Regularity results for quasilinear elliptic systems of power-law growth in nonsmooth domains [Elektronische Ressource] : boundary, transmission and crack problems / vorgelegt von Dorothee Knees

Dipl.-Math. Dorothee Knees, © 2004

Description

Regularity results for quasilinear elliptic systemsof power-law growth in nonsmooth domains|Boundary, transmission and crack problems|Von der Fakult˜at Mathematik und Physik der Universit˜at Stuttgartzur Erlangung der Wurde˜ einesDoktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)genehmigte Abhandlungvorgelegt vonDipl.-Math. Dorothee Kneesgeboren in LeonbergHauptberichter: Prof. Dr. A.-M. S˜andigMitberichter: Prof. Dr. J. FrehseProf. Dr. A. MielkeTag der mundlic˜ hen Prufung:˜ 30.11.2004Institut fur˜ Angewandte Analysis und Numerische Simulation2005Dorothee KneesFachbereich MathematikInstitut fur˜ Angewandte Analysis und Numerische SimulationUniversit˜at StuttgartPfafienwaldring 57D-70 569 [e-mail]issertationentstandimRahmendesSonderforschungsbereichs404Mehrfeldprobleme in der Kontinuumsmechanik\, TeilprojektC5 Spannungssingu-" "larit˜aten in heterogenen Materialien\ an der Universit˜at Stuttgart.An dieser Stelle m˜ochte ich mich sehr herzlich bei Frau Prof. Dr. A.-M. S˜andigfur˜ die Aufgabenstellung, die umfassende Betreuung und die F˜orderung, die sie mirzuteil werden lie…, bedanken. Sie hatte jederzeit ein ofienes Ohr fur˜ meine Fragen.˜HerrnProf.Dr.J.FrehseundHerrnProf.Dr.A.Mielkedankeichfur˜ dieUbernahmedes Koreferats und ihre konstruktive Kritik an meiner Arbeit.Darub˜ erhinaus m˜ochte ich mich bei allen Angeh˜origen des 6.

Sujets

• Physik

Informations

• Publié par: universitat_stuttgart
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 31
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Regularityresultsforquasilinearellipticsystems
ofpower-lawgrowthinnonsmoothdomains
—Boundary,transmissionandcrackproblems—

VonderFakult¨atMathematikundPhysikderUniversit¨atStuttgart
zurErlangungderW¨urdeeines
DoktorsderNaturwissenschaften(Dr.rer.nat.)
Abhandlunggenehmigte

onvorgelegtv

KneesDorotheeDipl.-Math.

MitbHauptberichericter:hter:

geboreninLeonberg

andigS¨A.-M.Dr.Prof.rehseFJ.Dr.Prof.A.Dr.Prof.eMielk

Tagderm¨undlichenPr¨ufung:30.11.2004

Institutf¨urAngewandteAnalysisundNumerischeSimulation

2005

Dorothee

Knees

Fachbereich

Institut

ur¨f

atersit¨Univ

Mathematik

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Stuttgart

aldringwPfaffen

D-70

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57

Stuttgart

Analysis

[e-mail]

und

heNumerisc

ulationSim

Vortorw

DievorliegendeDissertationentstandimRahmendesSonderforschungsbereichs404
”MehrfeldproblemeinderKontinuumsmechanik“,TeilprojektC5”Spannungssingu-
larit¨ateninheterogenenMaterialien“anderUniversit¨atStuttgart.

AndieserStellem¨ochteichmichsehrherzlichbeiFrauProf.Dr.A.-M.S¨andig
f¨urdieAufgabenstellung,dieumfassendeBetreuungunddieF¨orderung,diesiemir
zuteilwerdenließ,bedanken.SiehattejederzeiteinoffenesOhrf¨urmeineFragen.

HerrnProf.Dr.J.FrehseundHerrnProf.Dr.A.Mielkedankeichf¨urdie¨Ubernahme
desKoreferatsundihrekonstruktiveKritikanmeinerArbeit.

Dar¨uberhinausm¨ochteichmichbeiallenAngeh¨origendes6.LehrstuhlsdesIn-
stitutsf¨urAngewandteAnalysisundNumerischeSimulationundinsbesonderebei
HerrnProf.Dr.-Ing.W.L.Wendlandf¨urdieangenehmeArbeitsatmosph¨areunddie
zahlreicheninspirierendenDiskussionenimOberseminarundw¨ahrendderKaffee-
en.edankbpausen

EinbesondererDankgehtanmeineElternundBr¨uder,diemichdieganzeZeit
mitvielLiebeunterst¨utzten.

JanimStuttgart,2005uar

iii

KneesDorothee

tstenCon

Preface(German)

tstenCon

ductiontroIn

Zusammenfassung

1Physicalandmathematicalbasics
1.1DescriptionoftheRamberg/Osgoodmodel..............
1.1.1Strainsandstresses.......................
1.1.2TheRamberg/Osgoodrelation.................
1.1.3Theboundarytransmissionproblem.............
1.1.4Planestates...........................
1.2Domainsandfunctionspaces......................
1.2.1Admissibledomains.......................
1.2.2Notationformatrices......................
1.2.3Functionspaces.........................
1.3WeakformulationoftheRamberg/Osgoodequations........
1.3.1Weakformulationandexistenceofsolutions.........
1.3.2Complementaryenergyandelasticstrainenergy.......
1.4Quasilinearellipticsystemsofp-structure...............

2Localregularityandregularityatsmoothpartsoftheboundary
2.1Systemsofp-structure.........................
2.2Ramberg/Osgoodequation.......................
2.2.1Auxiliarylemmata.......................
2.2.2Proofofregularitytheorem2.3................
2.3Regularityatplanepartsofboundariesandinterfaces........

v

iii

v

1

7

1313141518182020212130303539

434345474955

vi

tstenCon

3Globalregularityfortransmissionproblems61
3.1Motivation................................62
3.1.1Poissonequationwithpiecewiseconstantcoefficients....62
p,13.1.2DifferencequotientsandthespaceW(Ω)..........64
3.2Quasi-monotonecoveringconditionfortransmissionproblems...65
3.2.1Definitionforballs.......................65
3.2.2DefinitionforLipschitziandomains..............70
3.3Globalregularityforequationsofp-structure.............74
3.3.1Maintheoremfortransmissionproblemsofp-structure...74
3.3.2Specialcase:Linearellipticproblems,d=2.........76
3.3.3Proofoftheorem3.18......................78
3.4GlobalregularityforRamberg/Osgoodequations..........90
3.4.1Thequasi-monotonecoveringconditionforRamberg-
Osgoodequations........................91
3.4.2Regularityresultsandspecialcases..............92
3.4.3HRR-fieldscomparedwiththeregularityresults.......93
3.4.4Proofoftheorem3.29......................96
3.4.5Improvedregularityatplanepartsoftheboundary.....103

4GlobalregularityofthestressesintheHenckymodel107
4.1TheHenckymodel...........................107
4.2Globalregularityofthestressfield..................109
4.3Proofoftheorem4.2..........................110

5FracturemechanicsfortheRamberg/Osgoodmodel119
5.1Griffith’senergycriterion........................121
5.1.1Energies.............................121
5.1.2Admissibleneighbouringconfigurations............122
5.1.3Energyreleaserate.......................124
5.2Griffith’sformulaandJ-integral....................125
5.2.1Linearelasticmaterials.....................125
5.2.2Ramberg/Osgoodmodel....................126
5.2.3Proofoftheorem5.5......................128

6Summaryoftheregularityresults

146

149inequalitiestialEssenAA.1Generalinequalities...........................149
A.2Inequalitiesforconjugatefunctions..................151
A.3InequalitiesfortheRamberg/Osgoodmodel.............153
A.3.1Thegeneralcase........................153

tenContsA.3.2Planestress................
A.3.3Aprioriestimates.............

BMoreaboutfunctionspaces
,sq,sqB.1ThespacesΣ(Ω)andΣ(Ω).........
p,rB.2ThespaceU(Ω).................
B.3ThespaceLD(Ω).................

theoremsurtherFCC.1Neˇcas’lemma...................
C.2Meanvaluetheorem...............
C.3Aminimisationproblemwithaffineconstraints

yBibliograph

enslaufLeb

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vii

154154

158158165167

169169169170

173

183

ductiontroIn

Thethesisisdevotedtotheanalysisofdisplacementandstressfieldsofheteroge-
neouselasticbodieswhicharesubjectedtoexternalloadings.Theheterogeneous
bodiesarecomposedofseveralnonlinearelasticsubstructureswhichobeyacon-
stitutiverelationofpower-lawtype.Anexampleforsuchaconstitutiverelation
wasintroducedbyW.RambergandW.R.Osgoodin[80,1943],(Ramberg/Osgood
model,alsoknownasNorton/Hoffmodel).Thewholebodyaswellastheinter-
nalinterfaces,whichseparatesubstructureswithdifferentmaterialproperties,may
havecornersandedges.Physicalexperimentsaswellasnumericalcomputations
showthatveryhighstressconcentrationscanoccurinthevicinityofre-entrant
corners,cracks,edgesandnearthosepointswherethematerialparametersaredis-
continuous.Thesestressconcentrationshaveastronginfluenceonthestrengthand
physicallifeofthebody.Inparticularcrackscandevelopduetothesestresssingu-
laritiesandcanleadtothefailureofthewholestructure.Manystrengthhypotheses
infracturemechanicsarebased(moreorlessexplicitly)onthestressdistribution
inthebodyandthereforeagoodknowledgeofthestressesisimportant.More-
over,convergenceratesofstandardnumericalschemesdecreaseatthepresenceof
stresssingularities.Here,thea-prioriknowledgeofpossiblestressdistributionscan
beusedtodevelopimprovedalgorithmswheree.g.specialsingularfunctionsare
includedintheFE-spacesorwherethemeshesaresuitablyrefinedinadvancein
regions,wherehighstressesmayoccur.

Amathematicalformulationofthefieldequationsoftheseheterogeneousbodies
leadstosystemsofquasilinearellipticpartialdifferentialequationswithpiecewise
constantcoefficients.Thesesystemsarecloselyrelatedtothemoregeneralclass
ofquasilinearellipticpartialdifferentialequationsofp-structure,forwhichthep-
Laplaceequationisatypicalexample.Motivatedbytheseobservationsthemain
goalsofthisthesisarethefollowing:

•

ationDerivofglobalyregularitresultsfortransmissionproblemsforsystemsofquasilinearellipticpartialdifferentialequationsofp-structureonnonsmooth
domains.

1

2

ductiontroIn

•Derivationofglobalregularityresultsfordisplacementandstressfieldsof
heterogeneousbodieswhicharecomposedofdifferentphysicallynonlinear
elasticmaterialsofRamberg/Osgood-type.
Weemphasisethatdifferentgrowthpropertiesofthedifferentialoperatorsonneigh-
bouredsubdomainsareadmitted.Themathematicalpropertiesofquasilinearequa-
tionsofp-structureandofthefieldequationsoftheRamberg/Osgoodmodelare
closelyrelatedandthereforesimilarbasicideasandtechniquescanbeappliedfor
thederivationoftheregularityresults.Howeverbothclassesofequationsneeda
differenttreatmentindetail.

Twoapplicationsoftheregularityresultsarepresented.Wederiveaglobalregu-
smolarityothresultdomainsfortheusingstressthefieldsresultsofforHencstressky’sfieldselastic-poftheerfectlyRambplasticerg/Osgomodelodformonon-del.
TheproofisbasedonatheorembyR.Temam[100]andA.Bensoussan/J.Frehse[5]
bystatingstressthatfieldsstresswhichfieldsarewhichsolutionsareofsolutionstheRamofbHencerg/Osgoky’somoddelcanequationsbewithapprosuitablyximated
chosenmaterialparameters.AssecondapplicationwestudyGriffith’sfracturecri-
terionforRamberg/Osgoodmaterials.Griffith’sfracturecriterionisanenergetic
criterionandcanbereformulatedintermsoftheenergyreleaserate.Variousfor-
mulasforthecalculationoftheenergyreleaseratearepresentedintheengineering
literature.Butfromamathematicalpointofviewitisa-priorinotobviouswhether
theexpressionsintheseformulasarewelldefinedforweaksolutionsoftheRam-
boftheseerg/Osgoformodulas.equations.Summa