F.Klein Und A. Sommerfeld, Uber Die Theorie Des Kreisels Vol - Iv
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F. KLEIN vm A. SOMMEEFELD,ÛBEE DIETHEOEIE DES KREISELS.HEFT IV.DIE TECHNISCHEN ANWENDUNGEN DER KREISELTHEORIE.FUR DEN DRUCK BEARBEITET UND ERGANZT VONFRITZ NOETHER.LEIPZIG,DRUCK UND YERLAG VON B. G. TEUBNER.1910.\OOPYEIGïïT 1910 BY B. TEUIîNKH IN hKlV'/.UiG.ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLIOH DES ÛBEliSETZXJNGHEECHTS, VOUBKUALTKN.VORWORT.ALs F. Klein im Wintersemester 1895/96 eine zweisfcundige Yor-lesmig ^;,ûber den Kreisel" hielt^ unternaliui er es in erster Linie^ dienament-lich in Eiigland verbreitete unmittelbarere Auffassimg der mechaniscbenProblème gegenliber der abatrakteren Farbnng der deiitsclien Scliulezu botonen^ aiulererseits die namentlicli in Dentscliland ausgebîldetenMetlioden der Kiemannsclien Funktionentlieorie fur die Meclianik fruclit-bar zu maclien. Die Berûcksicbtigung der Anwendungen und der pliysi-Wirkliclikeit wurdekalischen damais zwar in einzelnen Beispielen an-gedeutet und lebhaft gefordert, aber nicbt innocli voUem Umfangedurcligefûhrt.In der ans der Feder von A. Sommerfeld stammenden umfâng-inebrlichen Drucklegung ûberwog und niebr das Interesse der An-wendungen, besonders nacli dessen Ubernalime eines Lehramtes in dertechnisclien Mecbanik iind spater in der Pliysik. Der auf dièse Weiseliinzutretende Stoiï astronomiscben, geophysikaliscben und teclinisclienInlialtes hatte aber gegenûber dem Plane der ursprûngliclien Vorlesungmit Notwendigkeit eine Anderung des mathematischen Standpunktesim Gefolge. W'âhrend die in den ...

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F. KLEIN vm A. SOMMEEFELD, ÛBEE DIE THEOEIE DES KREISELS. HEFT IV. DIE TECHNISCHEN ANWENDUNGEN DER KREISELTHEORIE. FUR DEN DRUCK BEARBEITET UND ERGANZT VON FRITZ NOETHER. LEIPZIG, DRUCK UND YERLAG VON B. G. TEUBNER. 1910. \ OOPYEIGïïT 1910 BY B. TEUIîNKH IN hKlV'/.UiG. ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLIOH DES ÛBEliSETZXJNGHEECHTS, VOUBKUALTKN. VORWORT. ALs F. Klein im Wintersemester 1895/96 eine zweisfcundige Yor- lesmig ^;,ûber den Kreisel" hielt^ unternaliui er es in erster Linie^ dienament- lich in Eiigland verbreitete unmittelbarere Auffassimg der mechaniscben Problème gegenliber der abatrakteren Farbnng der deiitsclien Scliule zu botonen^ aiulererseits die namentlicli in Dentscliland ausgebîldeten Metlioden der Kiemannsclien Funktionentlieorie fur die Meclianik fruclit- bar zu maclien. Die Berûcksicbtigung der Anwendungen und der pliysi- Wirkliclikeit wurdekalischen damais zwar in einzelnen Beispielen an- gedeutet und lebhaft gefordert, aber nicbt innocli voUem Umfange durcligefûhrt. In der ans der Feder von A. Sommerfeld stammenden umfâng- inebrlichen Drucklegung ûberwog und niebr das Interesse der An- wendungen, besonders nacli dessen Ubernalime eines Lehramtes in der technisclien Mecbanik iind spater in der Pliysik. Der auf dièse Weise liinzutretende Stoiï astronomiscben, geophysikaliscben und teclinisclien Inlialtes hatte aber gegenûber dem Plane der ursprûngliclien Vorlesung mit Notwendigkeit eine Anderung des mathematischen Standpunktes im Gefolge. W'âhrend die in den ersten Heften vorbereiteten Nâhe- der kleinen Scb.wingungen, Behandlung derrungsmetlioden (Méthode pseudoregulllren Priicession) und namentlichi die anscliaulicbe Pormu- lierung der meclianisclien Prinzipien mittels des ImpulsbegriflFes den die weitergebendenAnwendungen aufserst konform waren^ erwiesen sich Metlioden, die genaue Darstellung der Bewegungfunktionentheoretiscben durch eUiptische Puaktionen etc., weiterliin als entbehrlicli. So wurden mit ihnen verwandten Quater-z. B. die Parameter a, à\ bzw. diey,fi, deren geometrisclie Bedeutung im ersten, deren analy-nionengrofsen, tische Wichtigkeit im zweiten Hefte mit besonderem Nacbdruck beraus- gelassen, nattlr-gearbeitet war, in dem dritten und vierten Hefte faUen mit Klein selbst, dessen Interessenlich in voiler Ûbereinstimmung mehr und mehr den Anwendungen zugewandt hatten.sich ebenfalls der tech-Insbesondere kommt das vierte Heft bel der Darstellung aUereinfachsten und elementarstennischen Kreiselprobleme mit dem aus, welches unmittelbar ans der Impuls-Gesetz der Kreiselwirkung Dynamik starrer Korper fliefst und zu Beginn dièsesauffassung der Heftes noch einmal kurz abgeleitet wird. dais unserer Arbeit auf dièse WeiseWir wollen nicht leugnen, Plan und demfiinfzehn Jahre, die zwischen dem erstenim Lauf der mit der Einheit dernunmehrigen Abschlufs des Bûches verflossen sind, Stoff und Darstellungsart verlorenZeit auch die Einheitlichkeit von j^J!VERSiTY iJBRARlES Vorwort.JY son;,iiuf die allo'eiiî(M'îu\Beziig nnalytiscliowir inist, dafsgegangen zii Ih^l'i,Aiizei,i4'('îi I uihI I!,in den îuajiclirsnameiiHiclifrillier,Meclianik wird, d;?!':;g(dia!i(Mî. wirwas spater niM jindcmr-habeii,Yersprochen tH!ii4-(^S(dilaL;viiSeitenweg hilnni,mathematisclieu (Un- misseits manchen ablenkio: dcinIfauptziel lunikM^munserem \'er-.Yorûbero-eliend von Muge (b'e \'irls(M'iigkriiProblcms. cb'sdynamisclien In-stândiiis des angesclibigtMieiiMannigfaltigkeit der lni.errss('ngcbiriediehaltes und die îuang(diîd(^ Svst(MH:iiikwerden fur und Zic.bauis(dî(^n Vori'icbiung«^n ^ geeignet, den Sinn fur wirkliche Mecbanik zu wtudcen. Mfjgr Pi-*^in der Darstellung unseres Bûches diesem Zweck in crbriliiom MafC iVunwn und sich dadurch auch in Zukunft des ebrenvolleii Bc^'nanienK wiirdig erweisen, den ilini scLon Sir John îlerscbel b(dlegi.(\ des Naniens eines philosophical instrument! Grôttingeu und Milncben, im April VJliK F. KLEIN. A. HOMMKIIM^ÎLI). Kapitel IX. TediHische AiwendiMigen. Die wiclitigste Formel der1. Kreiseltlieorieo Allgemeines iiber die§ Stabilieriiîig durcli Kreiselwirkuîigeii. Dais dielses Schlufsheft iinseres Werkes so spât erscheint^ kônnen Interesse Sacliewir im der nicht bedauern. Sind docli die teclmisclieîi Anwendungeîi; um die es sich hier hauptsachlicli handelt^ erst in den letzten zelm Jalireii, also wahrend des Driicks dièses Buclies^ entstanden; wir erinnern an die Sclineilbahnen^ an den SchitFskreisel mid den Kreiselkompafs. ilirer ErklarungBei l)ew*âb.rt sicli nun in "besonderem Mai'se das unserer ganzen Darstellung frûher zu Grrunde gelegte mechaniseiie Prinzip: die Voranstellung des Impulsbegriffes. Wir gelangen von hier ans unmittelbar zu derjenigen Formel, anf der die Théorie fast aller technisclien Anwendungen beruht. Da wir wûnscben^ dafs die Entwickelungen dièses Kapitels aucii der Kapitel verstândlich sindohne eingehendes Studium vorangehenden aucli in den Handen des Ingénieurs als fruchtbarund sich womoglicb erweisen mocliten^ sclieint es angeniessen, die zu ibrer Begrûndung dienenden Formeln und Begriffe hier in Kûrze znsammenzustellen. J)er Impuis (genauer gesagt „das Impulsmoment^^) war das Moment der starrender Eewcgung-sgrolse einzelnen Massenteile des rotierenden den festen Punkt desselben. Haben wir esKôrperS; bezogen anf mit schneli rotierenden Schwungring oder Radsatze zu thun^einem so iiberwiegt die Rotation um die Symmetrieaxe (,,Figurenaxe") so sehr ûber die dem Korper („Kreisel") sonst etwa erteilten Drehnngen^ senkrecht zur Figurenaxedais die Ebene jenes Momentes merklich ^^Âquatorebene des Kreisels" f'âILt. Der Impuls-steht, merklich in die auf jener Ebene errichtet wird^ fallt dannvektor, welcher senkrecht merklich in die Figurenaxe. Seine nach dieser Axe genommene meist rernach-Komponente, gegen die also die anderen Komponenten n 49Klci -Somme rfeld, Kroisclbcwcgang. Anwendiino^en.TeclinischeIX. 762 den .^EigeiiinipiiLs^"'' K Eswir isinennen das-werden kormen,lâssigt wir beiiii Anhissoii desdasG;DraU"), KreisolsAntriebsmomeritjemge das beini Schiflskî-eist^lilin ûbertragen,Sclinur auf dureheinednrch Eiseiibabnrildern durcli dwbei denoder Zu^-kraftTurbinenantriebden wird«unterlialtenLokomotiveder des Ulirzeigersiîines undBevorzugung desfrûberen I.inks-Der z. B. Fig. :> uni' IH)(vgl pnii;.Schrauben-Koordinatensystems cnispridit derjeiiîgeîi Stnte ziehen,Impulsvektor nach von d^-wir den auBes, dafs die ^^Eigc^urotniioiî^^, inidie Figureiiaxe, lihrztM'ger-Kotation umdie sinne dreht. Impulses liefert mai dieEinfahrung des Mr»gliflikeit,Die dere('JuHun4 // an.di^.H Iiaiiius Die \Vinkel«4-es(dnv iïidio-keit. dij'jdf trngen wir als drr \'ertiDrtdipfeii in Pig. IJf). kalcui auf und zerlej^cMi d(*ns«dben, da die Vertikale keine Hauptaxe fur die MaHsenv(>rteilun.ic (l(\s Seliu iuigriug<'s "" ist, in zwei Komponenten nach der Â({naiondHUie niid din- h'iu'urenaxe: '^sin luid coH 'à dt 1. Die wichtigste Formel der§ Kreiseltheorie. 765 zugehorigen ÂnteileDie des Impulses werden durch Multiplikation mit deii bez. Trâgheitsmomenten gewoniien. Wird aiso das Tfâgheits- moment fiir eine Axe der Aquatorebene mit A bezeiclinet, so erliâlt man die zur Figurenaxe senkreclite Impulskomponente, welche bei der vorangelienden angenâherteii BetracMung dengegen Eigenimpuls vernachlâssigt wiirde^ gleicb =0P A sin»'-^- dt derMacht man in Figur OP==NI, fûgt also zurdièse Figurenaxe Komponente zu demsenkrechte EigenimpulsN= OJVliinzu^ so erMllt man Endpunkt des Impulsvektors I. Derden fraglicbe Radius E ergiebt sicb uuU; wenn wir den Linienzug ONI auf die Riclitung 311 projizieren, zu == — -^ — •ON sin ^ iVJ ces = iV^ sin .^B A sin ^ cos d^4t ist Huch die o;esucbte Tra^beitswirkuno; bekannt:Sômit ^^''' (III) K=^Ii^^(N--A cos sin lu^4f) Das hier gefnudene Zusatzglied ê' (A sin cos d' -||j ist librigens ans der Théorie des einfachen sphiirischen Pendels bekannt, es ist die dort als Moment der Centrifugalkraft bezeichnete Wirkung. desVerschwindet namlich der Eigenimpuls Kreisels (N= so schwingt0), ein spharisches Pendel mit dem Trilgheitsmomentder Kreisel wie A. konnen mis dièses realisiert denken durch ein Fadenpendel vonWir Lange l und Masse ni^ so dafsder =mP A. Hier ist nun die horizontal wirkende Centrifugalkraft und deren Moment um die Knotenlinie sin cos O' == J. sin O- cosml ^l^jj]^ ,^[^) Vorzeichen unseresalso gerade der obige Ausdruck. Auch das négative dieser Betrachtung tiberein, indem das MomentZusatzgiiedes stimmt mit der Centrifugalkraft das Pendel von der Vertikalen zu entfernen strebt, und wiealso den umgekehrten Sinn hat^ wie das erste Glied in (III) der Pfeil K in Fig. 115. Scheidung der TriigheitswirkungEs ist aber zu bemerken, dais die und Centrifugalwirkung keine absolute ist, son-,(III) in Kreiselwirkung Berechnung desdafs wir die Figurenaxe bei derdern davon abhângt, Impulses ausgezeichnet haben. Aînveu(lan.^x^^.TecliniscliôIX. 766 F.iiieKreiselwirkuîii,n-!L der aut-durchStabilierungIV. dt^r Kreisidihrorit^ ist¥olgenmii;m diebekanntesteiiiindfaUendsten rotiennitier Wcdiwuiiirinassrn eiuen auAûbringungdurchMôgliclLkeit, zu Biabiiisien^u. I )asFreiheits^i^rad Hchenianeutralenoderinstabilensich die Enh'itniiîii^^tni dicseswelcbes uns KapitelsfiirVerfabrens,dièses sirh auf ilvnnd imst^ivriMuiiudwerdeii, liUst (I)liefernBeispielemehrfacbe dars{,eUen.folgendermafseneinem Beispielan liorizoniahdx'nt' (vn'l. Fï^jr.Figurenaxe in der lU))^derDie Lage wird, isi un Hi<'h, d. h. heiip gemassen niiditden Winkelwelcbe durcb Scliwun<4rinti;t'j indillVr^ni:rotierendeni Km ¥ lun die \'t>rfikali'Drebmonieut ixnvirkt Aiisschlag tlt^r siidi iniiitdrt dt^seinen 7/», fur in Brirachi koninicndnndie Vertikale iiqua- Tnlglieitsinoîncnies A anstorialen {Un- Be- schleunigangsgleichuni( })estinHni r/" (IV a) ,.,..,,. aber der Scliwuiitjjriu,t( in U'oiationIst ver- setzt, so ist mil diost^ni Aussrhlai( t^jne Kreiselwirknng.A'" verhinuk^îi, wrleh** ri,:(})ifalrl)('ne fesûgéhalten wird, sondern sorgen durch eiiie (jev'ujHcte AufliUiKiiouj daplr dafs sie ihrer Tendem zmi ParaUdiamm mil dry rfriikalni DrrhaM folgen lann. Sie wird dann ihre Neigung ^f g<\gen dit^ X't'riikab' V(^r- mindern, entsprecbend der BescblennignngHgleiehnng: Hierans ergiebt sich fur die Winkelgeschwindigkeit. drr llei>ung dor Figurenaxe (lYc) Torausgesetzt, dafs wirdas Azimutli i/- voii eiu.T Lago ans ziilil.'ii, in der d&/dt gleieh Null war. Nun -wurde aber die Fortsetzuug der Dndiung ;;// mii O/C (niio Verlagerung des Impulses N, und zw.ir nacli oIm-h erf.inicrn, ^n-rud.ï so gut wie iieJ)ieh.mgdxl,/dt um OVdm Verlagerung in dev Ilm-izontal- ebene. Es tritt daher abermals eiue Kreiselwirkmi.j; auF, und /.war uni die zu OK uûd OF Iseukrechfce Axe OV. Wirnennen dicsellie IC imd bestimmen sie wieder durch dio Formel (I) v.a (IVd) K'^N'''^- dt