matieres?
Chapitre I. Introduction 1
1. Principes de correspondance 1
2. R¶esultats de r¶ecurrence et combinatoires correspondant 2
3. R¶ de convergence 7
Chapitre II. Outils 12
1. Notation g¶en¶erale 12
2. Facteurs 12
3. Facteur caract¶eristique 14
4. Semi-normes 16
5. Une ?-alg?ebre caract¶eristique sur X 18
6. Nilsyst?emes et nilsuites 20
7. Systemes? magiques 22
8. Lemme de van der Corput 23
Chapitre III. Convergence de moyennes ergodiques multiples
pond¶er¶ees le long de polyn^omes 25
1. Introduction 25
2. Article 30
Chapitre IV. Convergence de moyennes ergodiques multiples
sur les cubes pour plusieurs transformations qui
commutent 39
1. Introduction 39
2. Article 44
Chapitre V. R¶ecurrence multiple quantitative pour deux
transformations qui commutent 55
1. Introduction 55
2. Article 65
Bibliographie 91
tel-00587631, version 1 - 21 Apr 2011CHAPITRE I
Introduction
Danscechapitre,nouspr¶esenteronsunbrefhistoriqueder¶esultats
de r¶ecurrence multiple et de convergence en th¶eorie ergodique et le
contexte dans lequel nous travaillons.
Nouscommen»consparunepr¶esentationdeprincipesdecorrespon-
dancequenousallonsutiliserpourd¶eduiredesr¶esultatscombinatoires
correspondant aux r¶esultats de r¶ecurrence que nous allons pr¶esenter
dans la deuxi?eme section. La troisieme? section sera consacr¶ee a? la
pr¶esentation des r¶esultats de convergence qui sont ¶etroitement li¶es a?
ces r¶esultats de r¶ecurrence.
1. Principes de correspondance
Le premier principe de correspondance a ¶et¶e ¶etabli par Fursten-
berg([29],[30])danssafameused¶emonstrationergodiqueduth¶eoreme?
deSzemer¶edi[60].D’autresg¶en¶eralisationsont¶et¶edonn¶eessubs¶equem-
ment. Ces r¶esultats ¶etablissent un lien entre les deux domaines : la
th¶eorie ergodique et la th¶eorie combinatoire, et permettent de mon-
trer, a? partir de r¶esultats de r¶ecurrence de systemes? dynamiques me-
sur¶es,desr¶esultatscombinatoires.Ilsconstituentunnouveaudomaine
appel¶e la th¶eorie ergodique de Ramsey ou? des problemes? issus de la
combinatoire sont d¶emontr¶es en utilisant la th¶eorie ergodique. Beau-
coup de r¶esultats combinatoires issus de ce domaine n’ont pas jus-
qu’ a pr¶esent d’autres preuves (par exemple la version polynomiale du
th¶eoreme? de Szemer¶edi qu’on donne plus bas) :
Rappelons que la densit¶e d’un sous-ensemble d’entiers E ‰N est
d¶eflnie par :
1⁄d (E)=limsup Card(E\[0;N¡1]) :
NN!1
¶ ?TheoremeI.1(Furstenberg([29],[30])). SoitE‰Nunensemble
de densit¶epositive.Alorsil existeun espaceprobabilis¶e(X;X;„)muni
d’une transformation T qui est inversible mesurable et pr¶eservant „ et
⁄un ensemble A2X avec „(A)=d (E), tels que
m m ⁄1 k„(T A\¢¢¢\T A)•d ((E +m )\¢¢¢\(E +m ))1 k
1
tel-00587631, version 1 - 21 Apr 2011pour tout entier k‚1 et tous m ;:::;m 2Z.1 k
k kLadensit¶ed’unsous-ensembledeN (oudeZ )es