Real space renormalization group approach to the integer quantum Hall effect [Elektronische Ressource] / vorgelegt von: Philipp Cain

Sujets

• Physik

Informations

• Publié par: technische_universitat_chemnitz
• Publié le: 01 janvier 2004
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 4 Mo

Extrait

Real-space
renormalization group approach
to the
integer quantum Hall efiect
von der Fakult˜at fur˜ Naturwissenschaften der
Technischen Universit˜at Chemnitz genehmigte Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
vorgelegt von: Dipl.-Phys. Philipp Cain
geboren am: 19.09.1973 in Karl-Marx-Stadt
eingereicht am: 5. M˜arz 2004
Gutachter: Prof. Dr. K. H. Hofimann, TU Chemnitz
Dr. habil. R. A. R˜omer, Univ. of Warwick
Prof. Dr. M. Schreiber, TU Chemnitz
Tag der Verteidigung: 14. Juli 2004
Archiv: http://archiv.tu-chemnitz.de/pub/2004/0099Bibliographische Beschreibung
PhilippCain: Real-space renormalization group approach to the integer
quantum Hall efiect
Technische Universit˜at Chemnitz, Fakult˜at fur˜ Naturwissenschaften
Dissertation, 2004 (in englischer Sprache)
106 Seiten, 52 Abbildungen, 1 Tabelle
Referat
In dieser Dissertation werden Eigenschaften des ganzzahligen Quanten-Hall-Efiekts
˜(QHE) numerisch untersucht. Im Mittelpunkt steht der Ubergang zwischen den
charakteristischenPlateausdesHall-Leitwertes, diesichbeiganzzahligenVielfachen
2von e =h ausbilden. Im Gegensatz zum fraktionalen QHE kann dieser Phasenub˜ er-
gang beim ganzzahligen QHE ohne Teilchen-Teilchen Wechselwirkung allein mit
˜der Annahme eines Lokalisierung-Delokalisierung-Ubergangs der Wellenfunktion in
der Mitte jedes Landau-Bandes erkl˜art werden. In dieser Arbeit wird das Chalker-
˜Coddington(CC)-Netzwerk als Modell eines einzelnen QHE Ubergangs verwendet.
Um hohe Systemgr˜o…en zu erreichen, wird zus˜atzlich ein Ortsraum-Renormierungs-
gruppenansatz (RG) auf das Netzwerk angewendet. Diese Vorgehensweise erlaubt
au…erdem eine einfache, aber statistisch sehr gute Beschreibung der starken charak-
˜teristischenFluktuationenamUbergangimRahmenvonVerteilungsfunktionen. Die
RG Methode kann ein CC Netzwerk allerdings nur in N˜aherung darstellen, da in-
nerhalb der RG Iterationen nur ein Bruchstuc˜ k des gesamten Netzwerks, die RG
Einheit, beruc˜ ksichtigt wird. Die Konstruktion der RG Einheit besitzt deshalb
besonderen Ein u… auf die Genauigkeit der Ergebnisse. Aus diesem Grund werden
zun˜achst die RG Resultate mit Ergebnissen anderer Methoden verglichen. Dabei
˜werdendiekritischeVerteilungsfunktionP (G)desLeitwertesGamQHE Ubergangc
und deren Momente ermittelt. Aus dem Verhalten von P(G) in der N˜ahe des
˜Ubergangs l˜a…t sich der Wert des kritischen Exponenten ” der Lokalisierungsl˜ange
ableiten. Diese Ergebnisse stimmen sehr gut mit exakten numerischen Simulationen
ub˜ erein. DieRGMethodewirddaraufhinzurBerechnungderEnergieniveaustatistik
(ENS) erweitert. Die kritische ENS P (s) der normierten Abst˜ande s von benach-c
barten Energieniveaus und ” werden bestimmt. Anschlie…end wird der Ein u… von
makroskopischenInhomogenit˜ateninFormvonlangreichweitigerkorrelierterUnord-
˜nung auf die kritischen Eigenschaften des QHE Ubergangs untersucht. Die Ergeb-
nisse zeigen eine Vergr˜o…erung von ”. Zuletzt wird die RG zur Berechnung des Hall
Widerstandes R eingesetzt. Die kritische Verteilung P (R ) l˜a…t auf sehr starkeH c H
˜ ˜Fluktuationen von R am Ubergang schlie…en. Abseits des Ubergangs in RichtungH
Isolator wird, nach Wahl einer geeigneten MittelunghR i, kein quantisiertes Ver-H
halten, sondern Divergenz vonhR i, gefunden. Zusammenfassend demonstrierenH
˜alle Ergebnisse die Robustheit universeller Eigenschaften am QHE Ubergang.
Schlagw˜orter
Fluktuationen,Lokalisierung,Netzwerkmodell,numerischeVerfahren,Quanten-Hall-
Efiekt, Renormierungsgruppenansatz, Universalit˜at, ungeordnete SystemeContents
List of Figures 7
List of Tables 9
List of Abbreviations 10
1 Introduction 11
2 The quantum Hall efiect 15
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 The quantized Hall efiect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Theory of the integer quantum Hall efiect . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Landau quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 The Chalker-Coddington network model . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 Universality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 RG approach to the CC model 25
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Quantum RG approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Critical exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Comparison with other works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.6 Test of a difierent RG unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 RG approach to the LSD 41
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Description of the RG approach to the LSD . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.1 The LSD at the QH transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.2 Small-s and large-s behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Scaling results for the LSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.1 Finite-size scaling at the QH transition . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.2 Scaling for fi and fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51P I
4.4.3 Test of difierent initial distributions . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5CONTENTS
5 Macroscopic inhomogeneities 61
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Macroscopic in classical percolation . . . . . . . . . . 63
5.3 in the RG approach . . . . . . . . . . . 65
5.4 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 Intrinsic short-range disorder in quantum percolation . . . . . . . . . 70
5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6 RG approach to the Hall resistivity 73
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 RG equation for R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74H
6.3 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3.1 Behavior at the QH transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3.2 Behavior away from the QH transition . . . . . . . . . . . . . 81
6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7 Summary 86
8 Outlook 89
Bibliography 91
Publications 103
Erkl˜arung gem˜a… Promotionsordung x6 (2) 4, 5 104
Lebenslauf 105
Acknowledgments 106
6List of Figures
2.1 Illustration of the Hall experiment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Result of the Hall measurement from [KDP80]. . . . . . . . . . . . . 17
+2.3 The more recent Hallt [WES 87] shows various plateaus. 18
2.4 Illustration of the integer QH efiect explained due to a sequence of
LD transitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Illustration of the separation of the electron motion. . . . . . . . . . . 21
2.6 FromtheequipotentialsofFig.2.5SPsofthepotentialcanbeidentifled. 22
2.7 Construction of the CC network. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 2D bond percolation networks on a 30£30 square lattice. . . . . . . 26
3.2 Illustration of the RG approach to the 2D bond percolation. . . . . . 27
3.3 All possible conflgurations for a connecting 2D bond RG unit. . . . . 27
3.4 Two illustrations of the same RG unit used for Eq. (3.8). . . . . . . . 29
3.5 P(G) and Q(z) at a QH plateau-to-plateau transition. . . . . . . . . 33
3.6 Critical exponent ” obtained by the QH-RG approach as function of
nefiective linear system size L = 2 for RG step n. . . . . . . . . . . . 34
m3.7 Momentsh(G¡hGi) i of the FP distribution P (G). . . . . . . . . . 35c
3.8 P (G) found by Avishai et al. [ABB99]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36c
3.9 Experimental results for P (G) from [CK96]. . . . . . . . . . . . . . . 37c
3.10 RG unit constructed from 4SP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.11 Comparison of the critical distribution of the conductance P (G) atc
the QH transition obtained using the 5SP and 4SP RG unit. . . . . . 39
n3.12 Thecriticalexponent” asfunctionoftheefiectivesystemsizeN = 2
for 4SP and 5SP unit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Illustration how to construct the LSD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 The RG unit used to the matrix (4.5). . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Energy dependence of the quasieigenenergies ! for two sample con-
flgurations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 FP distributions P (s) obtained from the spectrum of ! (E = 0) andc l
from the RG approach using the real eigenenergies E . . . . . . . . . 48k
4.5 FP P (s) for a linear and an arcsin energy dependencec
of the phases ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49j
24.6 P (s) for small s in agreement with the predicted s behavior. . . . . 50c
4.7 The large s tail of P (s) compared with flts according to the predic-c
+tions of [SSS 93]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .